ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)

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1 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) BERNHARD HANKE Wir werden uns in weiten Teilen uf die Bücher [F] O. Forster: Anlysis 1, 7. Auflge (2004), Vieweg-Verlg [A] K. Königsberger: Anlysis 1, 6. Auflge, Springer-Verlg beziehen. Dher werde ich diejenigen Abschnitte dieser Bücher, die ich nur wenig verändert übernehme, in diesem Skript nicht noch einml usführen, sondern nur die Referenz ngeben. 1. Vollständige Induktion Referenz: [F], Kpitel 1. In der Vorlesung gehen wir von folgendem Induktionsprinzip us: Es sei A n eine Aussge über ntürliche Zhlen n N. Angenommen, wir können die folgenden beiden Aussgen zeigen: A 0 ist whr. Für lle n 0 gilt: Flls A n richtig ist, so uch A n+1. Dnn ist A n für lle n N whr. Ds in [F] ngebenene Induktionsprinzip knn drus bgeleitet werden, indem mn (mit n 0 und A n wie im Buch von Forster) ds obige Prinzip uf die Aussge A n+n0 nwendet, wobei n 0. Ein weitere schöne Anwendung der vollständigen Induktion existiert im Zusmmenhng mit den sogennnten Rmsey-Zhlen: Definition. Es sei n 2 eine ntürliche Zhl. Wir definieren R(n) ls die kleinste ntürliche Zhl R mit der folgenden Eigenschft: In jeder Gruppe von R Personen gibt es (mindestens) n Personen, die sich lle gegenseitig kennen oder es gibt n Personen, die sich lle gegenseitig nicht kennen, (oder eventuell beides). In dieser Form ist die Definition noch nicht sinnvoll, denn es könnte j sein, dss für eine gewisse ntürliche Zhl n 2 gr kein R mit der eben beschriebenen Eigenschft existiert. Wir wollen zeigen, dss dies nicht pssieren knn. Definition. Es seien n, k 2 ntürliche Zhlen. Wir definieren R(n, k) ls die kleinste Zhl R mit der folgenden Eigenschft: In jeder Gruppe von R Personen gibt es n Personen, die sich lle gegenseitig kennen, oder k Personen, die sich lle gegenseitig nicht kennen. 1

2 2 BERNHARD HANKE Für die Zhlen R(n, k) besteht ntürlich ds gleiche Problem wie oben: Es könnte für gewisse Pre (n, k) gr kein R mit der ngegebenen Eigenschft existieren. Flls jedoch R(n, n) existiert, dnn sicher uch R(n) und es ist R(n) = R(n, n). Der folgende berühmte Stz von Rmsey zeigt lso insbesondere, dss R(n) für lle n wohldefiniert ist. Stz 1.1 (Rmsey). Für lle n, k 2 existiert ein R mit der in der letzten Definition beschriebenen Eigenschft. Insbesondere ist R(n, k) für lle (n, k) wohldefiniert. Beweis. Mn zeigt schnell direkt mit Hilfe der Definition, dss für lle n und k die Zhlen R(2, k) und R(n, 2) existieren und dss R(2, k) = k und R(n, 2) = n gilt. Wir zeigen nun für lle n, k 3: Flls R(n 1, k) und R(n, k 1) existieren, so existiert uch R(n, k) und es gilt die Ungleichung R(n, k) R(n 1, k) + R(n, k 1). D die Existenz von R(2, 3) und R(3, 2) vorhin schon gezeigt wurde, folgt dmit die Existenz von R(n, k) für lle n, k 2 durch Induktion nch n + k. Es seien lso n, k 3 und die Existenz von R(n 1, k) und R(n, k 1) bereits gezeigt. Es sei nun X eine Menge bestehend us R(n 1, k)+r(n, k 1) Personen. Wähle eine beliebige, ber feste, Person P in dieser Menge. Unter den restlichen R(n 1, k) + R(n, k 1) 1 Personen gibt es nun sicher R(n 1, k) Personen, die P kennen, oder R(n, k 1) Personen, die P nicht kennen (sonst hätte mn j neben P insgesmt höchstens R(n 1, k) + R(n, k 1) 2 weitere Personen). Wir betrchten den Fll, dss es R(n 1, k) Personen gibt, die P kennen. Unter diesen gibt es ber nun entweder n 1 Personen, die sich lle gegenseitig kennen - d.h. in diesem Fll bilden diese Personen zusmmen mit P eine Gruppe von n Personen in X, die sich lle gegenseitig kennen - oder es gibt in dieser Gruppe k Personen, die sich gegenseitig lle nicht kennen - und wir hben lso uch in X eine Gruppe von k Personen gefunden, die sich lle gegenseitig nicht kennen. Die Existenz von R(n, k) und die obige Ungleichung sind lso in diesem Fll gezeigt. Im Fll, dss es R(n, k 1) Personen gibt, die P nicht kennen, rgumentiert mn nlog. Wir hben früher schon eingesehen, dss R(3) = 6 gilt. Mit etws mehr Aufwnd zeigt mn R(4) = 18. Es ist eine erstunliche Ttsche, dss R(5) nicht beknnt ist. Die beste derzeit beknnte Abschätzung besgt 43 R(5) 49.

3 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 3 2. Die reellen Zhlen Die Struktur von R ist fundmentl für die Anlysis. Sie wird durch folgende Axiome chrkterisiert: I Körperxiome, II Anordnungsxiome, III Vollständigkeitsxiom. Zu I und II siehe die Ausführungen in [F], Kpitel 2 und Kpitel 3 (zunächst ohne ds Archimedische Axiom). Wir führen bereits n dieser Stelle die Bezeichnungen für bgeschlossene, offene, hlboffene und uneigentliche Intervlle von R ein, die in [F] erst uf Seite 80 ngegeben werden. Ds Vollständigkeitsxiom behndeln wir in der folgenden Form, die von der Diskussion in [F] zunächst bweicht. Definition. Es sei T R. Wir nennen T nch oben beschränkt, flls ein K R existiert mit t K für lle t T. Wir nennen dnn K eine obere Schrnke von T. Wir nennen T nch unten beschränkt, flls ein K R existiert mit t K für lle t T. In diesem Fll heißt K untere Schrnke von T. Wir nennen T beschränkt, flls T nch oben und unten beschränkt ist. Ist T nicht beschränkt, so nennen wir T unbeschränkt. Wir bruchen noch die folgende, m Anfng nicht gnz leicht zu erfssende Definition. Definition. Es sei T R. Wir nennen eine Zhl K R ein Supremum von T, flls K eine kleinste obere Schrnke von T ist, d.h. K ist obere Schrnke von T und ist K R eine weitere obere Schrnke, so gilt K K. Entsprechend heißt K Infimum von T, flls K eine größte untere Schrnke von T ist. Mn überlegt sich schnell, dss ds Supremum und Infimum im Flle der Existenz eindeutig bestimmt sind. Diese werden dnn sup T, bzw. inf T gennnt. Ds Vollständigkeitsxiom besgt: In R ht jede nicht-leere nch oben beschränke Teilmenge ein Supremum. Wir wollen die detillierte Diskussion dieses Axioms noch etws zurückstellen. Definition. Es sei K eine Menge zusmmen mit zwei Verknüpfungen + K : K K K und K : K K K und zwei usgezeichneten Elementen 0 K, 1 K K, wobei 0 K 1 K. Wir nennen K einen Körper, flls (K, + K, K, 0 K, 1 K ), die Axiome (A1) bis (A4), (M1) bis (M4), sowei (D) erfüllt. ngeordneten Körper, flls gewisse Elemente in K ls positiv usgezeichnet sind (Schreibweise: x > K 0), so dss zusätzlich die Axiome (O1) bis (O3) gelten.

4 4 BERNHARD HANKE vollständigen ngeordneten Körper, flls K ein ngeordneter Körper ist, der ds Vollständigkeitsxiom erfüllt. Ohne Beweis geben wir ds folgende Resultt n: Stz 2.1 (Chrkterisierung der reellen Zhlen). Es gelten die folgenden Aussgen. i. (R, +,, 0, 1, >) ist ein vollständiger ngeordneter Körper. ii. Ist (K, + K, K, 0 K, 1 K, > K ) ein beliebiger vollständiger ngeordneter Körper, so gibt es genu eine Abbildung φ : K R, die die folgenden Eigenschften besitzt: φ(0 K ) = 0, φ(1 K ) = 1. Für lle x, y K ist φ(x + K y) = φ(x) + φ(y) und φ(x K y) = φ(x) φ(y). Diese eindeutig gegebene Abbildung ist bijektiv und ordnungserhltend, d.h. es gilt die Äquivlenz x < K y φ(x) < φ(y) für lle x, y K. Die erste Aussge ist im Grunde erst dnn sinnvoll, wenn mn R zusmmen mit den Verknüpfungen und der Ordnungsreltion explizit konstruiert ht. Die zweite Aussge besgt in nderen Worten, dss R bis uf ordnungserhltende Isomorphie der einzige vollständige ngeordnete Körper ist und dss diese Isomorphie drüberhinus eindeutig ist. Wir wollen in dieser Vorlesung nicht weiter uf die Konstruktion von R eingehen, sondern die Existenz von R mit den besprochenen Eigenschften ls gegeben nnehmen. Für weitere Informtionen zur Konstruktion von R und zu Stz 2.1 verweise ich uf ds exzellente Buch Zhlen, ds im Springer-Verlg erschienen ist. Stz 2.2 (Archimedische Eigenschft von R). Es seien, b > 0 reelle Zhlen. Dnn gibt es eine ntürliche Zhl n mit n > b. Beweis. Wir leiten dies us dem Vollständigkeitsxiom her. Angenommen, es ist n b für lle n N. Dnn ist lso die Menge M := {n n N} nch oben beschränkt (durch b) und besitzt nch dem Vollständigkeitsxiom ein Supremum s. D s kleinste obere Schrnke von M und positiv ist, gibt es ein N N mit s < N. Addition von uf beiden Seiten führt uf s < (N + 1). Dnn ist ber s keine obere Schrnke von M. Widerspruch. Mit Hilfe der Archimedischen Eigenschft von R leiten wir für x R wie in [F] (3.15), die Existenz genu einer gnzen Zhl m Z mit m x < m+1 her. Diese wird dnn [x] gennnt (Guß-Klmmer, bzw. Floor-Funktion). Weiterhin zeigen wir die fundmentle Aussge, dss es für jede positive reelle Zhl ɛ > 0 ein n N gibt mit 1 n < ɛ. Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung ([F], Stz 2 in Kpitel 3) leiten wir noch wichtige Abschätzungen zum Wchsumsverhlten von Potenzen her ([F], Stz 3 in Kpitel 3).

5 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 5 Im Gegenstz zu [F] formulieren wir die Archimedische Eigenschft von R nicht ls Axiom, sondern folgern sie us unserer Formulierung des Vollständigkeitsxioms. Dieses ist nicht äquivlent zum Vollständigkeitsxiom in [F], Kpitel 5. Wir werden uf den logischen Zusmmenhng unseres Vorgehens zu dem in [F] im nächsten Kpitel genuer eingehen. 3. Folgen, Konvergenz Ds Konzept der Folgen und der Konvergenz von Folgen ist fundmentl für die gesmte Anlysis. Wir richten uns in der Drstellung nch [F], Kpitel 4 (zunächst ohne unendliche Reihen uf S. 35 Mitte mit S. 37). Wir diskutieren nschließend monotone Folgen (siehe [F], Definition uf S. 49) und zeigen: Stz 3.1. Ist ( n ) n N eine beschränkte monotone Folge, so ist n konvergent. Beweis. Wir behndeln zunächst den Fll, dss n monoton wächst. Nch Vorussetzung ist M := { n n 0} nch oben beschränkt, besitzt lso nch dem Vollständigkeitsxiom ein Supremum s. Wir zeigen nun, dss ( n ) gegen s konvergiert. Sei dzu ɛ > 0. D s kleinste obere Schrnke von M ist, gibt es ein N N mit s ɛ < N. D ( n ) monoton wächst, folgt s ɛ < n s für lle n N, dbei gilt die letzte Ungleichung, d s obere Schrnke von M ist. Für lle n N ist lso n s 0 < ɛ und s n < ɛ nch obiger Ungleichung. Somit ist n s < ɛ für n N und dies zeigt lim n = s. Flls n monoton fällt, bechte mn, dss jede nichtleere nch unten beschränkte Teilmenge T von R ein Infimum besitzt, wie mn leicht us dem Vollständigkeitsxiom bleitet (durch Betrchtung der Menge T := { t t T }). Mn zeigt nun gnz ähnlich wie vorhin, dss lim n = inf M. Dieser Stz sgt noch nicht, wie mn den Grenzwert einer beschränkten monotonen Folge bestimmt. Dies erfordert in der Regel weitere Argumente. Ein schönes Beispiel dzu ist die Konstruktion der Qudrtwurzel einer positiven reellen Zhl durch eine rekursiv definierte Folge. Für Detils siehe [F], Stz 1 und Stz 2 in Kpitel 6. Definition. Ist ( n ) n N eine Folge und n 0 < n 1 <... eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen, so nennt mn die Folge ( nk ) k N eine Teilfolge von ( n ) n N. Wir nennen x R einen Häufungspunkt der Folge ( n ) n N, flls es eine Teilfolge von ( n ) gibt, die gegen x konvergiert. Interessnte Beispiel von Häufungspunkten finden sich in [F], S. 48. Lemm 3.2. Jede Folge ( n ) besitzt eine monotone Teilfolge.

6 6 BERNHARD HANKE Beweis. Für N N nennen wir N eine Spitze von ( n ) n N, flls n N für lle n N. Wir unterscheiden nun zwei Fälle: i. ( n ) ht unendlich viele Spitzen. ii. ( n ) ht nur endlich viele Spitzen. Im ersten Fll konstruieren wir induktiv eine Folge n 0 < n 1 < n 2 <... ntürlicher Zhlen wie folgt: Es sei n 0 N so gewählt, dss n0 eine Spitze ist. Ist n k, schon definiert, so sei n k+1 so gewählt, dss n k+1 > n k und so dss nk+1 eine Spitze ist. Dies ist immer möglich, d wir uns im ersten Fll befinden. Nch Konstruktion ist ( nk ) k N eine monoton fllende Teilfolge von ( n ) n N. Im zweiten Fll konstruieren wir n 0 < n 1 <... wie folgt: Es sei N N so groß, dss n keine Spitze ist, flls n N. Dies ist möglich, d wir uns im zweiten Fll befinden. Wir setzen nun n 0 := N. Ist n k schon definiert, so sei n k+1 so gewählt, dss n k+1 > n k und so dss nk+1 > nk. Dies geht, d nk keine Spitze ist. Nch Konstruktion ist nun ( nk ) k N eine (sogr streng) monoton wchsende Teilfolge von ( n ) n N. Wir zeigen dmit folgenden fundmentlen Stz: Stz 3.3 (Bolzno-Weierstrß). Jede beschränkte Folge reeller Zhlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. Sei ( n ) eine beschränkte Folge. Nch Lemm 3.2 ht ( n ) n N eine monotone Teilfolge ( nk ) k N. Diese ist offensichtlich wieder beschränkt. Aber beschränkte monotone Folgen konvergieren, wie wir in Stz 3.1 gezeigt hben. Wir diskutieren noch die Begriffe des limes superior und limes inferior, siehe [F], S. 88 ff. und chrkterisieren lim sup ähnlich wie in [F], Stz 4 in Abschnitt 9, durch den folgenden Stz. Stz 3.4. Es sei ( n ) n N eine Folge reeller Zhlen und R. Dnn gilt lim sup n = genu dnn, wenn für lle ɛ > 0 folgende beiden Bedingungen erfüllt sind: i. Es gibt ein N N, so dss n < + ɛ für lle n N. ii. Es ist n > ɛ für unendlich viele Indizes n. Beweis. Für n N schreiben wir s n := sup{ k k n}. Es sei nun lim sup n =, d.h. lim s n =. Sei ɛ > 0. Es gibt es dnn nch Definition der Konvergenz ein N N, so dss s n < +ɛ für lle n N. Wegen n s n für lle n N folgt drus Eigenschft i. Angenommen, Eigenschft ii. sei nicht erfüllt, d.h. n > ɛ ist nur für endlich viele Indizes n erfüllt. Dnn gibt es ein N N, so dss n ɛ für lle n N. Dnn ist s n = sup{ k k n} ɛ für lle n N. Drus folgt ber lim s n ɛ, im Gegenstz zur Annhme lim s n =. Umgekehrt seien nun die beiden obigen Bedingungen i. und ii. für ( n ) n N erfüllt. Wir zeigen, dss lim sup n =. Aus i. folgt, dss für lle ɛ > 0 ein N existiert mit n < + ɛ für lle n N. Dnn ist s N + ɛ und

7 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 7 wir folgern lim n s n + ɛ. D dies für lle ɛ > 0 erfüllt ist, folgern wir lim sup n = lim s n. Wäre lim sup n <, so hätten wir ein ɛ > 0 und ein N N mit s N ɛ. Dnn wäre ber n ɛ für lle n N, im Widerspruch zu ii. Als Anwendungen dieser Chrkterisierung sieht mn, dss für beliebige beschränkte Folgen ( n ) und (b n ) immer lim sup( n + b n ) lim sup n + lim sup b n gilt. Gleichheit muss nicht immer erfüllt sein: Für die Folge n := ( 1) n und b n := ( 1) n+1, n N, ist lim sup n = lim sup b n = 1, ber lim sup( n + b n ) = 0. Definition. Wir nennen eine Folge ( n ) n N eine Cuchy-Folge, flls es für lle ɛ > 0 ein N N gibt, so dss n m < ɛ für lle n, m N gilt. Stz 3.5. Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn Sie eine Cuchy- Folge ist. Beweis. Dss jede konvergente Folge eine Cuchy-Folge ist, wird in [F], Stz 1 in Abschnitt 5 gezeigt. Sei nun umgekehrt ( n ) n N eine Cuchy-Folge. Wir zeigen zunächst, dss ( n ) beschränkt ist. Sei dzu N N so gewählt, dss n m < 1 für lle n, m N gilt. Wir hben dnn unter Benutzung der Dreicksungleichung n mx{ 1, 2,..., N 1, N + 1} und somit ist ( n ) n N beschränkt. Nch dem Stz von Bolzno- Weierstrß besitzt ( n ) n N eine konvergente Teilfolge ( nk ) k N. Sei R der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen, dss die gnze Folge ( n ) n N gegen konvergiert. Sei ɛ > 0. D lim k nk = existiert ein K N mit nk < ɛ/2 für lle k K. D ( n ) n N eine Cuchy-Folge ist, gibt es weiterhin ein N N mit n m < ɛ/2 für lle n, m N. Sei nun L N so groß, dss L K und n L N. Dnn ist für lle n n L die Ungleichung n n nl + nl < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ erfüllt. Dher ist in der Tt lim n n =. Mnchml wird die Ttsche, dss Cuchy-Folgen konvergieren, ls Axiom für die reellen Zhlen gefordert. Wenn mn zusätzlich die Archimedische Eigenschft ls Axiom fordert, knn mn (ohne Benutzung unseres Vollständigkeitsxioms) beweisen, dss nch oben beschränkte, nichtleere Teilmengen von R ein Supremum besitzen. Unter der Annhme der Körperund Anordnungsxiome ist lso ds Vollständigkeitsxiom (in unserer Formulierung) äquivlent zur Archimedischen Eigenschft und zur Ttsche, dss Cuchy-Folgen konvergieren. In [F] wird dieser lterntive Zugng zu den reellen Zhlen gewählt. Definition. Eine Intervllschchtelung ist eine bsteigende Folge I 0 I 1 I 2... von bgeschlossenen Intervllen [ n, b n ] R mit lim n dim I n =

8 8 BERNHARD HANKE 0. Dbei ist der Durchmesser dim I n = dim[ n, b n ] durch dim I n := b n n 0 definiert. Der folgende Stz gibt eine wichtige Art n, reelle Zhlen zu beschreiben. Stz 3.6 (Intervllschchtelungsprinzip). Es sei I 0 I 1... eine Intervllschchtelung. Dnn gibt es genu eine reelle Zhl x R, die in llen I n liegt. Umgekehrt lässt sich jede reelle Zhl so drstellen. Beweis. Die Folge ( n ) n N ist monoton wchsend und nch oben beschränkt (durch b 0 ), besitzt lso nch Stz 3.1 einen Grenzwert. Die Folge (b n ) ist monoton fllend und beschränkt und besitzt dher ebenflls einen Grenzwert b. D n b n für lle n N, gilt b. Insgesmt hben wir n b b n für lle n und somit liegt in llen Intervllen I n = [ n, b n ]. Angenommen liegt ebenflls in llen Intervllen I n und. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir > nnehmen. Sei ɛ :=. D lim dim I n = 0, existiert ein N N mit dim I N = b N N < ɛ. Wir erhlten ɛ = b N N < ɛ, wobei wir N und b b N benutzt hben. Die erhltene Ungleichung ɛ < ɛ ist ein Widerspruch. Also muss = gelten. Ist x R eine beliebige reelle Zhl, so betrchten wir die durch I n := [x 1/n, x + 1/n], n 1, definierte Intervllschchtelung. Dnn ist offensichtlich x I n für lle n N. Wir behndeln zum Schluss dieses Kpitels noch einige Eigenschften von Punktmengen in R. Definition. Es sei T R eine Teilmenge. Wir nennen T offen, flls es für jedes t T ein ɛ > 0 gibt, so dss (t ɛ, t + ɛ) T. Wir nennen T bgeschlossen, wenn R \ T offen ist. Beispielsweise sind die Intervlle (, b), (, b) und R offene Teilmengen von R. Die Intervlle [, b], (, b] sind bgeschlossen. Ds Intervll (0, 1] ist weder offen noch bgeschlossen. Durchschnitte endlich vieler offener Mengen sind offen und dmit sind Vereinigungen endlich vieler bgeschlossener Mengen (wie zum Beispiel [0, 1] [2, 5]) ebenflls bgeschlossene Teilmengen von R. Wir hben die folgende Chrkterisierung bgeschlossener Teilmengen von R. Stz 3.7. Eine Teilmenge T R ist genu dnn bgeschlossen, flls folgendes gilt: Ist ( n ) n N eine beliebige konvergente Folge und n T für lle n N, so gilt lim n n T. Beweis. Es sei T R eine bgeschlossene Teilmenge und ( n ) n N eine konvergente Folge mit n T für lle n N. Angenommen, := lim n / T. D R \ T nch Vorussetzung offen ist, gibt es ein ɛ > 0, so dss ( ɛ, + ɛ) T =. D lim n = gibt es ber ein N N, so dss

9 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 9 n < ɛ für lle n N. Dnn ist lso insbesondere N ( ɛ, + ɛ). Dies widerspricht der Annhme, dss lle Folgenglieder n in T liegen. Es sei nun T nicht bgeschlossen, lso R\T nicht offen. Dnn gibt es einen Punkt R \ T, so dss für lle ɛ > 0 die Menge ( ɛ, + ɛ) nicht gnz in R \ T liegt, lso T schneidet. Wir können lso für lle n N, n 1, ein n T finden mit n ( 1/n, + 1/n). Dies bedeutet, dss lim n =. D nch Konstruktion / T, ist lso die zweite im Theorem ngegebene Bedingung nicht erfüllt. Erfüllt umgekehrt T R diese Bedingung, so muss lso T bgeschlossen sein. Wir können jeder Teilmenge T R eine weitere Teilmenge T zuordnen, die wie folgt definiert ist: T := {x R ( n ) n N mit n T n N und lim n n = x}. T besteht lso genu us den Limiten konvergenter Folgen in T. Stz 3.8. Es gilt i. T ist bgeschlossen. ii. T T. iii. Ist S R eine beliebige bgeschlossene Teilmenge mit T S, so ist T S. Mit nderen Worten: Die Menge T ist die kleinste bgeschlossene Teilmenge von R, die T enthält. Wir nennen T den Abschluss von T. Beweis. Angenommen, R \ T ist nicht bgeschlossen. Wir finden dnn ein R \ T und eine Folge ( n ) n N>0 mit n T und n < 1/n für lle n (siehe den zweiten Teil des vorherigen Beweises). D n T, gibt es (bhängig von n) eine konvergente Folge (t k ) k N mit t k T für lle k N und lim k t k = n. Insbesondere existiert lso ein n T mit n n < 1/n. Nch Konstruktion konvergiert dnn die Folge ( n) n N gegen. D lle n T, folgt T, Widerspruch. Der Beweis von i. ist dmit bgeschlossen. Ist t T, so konvergiert die konstnte Folge (t n ) n N mit t n := t gegen t, somit ist t T. Dies zeigt ii. Es sei nun S R eine beliebige bgeschlossene Menge mit T S. Dnn enthält nch Stz 3.7 die Menge S lle Limiten konvergenter Folgen in S, lso insbesondere uch die Limiten ller konvergenter Folgen in T. Ds bedeutet ber gerde T S. Ist T R selbst schon bgeschlossen, so folgt lso, dss T = T. Insbesonere ist für jede Teilmenge T R die Gleichheit (T ) = T erfüllt. 4. Reihen, Konvergenzkriterien für Reihen Zur Definition von Reihen und zu einigen Beispielen siehe [F], S und S

10 10 BERNHARD HANKE Als erste Anwendung besprechen wir die b-dischen Entwicklungen reeller Zhlen bezüglich einer Bsis b (d.h. b N und b 2). Dies ist in [F], S , nchzulesen. Bei der Drstellung der Konvergenzkriterien für Reihen richten wir uns nch [F], Abschnitt 7. Insbesondere besprechen wir den Umordnungsstz und Beispiel 7.9 in [F]. 5. Mächtigkeiten Definition. Zwei Mengen M, N hben die gleiche Mächtigkeit, flls es eine bijektive Abbildung ϕ : M N gibt. Eine Menge heißt M bzählbr, wenn es eine surjektive Abbildung ϕ : N M gibt. M ist bzählbr unendlich wenn M nicht endlich, jedoch bzählbr ist. Beispielsweise sind N und Z bzählbr unendlich. Endliche Mengen sind bzählbr. Lemm 5.1. Sei M bzählbr unendlich. Dnn ht M die gleiche Mächtigkeit wie N. Beweis. Sei M unendlich und ϕ : N M surjektiv. Wir definieren induktiv eine Folge (f n ) n N von Abbildungen f n : N M durch f 0 := ϕ und für n 0 durch f n+1 (x) := f n (x) flls x n + 1, f n (x) flls x = n + 1 und f n (n + 1) / f n ({0,..., n}), η flls x = n + 1 und f n (n + 1) f n ({0,..., n}). Dbei ist η M \ f n ({0,..., n}) ein beliebiges Element (dieses existiert, d M unendlich ist). Durch vollständige Induktion beweist mn für lle n N: (i) f n ist injektiv uf {0,..., n}, (ii) f n (x) = f n (x) flls x n n und (iii) ϕ({0,..., n}) f n ({0,..., n}). Wir zeigen exemplrisch (iii) durch Induktion nch n. Der Induktionsnfng n = 0 ist klr, d f 0 ({0}) = ϕ({0}) nch Definition von f 0. Aussge (iii) sei nun für n N bereits gezeigt. Wir beweisen, dss sie dnn uch für n + 1 gilt. Wir unterscheiden wie bei der Definition von f n+1 zwei Fälle. Flls f n (n + 1) f({0,..., n}), so folgt f n+1 = f n und wir hben f n+1 ({0,..., n + 1}) = f n ({0,..., n}) {ϕ(n + 1)} ϕ({0,..., n + 1}). Hier hben wir in der letzten Gleichung die Induktionsvorussetzung benutzt und in der ersten Gleichung die Ttsche ϕ(n + 1) = f n (n + 1). Diese folgt drus, dss bei der Konstruktion von f n die Werte von f 0 = ϕ höchstens n den Stellen 1,..., n verändert wurden. Flls ber f n (n + 1) f n ({0,..., n}), dnn erhlten wir die Inklusion ϕ({0,..., n + 1}) = ϕ({0,..., n}) {f n (n + 1)} f n ({0,... n})

11 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 11 f n+1 ({0,..., n + 1}), wobei wir bei der vorletzten Inklusion wieder die Induktionsvorussetzung verwendet hben. Insgesmt beweist dies (iii) für n + 1. Wir definieren nun ψ : N M durch ψ(n) := f n (n) und zeigen, dss ψ bijektiv ist. Drus folgt dnn die Aussge des Lemms. Für die Injektivität seien n, n N mit ψ(n) = ψ(n ). Ohne Einschränkung nehmen wir n n n. Dnn gilt wegen (ii) f n (n ) = f n (n ) = ψ(n ) = ψ(n) = f n (n). Nch (i) istf n uf {0,..., n} injektiv. Dher hben wir n = n und ψ ist in der Tt injektiv. Für die Surjektivität von ψ sei m M. Wegen (iii) und weil ϕ surjektiv ist, ist die Menge {k N m {f k (0),..., f k (k)}} nicht leer. Sei n ds kleinste Element dieser Menge. Flls f n (n ) = m mit n < n, so gilt uch m {f n (0),..., f n (n )} nch (ii). Dies widerspricht der Minimlität von n. Also gilt m = f n (n) = ψ(n). Dies zeigt, dss ψ surjektiv ist. Aus Kpitel 9 von [F] wurden bewiesen: Stz 1, Corollr 1 (Abzählbrkeit von Q) und Stz 2 (R ist nicht bzählbr). Nicht besprochen wurde Corollr 2 (S. 83 in [F]) 6. Die Exponentilreihe Nch einem Exkurs über die komplexen Zhlen (Definition, Rechenregeln, Konvergenz von Folgen und Reihen in C, Vollständigkeit von C, Beziehung zwischen Konvergenz in R und Konvergenz in C) behndeln wir die Exponentilreihe wie in Kpitel 8 von [F]. Insbesondere hben wir ds Cuchy- Produkt bsolut konvergenter Reihen besprochen (in C). Nicht behndelt wurde der Abschnitt Numerische Berechnung von e (S von [F]). Im Unterschied zu [F] verwenden wir gleich komplexe Vriblen. An den Beweisen ändert sich ddurch nichts. In [F] wird die Exponentilfunktion im Komplexen in Kpitel 13 besprochen. Hier findet mn uch lles, ws über C gesgt wurde. Bis uf Stz 9 (Stetigkeit der Exponentilfunktion) hben wir Kpitel 13 von [F] behndelt. Mit Hilfe der Exponentilreihe definiert mn die Funktionen sin, cos. An dieser Stelle folgen wir Kpitel 14 in [F], insbesondere verwenden wir reelle Vriblen. Kpitel 14 us [F] wurde bis einschließlich Stz 5 erklärt. Mnchml definiert mn sin x und cos x ls die y-, bzw. x-koordinte des Punktes uf dem Einheitskreis, den mn erhält, wenn mn von 1 usgehend uf dem Einheitskreis einen Bogen der Länge x gegen den Urzeigersinn durchläuft. Diese Definition stimmt mit der unsrigen (über die im Komplexen definierte Exponentilfunktion) überein. D wir n dieser Stelle den Begriff der Bogenlänge noch nicht zur Verfügung hben, begnügen wir uns mit

12 12 BERNHARD HANKE der folgenden Plusibilitätsüberlegung. Es sei x R 0 eine nicht-negtive reelle Zhl und γ : [0, 1] C, t e ixt der Bogen uf dem Einheitkreis von 1 nch e ix. Später werden wir sehen, dss dieser Bogen wirklich entgegen dem Urzeigersinn verläuft. Hier wollen wir nur den Ausdruck n 1 L n := γ( k + 1 n k=0 ) γ( k n 1 n ) = k=0 e ix(k+1) n e ixk n für großes n behndeln. Dieser Ausdruck ist gleich der Länge des Polygonzugs von 1 über e ix n, e 2ix n etc. nch e ix und wir stellen uns vor, dss für wchsendes n dieser Ausdruck die Länge des Kreisbogens von 1 nch e ix immer besser pproximiert. Für lle k {0,..., n 1} hben wir e ix(k+1) n e ixk n Somit erhlten wir ix(k+1/2) = e n e ix/2 n L n = n 2 sin x 2n ix/2 e n = 1 2 sin( x 2n ). 2n ) x 2n = x sin( x und letzerer Ausdruch strebt für wchsendes n gegen x 1 = x (siehe [F], Kpitel 14, Corollr zu Stz 5). Dmit ist im Rhmen dieser Plusibilitätsbetrchung die in Frge stehende Bogenlänge in der Tt gleich x. 7. Stetigkeit Wir folgen [F], Kpitel 10 und Kpitel 11 (ohne S. 103 unten bis S. 105 Mitte). 8. Elementre Funktionen, π Wir besprechen [F], Kpitel 12 ohne die Lndu-Symbole (S. 118 unten bis S. 120 unten). Anschließend diskutieren wir die Definition von π mit Hilfe trigonometrischer Funktionen, siehe [F], Kpitel 14, S. 136 f. Die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen und die Polrdrstellung komplexer Zhlen besprechen wir wie in [F], S. 141 f. 9. Differentition [F], Kpitel 15 und 16 bis S. 168 oben. Für die Kettenregel ([F], Abschnitt 15, Stz 4) geben wir zusätzlich den folgenden lterntiven Beweis, der uf der Chrkterisierung von differenzierbren Funktionen gemäß [F], Abschnitt 15, Stz 1, beruht. Stz 9.1 (Kettenregel). Seien f : D R und g : E R Funktionen mit g(e) D. Ist g in x E differenzierbr und f in g(x) differenzierbr, so ist f g in x differenzierbr und es gilt (f g) (x) = f (g(x)) g (x).

13 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 13 Beweis. Sei y = g(x). D g in x und f in y differenzierbr sind, können wir schreiben wobei R und S Funktionen sind mit R(h) lim h 0,h 0 h Dmit erhlten wir g(x + h) = g(x) + g (x) h + R(h) f(y + k) = f(y) + f (y) k + S(k) = 0, lim k 0,k 0 S(k) k = 0. (f g)(x + h) = f(g(x) + g (x) h + R(h)) = f(y) + f (y) k(h) + S(k(h)) wobei wir k(h) := g (x) h + R(h) gesetzt hben. Wir hben dmit (f g)(x + h) = f(y) + f (y) g (x) h + f (y)r(h) + S(k(h)) und unsere Behuptung folgt, wenn wir mit T (h) := f (y) R(h) + S(k(h)) zeigen können, dss T (h) lim h 0,h 0 h = 0. Dies ist ber richtig, denn lim(f (y) R(h) h 0 h ) gilt nch Vorussetzung. Weiterhin ist k(h) g (x)h + R(h) c h mit einer festen Konstnte c > 0, flls h klein ist (hier hben wir benutzt, dss nch Vorussetzung R(h) h beschränkt bleibt, flls h 0). Wir erhlten somit S(k(h)) h c S(k) k und dieser Ausdruck geht für h 0 gegen 0, denn flls h gegen 0 geht, dnn S(k) uch k(h) (wegen k c h ) und lim k 0 k = 0 nch Annhme. Wir beschließen dieses Kpitel mit einer kurzen Diskussion des Newton- Verfhrens (vgl. [F], S. 180 ff.), ds einen effizienten Algorithmus zur Bestimmung von Nullstellen bereitstellt. Stz 9.2. Es sei f : [, b] R zweiml differenzierbr mit f() < 0, f(b) > 0 und f (x) > 0 für lle x (, b). Sei x 0 [, b] mit f(x 0 ) 0. Wir definieren die Folge (x n ) n N induktiv durch x n+1 := x n f(x n) f (x n ). Dnn konvergiert (x n ) n N monoton fllend gegen eine Nullstelle p (, b) von f. Die Funktion f ht keine weiteren Nullstellen. Ist zusätzlich f nch oben beschränkt uf [, b], so gibt es eine Konstnte C > 0, so dss für lle n N x n+1 p C x n p 2, d.h. es liegt qudrtische Konvergenz vor.

14 14 BERNHARD HANKE Beweis. Wir zeigen zunächst, dss f genu eine Nullstelle p (, b) ht und dss f (p) > 0. Nch dem Zwischenwertstz gibt es jedenflls eine Nullstelle p (, b). Angenommen, f (p) 0. D f konvex, lso f monoton wchsend ist, gilt dnn f (x) 0 für lle x [, p]. Somit ist f monoton fllend uf [, p] und wegen f() < 0 gilt dnn f(p) < 0. Widerspruch. Wir hben lso gezeigt, dss f (p) > 0 für jede Nullstelle p von f ist. Angenommen, es gibt noch eine weitere Nullstelle q p. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit ist q < p. Nch dem Mittelwertstz ist f (ξ) = 0 für ein ξ (q, p). D f monoton wchsend ist, folgt f (q) 0, im Widerspruch zu f (q) > 0. Wir zeigen nun, dss x n p für lle n 0. Insbesondere ist dnn (nch dem gerde Gezeigten) uch f (x n ) > 0 für lle n. D f(x 0 ) 0 nch Vorussetzung hben wir x 0 p, denn f(x) < 0 für lle x [, p) wie wir schon gesehen hben. Sei nun x n p schon bewiesen. Flls x n = p, so ist uch x n+1 = p und es folgt x n+1 x n p. Flls ber x n > p, so finden wir nch dem Mittelwertstz ein ξ (p, x n ) mit f(x n ) x n p = f (ξ) f (x n ) wobei die letzte Ungleichung benutzt, dss f monoton wächst. Es folgt wie behuptet. p x n f(x n) f (x n ) = x n+1 Aus dem bereits gezeigten folgt f(x n ) 0 und f (x n ) > 0 für lle n 0. Dher ist für lle n N x n+1 = x n f(x n) f (x n ) x n und die Folge (x n ) ist monoton fllend. D ußerdem (x n ) durch p nch unten beschränkt ist, konvergiert (x n ) - sgen wir gegen x [, b]. Es gilt x = lim n x n+1 = lim n (x n f(x n) f (x n ) ) = x f(x) f (x) d f und f nch Vorussetzung differenzierbr, lso stetig sind und ußerdem f (x) 0, d x p. Aus dieser Gleichung folgt ber f(x) = 0 und dmit gilt x = p, denn p ist die einzige Nullstelle von f. Die Folge (x n ) konvergiert lso in der Tt monoton fllend gegen p. Zur Fehlerbschätzung: Flls x n = p, so ist p = x n = x n+1 =... und die Fehlerbschätzung gilt mit einem geeigneten C (es sind j nur endlich viele Ungleichungen zu kontrollieren). Es sei lso x n > p. Nch dem Mittelwertstz gibt es ein α (p, x n ), so dss f(x n ) x n p = f (α)

15 lso ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 15 p = x n f(x n) f (α). Setzen wir die rekursive Definition von x n+1 ein, führt dies uf x n+1 p = f(x n) f (α) f(x n) f (x n ) = f(x n ) f (α) f (x n ) (f (x n ) f (α)). Wieder nch dem Mittelwertstz gibt es ein γ (α, x n ) mit f (x n ) f (α) = f (γ)(x n α). Setzen wir dies und die Gleichung f(x n ) = f (α)(x n p) in die vorherige Gleichung ein, liefert dies x n+1 p = f (α) f (γ) f (α) f (x n ) (x n p)(x n α). Nch Annhme existiert eine obere Schrnke K > 0 von f : [, b] R. D f (p) f (x n ) (denn f ist j monoton wchsend) ist lso so dss mit C := K f (p) x n+1 p K f (p) (x n p) 2, die letzte Behuptung des Stzes gilt. Als Beispiel betrchten wir die uf [0, ) definierte Funktion f(x) := x k wobei > 0 eine feste reelle Zhl und k 2 eine ntürliche Zhl ist. f ist zweiml differenzierbr und f (x) = kx k 1 und f (x) = k(k 1)x k 2. Insbesondere ist f uf (0, ) und ist b > 0 eine beliebige reelle Zhl, so ist f > 0 uf [0, b] nch oben beschränkt. Ds Newtonverfhren ist lso nwendbr. Sei x 0 > 0 eine reelle Zhl mit x k 0 >. Wir definieren rekursiv x n+1 = x f(x n) f (x n ) = x n xk n kx k 1 = 1 ( (k 1)xn + ) n k x k 1 n für n 0. Die so erhltene Folge (x n ) n N konvergiert monoton fllend und qudrtisch gegen k. Wir hben lso ds schon früher betrchtete rekursive Verfhren zur Berechnung der k-ten Wurzel wiedergefunden. 10. integrtion Wir richten und nch [F], Abschnitt 18. In der Vorlesung hben wir ds Ober-, bzw. Unterintegrl einer beschränkten Funktion f : [, b] R mit I (f), bzw. I (f) bezeichnet. In [F] wird hingegen die Nottion b f(x)dx, b bzw. f(x)dx verwendet. Die Diskussion der Hölder- und Minkowski- Ungleichung wird in [F] uf die entsprechende Diskussion in [F], Abschnitt 16, und die Betrchtung von Riemnnschen Summen zurückgeführt. Wir wählen den folgenden, etws direkteren Weg.

16 16 BERNHARD HANKE Definition. Es sei f : [, b] R eine integrierbre Funktion und p 1 eine reelle Zhl. Wir definieren die L p -Norm von f durch f p := f L p [,b] := ( b f(x) p dx ) 1 p. Es folgt us Sätzen der Vorlesung (siehe uch [F], Abschnitt 18, Stz 6), dss f p definiert ist. Stz Für integrierbre Funktionen f, g : [, b] R gilt ) (Höldersche Ungleichung) b f(x)g(x) dx f p f q für lle reellen Zhlen p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1. b) (Minkowskische Ungleichung) f +g p f p + g p für lle reellen Zhlen p 1. Beweis. Zu ). Es seien p, q > 1. Angenommen f p = 0. Wegen der Ungleichung f(x) f(x) p für lle x [, b] gilt dnn uch 0 f(x) dx f(x) p dx = 0. Ist nun g : [, b] R ebenflls integrierbr, und somit beschränkt, hben wir lso, f(x)g(x) dx f(x) g(x) dx mx g(x) f(x) dx = 0 x [,b] und die behuptete Ungleichung gilt. Ebenso zeigt mn, dss die Ungleichung gilt, flls g q = 0. Wir nehmen lso n, dss f p 0 und f q 0. Wir betrchten die integrierbren Funktionen f 1, g 1 : [, b] R, definiert durch f 1 (x) := f(x) p f p, g 1 (x) := g(x) q p g q. q Nch der verllgemeinerten Ungleichung zwischen dem rithmetischen und geometrischen Mittel (die wir us der Konkvität der Logrithmusfunktion gefolgert hben, siehe uch [F], Hilfsstz uf Seite 168) ist für lle x [, b] f 1 (x) 1/p g 1 (x) 1/q f 1(x) p + g 1(x) q und dmit b f(x)g(x) dx 1 b f 1 (x)dx + 1 b g 1 (x)dx. f p g q p q D die rechte Seite gleich 1 ist, folgt die Höldersche Ungleichung. Zu b) Flls p = 1, folgt die Minkowksische Ungleichung direkt us der Dreiecksungleichung und der Monotonie des Integrls: f + g 1 = b f(x) + g(x) dx b ( f(x) + g(x) )dx = f 1 + g 1.

17 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 17 Es sei lso nun p > 1. Wir wählen (ds eindeutig bestimmte) q > 1 mit = 1 und betrchten die integrierbre Funktion 1 p + 1 q h(x) := f(x) + g(x) p 1. Hier setzen wir (wie uch schon früher) 0 ξ := 0 für lle reellen Zhlen ξ > 0. Dnn ist h(x) q = f(x) + g(x) q(p 1) = f(x) + g(x) p und somit h q = f + g p/q p, wobei die Identität p = q(p 1) benutzt wurde. Drus folgt b (f+g)h b b fh + gh ( f p + g p ) h q ( f p + g p ) f+g p/q p. Flls f + g p/q p = 0, so ist uch f + g p = 0 und die Minkowskische Ungleichung gilt. Flls ber f + g p/q p > 0, so können wir die letzte Ungleichung durch diese Zhl teilen und erhlten (d die linke Seite mit f + g p p übereinstimmt) die Ungleichung D p p q f + g p p q p f p + g q. = 1 ist ds genu die Minkowskische Ungleichung. Definition. Es sei V ein reeller Vektorrum. Eine Abbildung : V R heißt Norm uf V, flls folgendes gilt: i. Für lle v V gilt v 0 und Gleichheit tritt genu dnn ein, flls v = 0. ii. Für lle v V und λ R ist λv = λ v. iii. Für lle v, w V gilt die Dreicksungleichung v + w v + w. Wir hben lso gezeigt, dss für lle p 1 die L p -Norm uf dem R- Vektorrum der integrierbren Funktionen [, b] R lle Eigenschften einer Norm besitzt, ußer derjenigen, dss f p = 0 nur dnn eintreten knn, flls f = 0. Beispielsweise ist die Funktion f : [0, 1] R mit f(t) := 0, flls t 0 und f(0) := 1 integrierbr mit 1 0 f(x)dx = 0, ber f ist nicht die Nullfunktion. Im Rhmen der Lebesgueschen Integrtionstheorie werden Funktionenräume konstruiert, uf denen die L p -Normen echte Normen sind. Für Vektoren (x 1,..., x n ) R n und reelle Zhlen l 1 definiert mn die sogennnten l p -Norm durch die Vorschrift x p := ( n x k p) 1 p. k=1 Dies können wir uch ls L p -Norm einer geeigneten, uf [0, n] definierten Treffenfunktion uffssen. Aus Theorem 10.1 erhlten wir somit

18 18 BERNHARD HANKE (Höldersche Ungleichung) n k=1 x ky k x p y q für lle p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1. (Minkowskische Ungleichung) x + y p x p + y p, flls p 1. Mn überlegt sich leicht, dss die l p -Norm uf R n wirklich eine Norm ist. Für p = 2 ist ds die gewöhnliche Euklidische Norm. Die Höldersche Ungleichung heißt in diesem Zusmmenhng Cuchy-Schwrzsche Ungleichung. Wichtig ist nun [F], Abschnitt 19, bis (19.20). Einige Beispiele zur Berechnung unbestimmer Integrle wurden in der Vorlesung nicht besprochen, sollten ber selbständig nchgerbeitet werden. Zur Integrtion rtionler Funktionen mittels Prtilbruchzerlegung verweisen wir uf Wlter: Anlysis 1, (ds llgemeine Verfhren zur Prtilbruchzerlegung wurde nicht besprochen und ist nicht prüfungsrelevnt). Wir besprechen [F], Abschnitt 20, bis einschließlich Stz 3. In der Vorlesung m wird zunächst ds Beispiel (19.21) us [F] besprochen und dmit die Wllis sche Produktdrstellung von π/2 hergeleitet (siehe [F], Beispiel (19.22)). Weiterhin wird mit dem Riemnnschen Lemm ([F], Stz 6 in Abschnitt 19) Beispiel (19.23) us [F] diskutiert und dmit die Leibniz sche Reihendrstellung von π/4 hergeleitet. 11. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Siehe [F] Abschnitt 21 (ohne Beispiel (21.6)). Zusätzlich leiten wir noch explizite Formeln für den Konvergenzrdius von Potenzreihen her. Als Vorbereitung beweist mn Proposition 11.1 (Wurzelkriterium). Es sei ( n ) n N eine Folge komplexer Zhlen und L := lim sup n n. Dnn gilt Flls L < 1, so konvergiert n=0 n bsolut. Flls L > 1, so divergiert n=0 n. Beweis. Es sei L < 1. Wir wählen ein q R mit L < q < 1. Nch der Definition von lim sup gibt es dnn ein N N, so dss n n q für lle n N. Dies bedeutet n q n für n N und die Behuptung folgt us dem Mjorntenkriterium und der bsoluten Konvergenz von n=0 qn. Flls L > 1, so existieren unendlich viele n N, so dss n > 1. Dher ist ( n ) keine Nullfolge. Stz 11.2 (Cuchy-Hdmrd). Es sei ( n ) n N eine Folge komplexer Zhlen und z 0 C. Der Konvergenzrdius R der Potenzreihe n=0 n(z z 0 ) n ist gegeben durch R = 1 L wobei L := lim sup n n. Hier werden die Konventionen 1 0 = und 1 = 0 verwendet. Beweis. Nch dem Wurzelkriterium müssen wir den Ausdruck L = lim sup n n (z z 0 ) n = z z 0 lim sup n n = z z 0 L

19 ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09) 19 betrchten. Flls z z 0 < 1 L, so gilt L < 1 und flls z z 0 > 1 L, so gilt L > 1. Dher folgt die Behuptung us dem Wurzelkriterium. Flls für die Reihe n=0 n(z z 0 ) n der Grenzwert q := n+1 n existiert, so ist der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe gleich 1 q wie mn sich leicht mit Hilfe des Quotientenkriteriums überlegt. Diese Formel zur Berechnung des Konvergenzrdius geht uf Euler zurück, ist ber im Gegenstz zur Cuchy-Hdmrd schen Formel nicht uf lle Potenzreihen nwendbr.