Analysis. 1. April 2003

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1 Anlysis Jürgen Elstrodt. April 003

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3 Teil I Die reellen Zhlen Grundlgen N := {,, 3,...} Menge der ntürlichen Zhlen N 0 := {0,,,...} Menge der gnzen Zhlen 0 Z := {0, ±, ±,...} Menge der gnzen Zhlen Q := { m n ; m, n Z, n 0} Menge der rtionlen Zhlen. Vollständige Induktion Vorgelegt sei eine Aussge A(n), die für lle n n 0 (n Z) sinnvoll ist, und es gelte: ) A(n 0 ) ist richtig (Induktionsnfng) b) Es gilt für jedes n n 0 : Flls A(n) richtig ist, so ist uch A(n + ) richtig. (Induktionsschluss) Dnn gilt A(n) für lle n n 0. Begründung: Zunächst gilt A(n 0 ) nch ) b) mit n = n 0 A(n 0 + ) richtig Wiederum b) mit n = n 0 + A(n 0 + ) richtig. A(n) richtig für lle n n 0. Für die folgenden Beispiele wird der Körper der reellen Zhlen ls beknnt vorusgesetzt, um die Wirkungsweise des Induktionsprinzips zu üben. Der xiomtische Aufbu von R kommt b Kpitel.. Definition Seien m, n Z, für lle k Z, m k n sei k R. Dnn setzt mn: n k := m + m n für m n k=m n k := 0, flls m > n (leere Summe) k=m n k := m m+... n für m n k=m n k := für m > n (leeres Produkt) k=m 3

4 .3 Folgerung n k = k=m n k + k=m n l = l=m p k=n+ k = n+ k=m+ k p k für m n p k=m Dsselbe gilt für ds entsprechende Produkt..4 Summenformel Für lle n N gilt: n k = k= n (n + ) (Summenformel für endliche rithmetische Progression) Beweis n k = n + n n = k = n + n k= k= ( n + n +n + n ) = n }{{} (n + ) Anzhl der Terme.5 Stz n (k ) = n für lle n N k= 4

5 Beweis oder: n (k ) = k= n k= k n k = k= n(n + ) = n + n = n n n n(n + ) (k ) = k n = n k= k= = n + n n = n n(n + ) oder: IB: IV: IS: n (k ) = = k= n (k ) = n k= n+ (k ) = k= k= n (k ) + (n + ) = n + n + = (n + ).6 Stz { n x k = k=0 x n+ x für x n + für x = (Summenformel für die endliche geometrische Progression) Beweis IB k=0 x k = + x = x x IS n+ x k = k=0 = xn+ x n x k + x n+ k=0 + x n+ = xn+ + (x ) x n+ x = xn+ + x n+ x n+ x = xn+ x 5

6 Alterntiv: s n := n x k = + x + x x n k=0 s n x = x + x + x x n+ x s n s n = s n (x ) = x n+.7 Folgerung s n = xn+ x Für lle, b R, n N ist: n b n = ( b) n n k b k k= n = : b = ( b)( + b) n = 3 : 3 b 3 = ( b)( + b + b ). Beweis Ist = b oder = 0, so ist die Behuptung klr. Sei lso b und 0: ( b) n n k b k = ( b) n k= n ( ) b l = ( b) n l=0 = ( b) n ( b b.8 Definition ) n n k= ) 0! := n! :=... n für n N. ( ) b k = n b n b) Für α R sei ( ( α 0) :=, α k) := 0 für k < 0, k Z, ( ) α α(α )... (α k + ) := k k! für k N. 6

7 .9 Folgerung ) ( ( α ) = α, α ) = α(α ),... b) ( n k) = 0, flls n N0 und k > n c) ( ) n k = n! k!(n k)! für n N 0 und 0 k n = ( ) n n k d) ( ) ( α k + α ) ( k+ = α+ k+) für α R und lle k Z. Beweis nur d). Für k 0 ist die Behuptung klr, nur für k ( ) ( ) α α + k k + = = = α(α )... (α k + ) k! α(α )... (α k + ) k! α + )α(α )... (α k + ) (k + )! α(α )... (α k + )(α k) + (k + )! ( + α k ) k + }{{} = α+ k+ = ( α + k + ) Berechnung der Binomilkoeffizienten mit Hilfe des Psclschen Dreiecks: ( ) ( ) ( ) n n n + + = (n N 0, k Z) k k + k + In der Zeichnung ist jede Zhl gleich der Summe ihres linken oberen und rechten oberen Nchbrn. Insbesondere sind ( n ) k) N0 für lle n N 0 und k Z, sogr N für n N0 und 0 k n. ( n k.0 Binomischer Stz Für lle, b R und lle n 0 gilt: ( ) ( n n ( + b) n = n b = n k=0 ( ) n n k b k k ) n b ( ) n b n + n speziell: ( + b) = + b + b, ( + b) 3 = b + 3b + b 3 ( ) n 0 b n n 7

8 Beweis: mit Induktion: A(n) : ( + b) n = n k= ( ) n n k b k k A() ist richtig A(n) A(n + ): ( + b) n+ = ( + b)( + b) n A(n) = ( + b) = n k=0 = n + + = ( ) n n+ k b k + k n k=0 n n+ k b k + k= ( ) n n+ + 0 n k= (( ) n + k n+ ( ) n + = n+ k b k k k=0 ( n k=0 ( ) n n+ (k+) b k+ k n n+ k b n+ k= ( n k + )) n+ k b k + Ersetzung von k durch n k gibt der Formel die Gestlt: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k = n k n k=0 ( ) n k b n k k ( ) n ) n k b k k ( ) n + b n+ n +. Folgerung n k=0 ( ) n = n für lle n 0, n N 0 k Folgt mit = b = us dem binomischen Stz. n ( ) n ( ) k = 0 k k=0 Folgt mit =, b = us dem binomischen Stz. n k=0 ( ) n = n für lle n k Folgt durch Addition der vorusgegngenen Summen. 8

9 Körperbegriff Die reellen Zhlen sind chrkterisiert durch 3 Eigenschften: ) R ist ein Körper, d.h. es sind die Grundrechenrten Addition, Subtrktion, Multipliktion und Division erklärt und es gelten die üblichen Rechenregeln. b) R ist ngeordnet, d.h. für, b R ist entweder > b, = b oder < b und es gelten entsprechende Rechenregeln. (siehe Kp. 3) c) R ist vollständig (siehe Kp. 5). Definition Ein Körper K ist eine Menge, in der Verknüpfungen erklärt sind: + K K K, (, b) + b gennnt Addition K K K, (, b) b gennnt Multipliktion, die folgenden Axiomen genügen:.. (A) Axiome der Addition ) Assozitivgesetz der Addition: ( + b) + c = + (b + c) (, b, c K). b) Kommuttivgesetz: + b = b + (, b K) c) Existenz eines Nullelements : es gibt mindestens ein Element 0 K K, so dss x + 0 K = x (x K). Bemerkung: Wir werden zeigen, dss es genu ein Nullelement gibt. d) Existenz eines Negtiven : Zu jedem x K gibt es mindestens ein ( x) K mit x + ( x) = 0 K.. (M) Axiome der Multipliktion ) Assozitivgesetz der Multipliktion: ( b) c = (b c) (, b, c K) b) Kommuttivgesetz der Multipliktion: b = b (, b K) c) Existenz eines Einselements : Es gibt ein Element K K( K 0 K ), so dss x K = x (x K) d) Existenz eines Inversen : Zu jedem 0 K x K existiert mindestens ein x K, so dss x x = K e) Distributivgesetz: (b + c) = b + c Dbei Konvention: bindet stärker ls +. 9

10 . Beispiele ) Q ist ein Körper b) Q ( ) ist ein Körper (siehe Vorlesung Linere Algebr) c) R ist ein Körper (siehe weiter hinten) d) K := {0; } ist bzgl. Addition und Multipliktion nch den beknnten Wertetbellen ein Körper. e) Z ist ein Körper..3 Folgerungen us (A) ) 0 K ist eindeutig bestimmt Beweis: Sei 0 K ein weiteres Element mit x + 0 K Setze dnn x := 0 K 0 K + 0 K = 0 K. Benutze nun (A.3) mit x = 0 K 0 K + 0 K = 0 K Zusmmen folgt: 0 K = 0 K b) Für jedes x K ist ( x) eindeutig bestimmt: = x für lle x K. Beweis: Sei x ein weiteres Element mit x + x = 0 K. Dnn gilt: ( x) + (x + x ) = ( x) + 0 K = x nch (A.3) Andererseits: ( x) + (x + x ) = (( x) + x) + x = (x + ( x)) + x = 0 K + x = x + 0 K = x Zusmmen folgt: x = ( x) c) ( 0 K ) = 0 K Beweis: (A.3): 0 K + 0 K = 0 K. (A.4): 0 K + ( 0 K ) = 0 K Nch b) folgt: 0 K = ( 0 K ) d) Für lle, b K ht die Gleichung + x = b () die eindeutig bestimmte Lösung x = b. 0

11 Beweis:.) + x = + (b ) = ( + b) = (b + ) = b x = b ist Lösung von ()..) Sei x eine weitere Lösung von (). Dnn gilt: +x = b ( )++x = ( )+b (+( ))+x = b+( ) 0 K + x = b + ( ) x = b = x e) ( ( x)) = x (x K) (Eindeutigkeit des Inversen) f) ( + b) = b (, b K) (Ebenso).4 Folgerungen us (M) und (D) ) K ist eindeutig bestimmt. Beweis wie in.3 ) b) Für jedes vom Nullelement verschiedene x K ist x eindeutig bestimmt. Beweis wie in.3 b) c) ( K ) = K Beweis wie in.3 c) Bezeichnung: Für, b K, b 0 K sei b definiert ls (b) = (b) nch (M.) d) In K gilt ds Distributivgesetz ( + b) c = c + bc (, b, c K) Beweis: ( + b) c = c ( + b) = c + cb = c + bc e) 0 K x = 0 K (x K) Beweis: 0 K x = (0 K + 0 K ) x d) = 0 K x + 0 K x d) 0 K x = 0 K x 0 K x = 0 K f) Die Gleichung x = b () ht genu eine Lösung x = b = b.

12 Beweis: Wegen ( b ).. = ( ) b = K b = b ist x = b eine Lösung von (). Sei x K irgendeine Lösung von (), 0. ( x) = } ( b ) x = x = x = x b. g) Für lle x, y K gilt: x y = 0 x = 0 y = 0 Beweis: klr nch e) und (M.). Sei x, y K, x y = 0, x 0.. d x x (x y) = x 0 K = 0 K ( x x ) y = ( x x ) y = K y = y Zusmmen: y = 0 h) Für lle x 0 ist x 0 und ( x ) = x Beweis: x x = 0 K x 0 K ( x ) existiert. Rest nlog zu.3 e). 0 x (x ) x = K nch.. d) und x f) x = K x = ( x ) i) Für lle x, y K x 0, y 0 gilt: (x y) = x y Beweis: Anlog zu.3 f. j) (x y) = x y (, x, y K) Beweis: y + (x y) = (x y) + y = ((x y) + y) = (x + (( y) + y)) = (x + 0) = x.3 d) (x y) = x y

13 .5 Folgerungen In jedem Körper K gilt: ) ( x) y = (x y) = x ( y) (x, y K) b) ( k ) x = x (x K) c) ( x) ( y) = xy (x, y K), speziell ( ) ( ) =, = d) ( x) = ( x ) (0 x K) Beweis:.4 d).3 b) ) xy +( xy) = (x+( x)) y = 0 K y = 0 K (xy) = ( x) y (yx) = ( y) x b) Setze x := und ersetze y durch x in )..3 d) c) x y = ( (xy)) = ) (( x) y) = (x ( x)) = ( y) ( x) = ( x) ( y) d) Für x 0 K K ist uch ( x) 0 K, denn wäre ( x) = 0 K, so wäre x.3 = ( x) = 0 K = 0 Widerspruch! ( x) ist sinnvoll ( x) = (( ) x) = x = x = ( x ).6 Folgerungen In jedem Körper K gelten die Rechenregeln der Bruchrechnung: ) Erweitern, Kürzen: Für lle, b, q K, b 0 q gilt: q b q = b. b) Addition und Subtrktion: Für lle, b, c, d K; b, d 0 gilt: b ± c d = d±bc bd c) Multipliktion: Für lle, b, c, d K; b, d 0 gilt: b c d = c bd d) Für lle, b K {0} gilt: ( ) b = b Beweis: ) q bq }{{} = (q) (bq) = (q) (b q ) = ( b ) (q q ) = 0, d b 0 q ( b ) K = b = b b) (bd) ( b ± d) c ( = (bd) b ± cd ) = (db) ( b ) ± (bd) ( d c ) = d ± bc 3

14 c) ( b c ) ( d = b ) (cd ) (bd) ( b d) c = (c)... d) ( ) ( b 0, d 0 b ) ( b = b ) = (b ) = b = b.7 Folgerungen Es sei K Körper und x,..., x n K. Dnn hben sämtliche durch sinnvolles Einfügen von Klmmern in x x n entstehenden Summen bzw. Produkte den gleichen Wert. (Allgemeines Assozitivgesetz) Beweis: A(n): Für jede Summe x x m mit Summnden x,..., x m K mit m n ergibt jede sinnvolle Beklmmerung den Wert (x + (x + (... + (x n + x n )...) Nchzulesen bei [Mey80], S. 8, Stz..7. Resultt: Summen und Produkte von Elementen us K können ohne Angbe von Klmmern geschrieben werden; die Schreibweise oder ist sinnvoll..8 Permuttionen Es sei K ein Körper und k,..., k n K, (i,... ; i n ) Permuttion (d.h. Umordnung) von (,... n). Dnn ist x + x x n = x i + x i x in Ds Produkt funktioniert nlog nch dem llgemeinen Kommuttivgesetz. Beweis: Jede Permuttion der Zhlen von bis n lässt sich durch geeignete sukzessive Vertuschung zweier nebeneinnderstehender Elemten gewinnen. Oder: Jede Permuttion lässt sich ls Produkt von Trnspositionen schreiben..9 Folgerung x,..., x m ; y,..., y n K m x j j= nch dem llgemeinen Distributivgesetz..0 Definition n y k = k= n j= k= n x j y k Sei K ein Körper, x K, n N, n. Dnn gilt: x 0 = K, speziell: 0 0 = K x n = n x x n = n ( x ) n für x 0. k= 4 k=

15 . Stz Es sei x K, m, n Z, x 0, flls m < 0 oder n < 0. Dnn gilt: ) x k = ( x k) k N, x 0 b) x m+n = x m x n, speziell (für n = ) (x m ) = x m für 0 x K und lle gnzen Zhlen m. c) (x m ) n = x m n Beweis: ) Induktion b) x m+n = m+n k= x = m k= x m+n k=m x = m x k= n x = x m x n für m, n > 0 k= x m+n = m n x = m x m n x = m k= für m, n < 0 x m+n = m+n x = m k= k= k= x n k= k= m k= x n k= x = x m x n x = x m x n für m > 0, n < 0, m+n > 0 c).) Induktion: Hier nur der Schluss (x m ) n+ b) = (x m ) n x m = x mn x m b) = x mn+m = x m(n+).. Stz.) Sei n Z, n = k < 0. ( (x m ) n ) = (x m ) k) c.) = ( x mk) = x mk = x m ( k) = x m n Es seien x, y K, n Z, x, y 0, flls n < 0. Dnn gilt: Beweis: (x y) n = x n y n ) n 0 (x y) n = x n y n Induktion wie in. b) b) n < 0 (x y) n = ((x y) n ) ) = (x n y n ) ) = x n y n.3 Folgerung Es seien x K, n N. Dnn gilt: Z 0 x = 0 K, n x = x + x x }{{} ( n) x = (x) + ( x) ( x) K }{{} n Summnden 5 n Summnden K,

16 .4 Folgerung Für x, y K, m, n Z gilt: ) (m + n) x = mx + nx, speziell ( m)x }{{} - us Z b) n (mx) = (nm) x c) m (x + y) = mx + my d) m x = (m K ) x = (mx) }{{} - us K Beweis: ) bis c) nlog oben. d) leicht. Ergebnis: In jedem Körper gelten die beknnten Rechenregeln für +,,,div und für Potenzen Z. 6

17 3 Anordnung Konvention: k := 0 k := 0 3. Definition Ein Körper K heißt ngeordnet, wenn in K eine Menge P, die Menge der sog. positiven Elemente von K usgezeichnet ist, so dss folgende Axiome erfüllt sind: ) x K gilt: Entweder x P oder x = 0 oder x P. b) x P, y P gilt: (x + y) P und (x y) P In jedem ngeordneten Körper ist positiv. In jedem ngeordneten Körper ist x positiv für x 0, x K C ist kein ngeordneter Körper. 3. Definition Sei K ein ngeordneter Körper. Dnn wird definiert für x, y K: x > y heißt: (x + ( y)) P x y heißt: (x + ( y)) P oder (x + ( y)) = 0 x < y heißt: (y + ( x)) P x y heißt: (y + ( x)) P oder (y + ( x)) = 0 x heißt positiv, wenn x > 0; x heißt negtiv, wenn x < Stz ), b K gilt: Entweder < b oder = b oder > b Beweis: (b ) P oder (b ) = 0 oder (b ) P b) < b > b Beweis: < b b P ( b) P > b b b b = c) < b b < c < c, b b c c, b b < c < c 7

18 Beweis: < b b < c b P c b P (b ) + (c b) P c P < c d) x < y, K x + < y + Beweis: x < y y x P (y ) (x ) P x + < y + e) x < x, y < y x + y < x + y Ungleichungen dürfen ddiert, nicht ber subtrhiert werden. Beweis: x + y < x + y < x + y x + y < x + y f) x < y, > 0 x < y x < y, < 0 x > y g) 0 x x 0 y y x y x y Beweis: x y x y x y h) x k < y k (k =... n) n x k < k= n y k k= Beweis: Induktion in e) i) x k y k (k =... n) n x k k= n k= y k j {,... n} mit x j < y j Beweis: indirekt j) x k 0, x k < y k n x k < k= n y k k= Beweis: Indirekt mit g) k) x 0 x > 0 speziell: < 0 > 0 Beweis: Sei x 0. Zwei Fälle:.) x > 0 x > 0.) x < 0 x > 0 x.5 c) = ( x) > 0 x > 0 für x 0 l) x > 0 x > 0; x < 0 x < 0 8

19 Beweis:.) Sei x > 0 x = x = ( x ( x x)) = ( x) x > 0.) Sei x < 0.5 d) x = ( x) > 0 x < 0 m) 0 < x < y x > y Beweis: x, y > 0 x y > 0 x y mit x y n) x y > 0 (x > 0 y > 0) oder (x < 0 y < 0). > 0 Multipliktion der Ungleichung Beweis:.) x > 0 x > 0 y = x }{{} >0.) x < 0 x < 0 y = x }{{} <0 xy > 0 }{{} >0 o) x y < 0 (x > 0 y < 0) oder (x < 0 y > 0) xy < 0 }{{} >0 Beweis: Anlog zu n) 3.4 Definition Für K sei := 3.5 Folgerung { für 0 für < 0 0 = 0 = 0 = = 3.6 Stz Für lle, b K gilt: ) b = b, speziell = b) Ist c 0, so gilt c c c c) 9

20 Beweis: ).) b = 0 b = 0 = b, d = 0 b = 0.) b > 0 3.) b < 0 > 0 b > 0 b = b < 0 b < 0 b = b = ( )( b) = b > 0 b < 0 b = (b) = ( b) = b < 0 b > 0 b = (b) = ( ) b = b b) c c c, dnn entweder = c oder = c nlog c) klr nch b) mit c = 3.7 Dreiecksungleichung, b K gilt: ) + b + b b) b + b c) b + b d) b b Beweis: ) b b b + b } ( + b ) + b + b 3.6.c + b b) Mn ersetze b durch ( b) b = b. Dnn klr nch 3.7 ) c) = + b b b + b = + b + b b + b, b K Vertuschung der Buchstben, b b + b d) klr nch 3.7 c) bei Ersetzung von b durch ( b) 3.8 Bernoullische Ungleichung (bennnt nch Jkob Bernoulli ( ), sein Bruder Johnn wr der Lehrer von L. Euler) Sei x n N 0 ( + x) n + n x. 0

21 Beweis: Induktion ) n = 0 Behuptung richtig b) n n + Sei beknnt: A(n) : ( + x) n + nx für x. A(n) n+ Dnn gilt: ( + x) ( + x) n 3.9 Stz (n + )x + nx }{{} 0 } {{ } +nx + (n + )x ( + x) ( + nx) ( + x) = + }{{} 0 Für 0 x und lle n N 0 gilt: ( + x) n + ( n ) x Beweis: ) Induktion funktioniert b) Für ( 0 x 0 x k x für k ) gilt: ( + x) n = n ( n k) x k = + n ( ) n x k + k=0 k= ( n k k= ( n ) ) k x. = + ( n ) x 3.0 Stz Seien,... n K, n N es existiert ein kleinstes und ein größtes Element us {,... n }, gennnt Minimum bzw. Mximum, geschrieben min i n i oder min {,... n } Beweis durch Induktion. 3. Definition Seien, b K, < b. [; b] := {x K, x b} [; b[:= {x K, x < b} nch b ]; b] := {x K, < x b} nch b ]; b[:= {x K, < x < b} bgeschlossenes Intervll von nch b nch rechts hlboffenes Intervll von nch links hlboffenes Intervll von offenes Intervll von nch b [; [:= {x K, x}

22 ] ; b] := {x K, x b} ] ; [:= K

23 4 Einbettung von Q in K Ziel: Jeder ngeordnete Körper enthält Q, genuer: ein isomorphes Bild von Q. 4. Definition Seien K, L Körper, f : K L Abbildung. ) f heißt Isomorphismus, flls f bijektiv ist und flls gilt: f(x + y) = f(x) + f(y) f(x y) = f(x) f(y) für lle x, y K. b) Sind K, L zusätzlich ngeordnet, so heißt f ordnungstreuer Isomorphismus, flls zusätzlich gilt: x K, x > 0 f(x) > 0 x K. Beispiel Sei K := Q, L := {(r, r); r Q} mit (r, r) + (s, s) = (r + s, r + s), (r, r) (s, s) = (rs, rs), (r, r), (s, s) L L ist bezüglich dieser Addition und Multipliktion ein Körper. f ist ein Isomorphismus zwischen Körpern. Für L werde definiert: P := {(r, r), r > 0, r Q} (r, r) < (s, s) r < s f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus. Bemerkung Sei f : K L ein Körperisomorphismus. Dnn gilt: ) f(x ( ) y) = f(x) f(y), f x y = f(x) f(y) für y 0, d f(0 K) = 0 L und f( K ) = L. b) f : L K ist ein Isomorphismus c) Sind zusätzlich K, L ngeordnet, f : K L ein ordnungstreuer Isomorphismus x > 0 K f(x) > 0 L, x = 0 K f(x) = 0 L, x < 0 K f(x) < 0 L, (x K). 4. Einbettung von Q in K Es sei K ein ngeordneter Körper, f : Q K wie folgt definiert: f ( ) m n := m K n K für m, n Z, n > 0 Dnn ist f wohldefiniert und f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus von Q. Kurz: K enthält die rtionlen Zhlen. Beweis: K ist ngeordnet K > 0 K n N n }{{ K }.3 = K + K }{{ K > 0 } K n K ist sinnvoll. n Terme 3

24 Wir zeigen: f ist sinnvoll definiert, d. h. gilt m n = k l mit k, l, m, n Z, l, n > 0, so gilt m K n K = k K l K, d gilt: m n = k l m l = k n (n K) (k K ).4 = m l K (m K ) (l K ) = m (l K ) = (m l) K = (n k) K = n (k K ) = (n K ) (k K ) n K 0 l K m K n K = k K l K Definition ist sinnvoll. Überprüfung der Rechenregeln Sei r = k l, s = m n l > 0 < n. mit k, l, m, n Z, f(r) + f(s) = k K l K + m K n K.6 b) = (k K) (n K ) + (l K ) (m K ) (l K ) (n K ).4 = (kn + lm) K (ln) K ( ) kn + lm = f = f(r + s). ln Ebenso: f(r) f(s) = k k m K.4 = (km) K l K n K (ln) K ( ) km = f = f(r s) ln Wegen f injektiv gilt: f : Q L ist ein Isomorphismus. Ordnungstreue: Sei r Q, r = m n, m, n N f(r) = m K n K > 0 nch 3.3 l) Resultt: f vermittelt eine Einbettung von Q in K. Wir können dher Q mit f (Q) identifizieren und Q ls Unterkörper uffssen. Fss mn Q ls Unterkörper von K uf, ist somit die Sklrmultipliktion sowohl intern ls uch extern! 4

25 5 Unvollständigkeit von Q, ds Supremumsxiom in R 5. Stz Die Gleichung x = q für q N, q >, q qudrtfrei, ht keine Lösung in Q. Allgemeiner: Ist n N, n >, k N, k und gilt m k ist kein Teiler von n (m N, m > ), so ist x k = n nicht lösbr in Q. Beweis: Annhme: r Q sei Lösung von r k = n r = u v u, v Z, v > 0 ggt(u, v) = u k = n v k, n > Primzhl p mit p n p v k p u p k u k p k n v k p v E Widerspruch! kurz: Q ist unvollständig Bemerkung: In Q gibt es sehr wohl Zhlen, deren Qudrt näherungsweise = ist. 5. Definition Im folgenden sei K ein ngeordneter Körper, Q K. ) Eine Teilmenge M K heißt nch oben (bzw. unten) beschränkt, wenn es ein β K (α K) gibt, so dss gilt: x M : x β bzw. x α. Dnn heißt β eine obere Schrnke von M bzw. α eine untere Schrnke von M. b) M heißt beschränkt, wenn M nch oben und nch unten beschränkt ist, d.h. α, β K α β mit M [α; β]. 5.3 Beispiele ) Jedes Intervll [; b], ]; b], [; b[, ]; b[ mit, b K, < b ist nch oben und unten beschränkt. Obere Schrnke ist z. B. b, ber uch b Untere Schrnke ist nlog, ber uch... b) ] ; b] b K ist nch oben beschränkt, ber nicht nch unten. c) M := { r, r K, r } ist nch oben beschränkt mit ls oberer Schrnke. Idee: Um die Zhl zu finden, suche mn unter llen r us c) eine größte, ein sog. Supremum. Von dieser zeige mn, dss sie ds Qudrt ht. 5

26 5.4 Definition Es sei M K, M, α, β K (α, β nicht notwendig M). β heißt kleinste obere Schrnke von M oder Supremum von M, flls gilt ) β ist obere Schrnke von M b) β ist miniml mit ), d.h. für jede ndere obere Schrnke β von M gilt: β > β. α heißt größte untere Schrnke von M oder Infimum von M, flls gilt: ) α ist untere Schrnke von M b) α ist mximl mit ), d. h. für jede ndere untere Schrnke α von M gilt: α < α Bezeichnung: β := sup(m) α = inf(m) oder besser: β = sup M, α = inf M. 5.5 Folgerungen { () x M : x β ) β = sup M () γ < β : x M mit x > γ α = inf M nlog. b) Ht M ein Supremum (Infimum), so ist dieses eindeutig bestimmt. Beweis: Seien β und β Suprem von M β β, denn β ist minimle obere Schrnke, β ist eine obere Schrnke. β β, denn β ist minimle obere Schrnke, β ist eine obere Schrnke. β = β Infimum nlog. 5.6 Beispiele ) M = [; b], b K, < b ist Infimum von M, b ist Supremum von M. b) M = ], [ sup M = Beweis: Offenbr ist obere Schrnke von M. Sei x <. Wir zeigen: x ist keine obere Schrnke von M Begründung: x = x + x < x + < x < x+ < x+ M x+ > x Behuptung. 6

27 c) M := { r Q; r } ht kein Supremum in Q. Hier ohne Beweis, folgt später. 5.7 Supremumsxiom (S) Jede nichtleere, nch oben beschränkte Menge M K ht ein Supremum Folgerung Sei K ein ngeordneter Körper mit (S). Dnn ht jede nichtleere, nch unten beschränkte Menge M K ein Infimum in K. Beweis: Sei γ untere Schrnke von M K, M, γ K M := { x; x M} γ ist obere Schrnke von M, d. h. M ist nch oben beschränkt. β mit β = sup M α := β α = inf M Sei x M x M x β x α α ist untere Schrnke von M Sei η untere Schrnke von M η ist obere Schrnke von M η β η α α ist Infimum von M. 5.8 Stz Es gibt einen ngeordneten Körper R, in dem ds Supremumsxiom erfüllt ist. Je zwei Körper, die dem Supremumsxiom genügen, sind ordnungstreu isomorph. Kurz: R ist eindeutig. Wir wollen R ls den Körper der reellen Zhlen bezeichnen. Beweis: Siehe in [E + 9]. Weitere Ansätze finden sich in [SH75], [Hol83], [Kno64], [Ln60], [Obe68] sowie bei [BF74]. 5.9 Äquivlente Chrkterisierungen von R Sei K ngeordneter Körper. Dnn gilt: (S) Axiom vom Dedekinschen Schnitt Archimedisches Axiom + Vollständigkeitsxiom Jede Cuchy-Folge in K konvergiert ([For0]) Axiom von der Intervllschchtelung ([Die85]). Beweis: Siehe in [E + 9]. Einige der gemchten Aussgen (6., 8.4) werden im folgenden noch bewiesen. 7

28 6 Erste Folgerungen us dem Supremumsxiom 6. Archimedisches Axiom Dieser Stz fungiert uch unter dem Nmen Postult des Eudoxus. Zu llen, b R mit > 0 gibt es ein n N mit n > b. Kurz: R ist rchimedisch ngeordnet. Beweis: Annhme: Die Behuptung sei flsch., b R, > 0 mit n b n N M := {n, n N} ist nch oben beschränkt z. B. durch b. (S) α := sup M α < α wegen > 0 α ist keine obere Schrnke von M. n N mit n > α Für ein solches n ist ber (n + ) > α. Widerspruch, d n + N (n + ) M! Somit folgt die Behuptung. 6. Folgerung Zu jedem x R existiert n N mit n > x. Beweis: 6. mit =, b = x 6.3 Stz Zu jedem ε > 0 gibt es n 0 N mit n n 0 n < ε Beweis: Sei n 0 N so gewählt, dss n 0 > ε. Ds ist nch 6. möglich. n n 0 n > ε n n 0 n < ε 6.4 Stz ) Sei x >. Dnn existiert für lle K > 0 ein n 0 N mit x n > K n n 0 b) Ist x <, so existiert zu jedem ε > 0 ein n 0 N mit x n < ε n n 0. Beweis: ) y := x > 0 x n = ( + y) 3.8 n + ny 6. n 0 N mit n 0 y > K n n 0 x n 0 + n 0 y K 8

29 b) Für x = 0 leistet n 0 := ds Verlngte. Für x 0, x < x > mit K := ε folgt nch ): ( ) n n 0 N n > n 0 x > K = ε n 0 N n n 0 x n ε 6.5 Stz Seien, b, c R, < b; c 0. Dnn gibt es r Q mit < rc < b. Beweis: ) Sei c > 0 b c > n N mit n < b c. Sei ein solches n fest gewählt..) > 0 6. m N mit m n > c. Sei ein solches m miniml gewählt. (m ) n c m n = m n + n < c + b c = b c c < m n =: r b c c > 0 < rc b..) < 0 6. k N mit k > c 0 < + kc Vor. < b + kc.) r Q mit + kc < r + kc < b + kc < (r k)c < b }{{} Q ) mit c sttt c b) Sei c < 0 r Q mit < r( c) < b mit s = r gilt: < sc < b 6.6 Korollr Sind, b R, < b, so gibt es unendlich viele rtionle Zhlen r mit < r < b. Kurz: Die rtionlen Zhlen liegen dicht in R Q liegt dicht in R. Beweis: 6.5 mit c = r Q < r < b r Q r < r < b... 9

30 7 Wurzeln 7. Stz Sei 0, n N. Dnn gibt es genu ein x R, x 0 mit x n =. x heißt dnn n. Wurzel von oder x = n für 0. Beweis: ) Existenz: Betrchte M := {x R, } x n }. M, d 0 M. Ferner: Für ist obere Schrnke (S) ξ := sup M Für ist obere Schrnke Ziel: Wir wollen zeigen, dss gilt: ξ n =..) = 0 ξ = 0 und ξ ist eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung x n = 0. ( n.) > 0 Zunächst gilt: 0 < + < min(, ) 0 < +) <, (klr für 0 ) + M, d.h. ξ + > 0! (i) Behuptung: ξ n Begründung: indirekt. Annhme: ξ n <. Dnn ist zu zeigen: ξ ist keine obere Schrnke ( von M. ) Sei dzu 0 < ε < min, ξ n ( n )ξ n (ξ( + ε)) n = ξ n ( + ε) n ξ n + ( n ) εξ n }{{} +( n )ε nch 3.9 nch Whl von ε < ξ n + ( ξ n ) = ξ( + ε) M. E Widerspruch, denn ξ( + ε) > ξ ξ ist nicht obere Schrnke von M. Annhme wr flsch ξ n. (ii) Behuptung: ξ n Begründung: indirekt. Annhme: ξ n >. Wir zeigen: Es gibt eine kleinere untere Schrnke von M ls ξ. Dzu wähle mn k N mit ξ n ( n ) n k = ξ n ( ) n 3.8 k ξ n ( n ) k nch Whl von k > ξ ( ) k ist obere Schrnke von M. E Widerspruch, denn ξ ( ) k < ξ ξ n Zusmmen: ξ n = : Existenz bewiesen. b) Eindeutigkeit: Annhme: Seien x, x Lösungen der Gleichung x n =, x x. OBdA: x < x = x n < xn = Widerspruch. Somit ist ξ wie oben eindeutig bestimmt. 30

31 7. Definition R Q = {x R, x / Q} =Menge der irrtionlen Zhlen. 7.3 Stz Für jedes k N, k und q N mit m N, m m k q ist m q irrtionl. Beweis: Existenz von k q siehe k q / Q } Behuptung 7.4 Stz Es seien, b R mit < b. Dnn gibt es unendlich viele rtionelle Zhlen ξ mit < ξ < b. Kurz: R \ Q liegt dicht in R. Beweis: 6.5 mit ε = 0 r Q mit < r < b r R \ Q r Q mit r < r < b Lemm Es seien R, > 0, m Z, n, q N. Dnn gilt: ( n ) m = ( n q ) m q Beweis:. Beide Seiten der behupteten Gleichung sind positive Lösungen der Gleichung x n q = n q. Nch 7. folgt drus die Behuptung 7.6 Bemerkung Seien 0, r Q, r = m n, m Z, n N. Wenn = 0, sei zusätzlich m 0. Dnn hängt ( n ) m nicht b von der Auswhl von m und n (Siehe Lemm 7.5), und mn setzt r := ( n ) m. Für gnzzhlige Exponenten ist diese Schreibweise verträglich mit Stz Seien, b > 0, r, s Q. Dnn gilt: ) r+s = r s b) ( r ) s = r s c) ( b) r = r b r, dies gilt uch, wenn, b 0, wenn zusätzlich r, s 0. 3

32 Beweis: ) Beide Seiten sind Lösung der Gleichung x n q = mq+np. Die Behuptung folgt dher nch 7. b) Beide Seiten sind Lösung der Gleichung x nq = mp. Die Behuptung folgt dher nch 7. c) Beide Seiten sind Lösung der Gleichung x m = (b) n. Die Behuptung folgt dher nch Stz Seien, b R,, b > 0, r, s Q, r < s. Dnn gilt ( < b): ).) > r < s.) 0 < < r > s b).) r > 0 r < b r Beweis:.) r < 0 r > b r ).) >, s r > 0 s r > r s > r Behup-.) 0 < < : Nch.) ist ( r ( ) < ) s 7.7 c tung ( ) r = r b).) r = m n, m, n N, 0 < 0 < b n < n b m N ( n ) m = r < ( ) n m b = b r.) r < 0 b.) r < b r 7. r > b r 3

33 8 Abzählbrkeit von Q, Überbzählbrkeit von R 8. Definition Sei M eine Menge. ) Dnn heißt M endlich genu dnn, wenn gilt: M = n und eine bijektive Abbildung f : M {,..., n}. b) M heißt bzählbr unendlich genu dnn, wenn gilt: f : M N ls Bijektion. c) M heißt bzählbr genu dnn, wenn gilt: M endlich oder M bzählbr unendlich. 8. Stz Sei M := n= M n und lle M n bzählbr M ist bzählbr. Beweis: Wir denken uns die Elemente von M wie folgt geschrieben: M : x, x, x,3... M : x, x, x, M n : x n, x n, x n,3... Nun zählen wir die Elemente von M nch Qudrten b. Dnch werden solche Elemente, die bereits vorgekommen sind, übersprungen; ebenso werden leere Plätze übersprungen. Jedes Element von M erhält ein n N ls Nummer. Wenn M unendlich ist, werden lle n N verbrucht, wenn M endlich ist, nur endlich viele, eventuell sogr gr keine für M =. M ist bzählbr 8.3 Stz Erstmls ufgestellt von Georg Cntor. Q ist bzählbr unendlich. Beweis: Z ist bzählbr, denn 0 0,,, 3... ist eine Bijektion N Z. M := { k n, k Z}, (n N) ist bzählbr unendlich 8. Q = M n ist bzählbr unendlich n= 33

34 8.4 Prinzip von der Intervllschchtelung Es sei I n := [ n ; b n ] (n N, n < b n ) eine Folge bgeschlossener Intervlle mit ) I n+ I n für lle n N b) Zu jedem ε > 0 exisitiert ein n N mit b n n < ε Behuptung: Dnn gibt es genue eine Zhl x 0 R mit n= I n = {x 0 }. Beweis: I n+ I n (n N) n N ist n n+ < b n+ b n, lso:... n n+... b n+ b n b k... b b k N A := { n ; n N} ht die obere Schrnke b k α := sup A existiert und ist b k für lle k N (S) k N k α b k, d.h. k N α I k, d.h. α I k, speziell: k= I k Angenommen, es gibt x, y n= I n mit x < y b) k N mit b k k < y x. Andererseits ist ber {x, y} I k, d.h. k x < y b k, d.h. y x < b k k. E Widerspruch! I n enthält genu eine reelle Zhl n= 8.5 Stz Nch Georg Cntor Jedes Intervll [; b],, b R, < b ist überbzählbr. R ist überbzählbr. Beweis: indirekt: Annhme:, b R, < b dd [; b] ist bzählbr. Sei (x n ) n N eine Abzählung von [; b]. Wir werden ein z [; b] konstruieren, ds von llen x n (n N) verschieden ist. Drus folgt der geforderte Widerspruch. Konstruktion von z: [ I := [; b] = ; + b ] [ + b 3 3 ; + b ] [ + b ] 3 3 ; b Mindestens eines der Teilstücke enthält x nicht! Ein solches Intervll wählen wir us und nennen es I : x / I. Gleiche Konstruktion ngewndt uf I liefert ein Intervll I 3 I mit x / I 3. usw. derrt, dss k= 34

35 Die Konstruktion liefert eine Folge von Intervllen I I I 3... I n I n+ I... I n [ n ; b n ]. b n n = b 3 n (n ) x n / I n+ (n ) Nch 6.4! sind die Vorussetzungen 8.4 insbesondere b) erfüllt. 8.4 es existiert genu ein z R mit I n = {z}. Offenbr ist z I = [; b]. n= Nch Vorussetzung existiert k N mit z = x k z = x K / I k+, ber ndererseits ist z I n I k+ E Widerspruch! n= 35

36 9 Polynomfunktionen, lgebrische und trnszendente Zhlen Sei im folgenden I R ein Intervll, ggf. I = R. C d.h.: Im Nebenstehenden lässt sich sinngemäß R durch C ersetzen. 9. Definition: Polynomfunktionen Eine Funktion f : I R heißt Polynomfunktion, wenn ein gnzes m 0 und,..., m R exisitieren mit f(x) = m k x k für lle x I. Sind 0,..., m = 0, so heißt f Nullpolynom. Offenbr ist := {f; f Polynomfunktion} ein R-Vektorrum bezüglich der ntürlichen Verknüpfungen (α f)(x) := α f(x) = α m k x k = m α k x k (x I). k=0 k=0 k=0 (f + g)(x) := f(x) + g(x) = m k x k + n b l x l = k=0 l=0 k := 0 für k > m und b l := 0 für l > n. Für f, g ist uch f g, denn: (f g)(x) := f(x) g(x) = m n k x k b l x l = = m+n j=0 ( j k=0 l=0 mx(m,n) 0 k m 0 l n k=0 ( k + b k ) x k, wobei k b l x k+l ) k b j k x j, wobei k := 0 für k > m und b l := 0 für l > n. k=0 Also: Auch f g ist eine Polynomfunktion. 9. Definition: Nullstellen Sei f : I R eine Funktion, α I. Dnn heißt α Nullstelle von f genu dnn, wenn gilt: f(α) = Stz Sei f : I R eine Polynomfunktion f(x) = n k x k (x I), n 0, 0,... n R, n 0 k=0 und es gebe ein α I mit f(α) = 0. Dnn ist n und es gibt eine Polynomfunktion g : I R mit n g(x) = b j x j n, b 0,... b n R, b n = n 0, j=0 36

37 so dss gilt: f(x) = (x α)g(x) Beweis: Wegen f(α) = 0, n 0 ist n > 0, d.h. n Wegen f(α) = 0 gilt für lle x I: n f(x) = f(x) f(α) = k (x k α k) n ( = k x k α k) 7. = n k (x α) k= k=0 k= k x k j α j = (x α)g(x) j= mit eine Polynomfunktion g(x) der gerde behupteten Form 9.4 Korollr Ist f : I R eine Polynomfunktion der Gestlt f(x) = x I,,... n R, n 0, so ht f(x) höchstens n Nullstellen in I. n k=0 k x k mit n 0, Beweis: Induktion über n: Für n = 0 klr. Sei n, Schluss von n n: Sei f Polynomfunktion wie in 9.3. Ht f keine Nullstellen, so ist die Behuptung richtig. Ht f Nullstelle α, so zerlege mn nch 9.3 f(x) = (x α)g(x). Nch Induktionsvorussetzung ht g(x) höchstens n Nullstellen f ht lso höchstens n Nullstellen. 9.5 Korollr Es seien f, g : I R Polynomfunktionen. f(x) = m, n Z, m, n 0, i, b i R, m, b n 0. Dnn gilt: f = g m = n j = b j j = 0,..., m m j=0 j x j, g(x) = n k=0 b k x k, Bemerkung: K := {0, } f : K K; f(x) = x + x, d.h. nicht gültig für endliche Körper. Beweis: f = g x I f(x) = g(x) x I (f g)(x) = 0 Alle x I sind Nullstellen von f g f g ist Nullpolynom. 9.6 Definition: Grd eines Polynoms Ist f : I R eine Polynomfunktion, f(x) = n k=0 n 0, so heißt n der Grd der Funktion: n := grdf. Kein Grd wird erklärt für ds Nullpolynom. 37 k x k mit 0, n R,

38 Folgerung: f, g Polynomfunktionen 0 (keine Nullpolynome) grd(f g) = grdf + grdg. 9.7 Stz Sei f : I R eine Polynomfunktion, f(x) = n k=0 k x k mit n 0, 0,..., n R, n 0, x I, so gibt es verschiedene Zhlen α,..., α ρ I mit ρ 0, ntürliche Zhlen m,..., m ρ und eine Polynomfunktion g : I R, so dss gilt: ρ f(x) = (x α j ) m j g(x) j= x I, g(x) 0 x I n m j j=,..., ρ, m,..., m ρ sind eindeutig bestimmt Beweis: Induktion mit 9.3; Eindeutigkeit mit 9.5 C 9.8 Definition: Vielfchheit In der Sitution von 9.7 heißt m j die Vielfchheit der Nullstelle α j von f, (j =,..., n) C 9.9 Folgerung Jede Polynomfunktion f : I R, f Nullpolynom ht höchstens grdf Nullstellen, wenn mn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfchheit evtl. mehrfch zählt. Beweis: Nch 9.7 ist n m j n. j= C 9.0 Definition: Algebrische Zhlen α R bzw. C heißt lgebrische Zhl, flls es eine Polynomfunktion f : R R, bzw. f : C C gibt mit der Form f(x) = n k x k mit x R bzw. x C und n 0, i Q, n 0, so dss f(α) = 0. D.h. α ist Nullstelle einer Polynomfunktion mit rtionlen Koeffizienten. Eine nicht-lgebrische Zhl heißt trnszendent. k=0 38

39 9. Folgerungen ) α lgebrisch c 0,..., c n Z; c n 0, so dss k c j α j = 0 Beweis: Mn multipliziere Koeffizienten,..., n mit ihrem Huptnenner. b) Ist α Q α ist lgebrisch ( ) Beweis: α = p q mit q > 0, p, q Z α ist Nullstelle von x p q ist lgebrisch, ber irrtionl. c) α trnszendent α irrtionl ( ) Beweis: Negtion von b. j=0 9. Stz nch Georg Cntor Die Menge ller reellen (oder komplexen) lgebrischen Zhlen ist bzählbr. Jedes Intervll enthält überbzählbr viele trnszendente Zhlen. C Beweis: { P l := Für l > sei f; f : R R, f(x) = n k x k, n 0, i Z, n 0 k=0 } n i + n < l 9.4 M l := {α R; f P l mit f(α) = 0} ist endlich. 8.5 M l ist bzählbr, ber M l = Menge der reellen lg. Zhlen. l= l= Menge ller lgebrischen Zhlen ist bzählbr. 8.5: Jedes Intervll I R ist überbzählbr. D ber nur bzählbr viele lgebrische Zhlen drin sind, muss es überbzählbr viele trnszendente Zhlen drin geben. Inklusion: N Z Q {lgebrische Zhlen} R lgebrische Zhlen sind Unterkörper von R, {trnszendente Zhlen} {irrtionle Zhlen} R. Beispiele trnszendenter Zhlen: e, π. i= 39

40 Teil II Folgen und Reihen 0 Folgen C 0. Definition Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung : N R, n (n) = n. Schreibweise: ( n ) n N oder ( n ) n oder,,.... n R heißt der n-te Term oder ds n-te Glied der Folge. Gelegentlich strtet die Indizierung mit n 0 Z z. B. ( n ) n 0. Mn unterscheide sorfgältig zwischen der Folge ( n ) n und der Menge der Folgenglieder { n, n N}. z. B. Die konstnte Folge n = n N ht ls Menge von Folgengliedern {}. z. B. n = ( ) n, b n = ( ) n+ (n N). ( n ) n (b n ) n ; sogr n b n n N; ber { n ; n } = { ; } = {b n ; n }! 0. Beispiele ) n = 0 n N: konstnte Folge b) n = n n N: Folge der Stmmbrüche c) n = ( ) n n d) n = n n n e) ( + n) n n f) n = x n (n ; x R fest) g) :=, := ; n+ := n + n für n > : Folge der Fiboncci-Zhlen, hier: rekursive Definition. C 0.3 Definition: Konvergenz ) ( n ) n konvergiert gegen R: Zu jedem ε > 0 gibt es n 0 N = n 0 (ε), so dss n < ε ε > 0 n 0 N = n 0 (ε) n n 0 n < ε. Schreibweise: lim n = oder n siehe Stz 0.8 b) ( n ) konvergiert : Die Folge ( n ) n konvergiert Es gibt R, so dss n c) ( n ) divergiert Die Folge ( n ) n ist divergent ( n ) konvergiert nicht. 40

41 0.4 Definition: Umgebung Sei R, ε > 0, U R. Ds Intervll ] ε; +ε[ heißt eine offene ε-umgebung von. U heißt Umgebung von, flls es ein ε > 0 gibt, so dss ] ε; + ε[ U U() := {U R; U Umgebung von }. 0.5 Folgerung n U U() n 0 N n n 0 n U. Jede Umgebung U von enthält die Folgenglieder n für lle n N mit höchstens endlich vielen Ausnhmen. Beweis: 0.3: n ε > 0 n 0 (ε) N n 0 ( n ) < ε U U() n 0 N n n 0 (n) U Exkurs: Komplexe Zhlen: C = R = {(, b);, b R} {(, 0); R} ist ein zu R isomorpher Unterkörper von C. Es gilt: i := (0, ) und C z = + ib, b R Für jedes z C heißt z := ib die zu z konjugiert komplexe Zhl. Rechenregel: (z w) = z w für lle z, w C z z = ( + ib)( ib) = ( + b, 0 ) Definition: z := z z = + b (geometrischer Abstnd des Punktes z vom Nullpunkt) Bemerkung: Für z R ist z gleich dem in R erklärten Betrg. Rechenregel: z w = z w Beweis: z w = z w z w = z z w w = z w Ferner gilt für den Betrg in C die Dreiecksungleichung: z + w z + w Beweis siehe Aufgbe. Sei C, r R >0 : Dnn heißt {z C; z < r} = Kr() die offene Kreisscheibe um mit Rdius r und {z C; z r} = Kr() die bgeschlossene Kreisscheibe um mit Rdius r. Im Flle C besgt die Ungleichung us 0.3 n < ε: n liegt in der offenen Kreisscheibe um mit Rdius ε. Umgebungsbegriff: K ε () = {z C; z < ε} heißt offene ε-umgebung um, U C heißt Umgebung von, flls ε > 0 mit K ε () U U() := {U C; U Umgebung von }. Dmit gilt uch in C: n U U() n 0 N n n 0 n U. 0.6 Definition: Nullfolge ( n ) n N heißt Nullfolge : ( n ) n N 0 C 4

42 C C 0.7 Folgerung n ( n ) n N ist Nullfolge. 0.8 Stz Gilt n n b = b, d.h. der Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Beweis: Annhme: b. Wir wählen speziell ε := b (> 0!) 0.3 Zu diesem ε n N mit n < ε n n und zu diesem ε n N mit b n b < ε n n Setze n 0 := mx (n, n ) n n 0 b = n + n b n }{{} ε Widerspruch! Behuptung 0.9 Beispiele ) n = für lle n N. lim n = + n b < ε = b }{{} ε b) n = n lim n = 0. Ds folgt us 6.3: ε > 0 n 0 N n > n 0 n = n 0 < ε c) n = ( ) n ( n ) n divergiert, denn: = n n+ = n + n+ n + }{{} n+ < ε für }{{} ε ε lle ε > 0. Widerspruch! (Wähle ε ) d) ( n ) n N konvergiert ( n+ n ) n ist Nullfolge. Beweis: n. Sei ε > 0 n 0 N n n 0 n < ε n n+ n + n+ < ε Mn setze n := log n n+ n = log(n + ) log(n) = log ( ) ( ) n+ = log + 0 n n e) Sei r Q, r > 0. Dnn gilt: lim n = 0 Gilt uch für r R, r > 0 r Beweis: Sei ε > 0 n r < ε n < ε r Behuptung nch b): n r < ε f) lim n n = 4

43 Beweis: n n = ( + ( n n )) n ( ) n ( n n ) = n(n ) ( n n ) 0 n n n für n Nch e) gibt es dzu ε > 0 und n 0 N mit n n < ε n n 0. Dmit gilt: n n < ε n n Definition: Beschränktheit Eine Folge ( n ) n N heißt nch oben (bzw. unten) beschränkt genu dnn, wenn { n ; n N} nch oben (bzw. unten) beschränkt ist, d.h. genu dnn, wenn gilt: k > 0 n n (bzw. )k, bzw. n k. Bemerkung: Auch über C ist die Definition: ( n ) n N beschränkt k > 0 n n k sinnvoll. 0. Stz Jede konvergente Folge ist beschränkt. Aber: Nicht jede beschränkte Folge ist konvergent. C Beweis: Es gelte lim n = Zu ε = existiert n 0 N, so dss n n 0 n < ε = n n 0 n n + < + K := mx (,,..., n0, + ) n n K : n = ( ) n ist beschränkt ber divergent. Widerspruch! 0. Stz Sei x R. Dnn gilt: ) x < lim xn = 0 b) x =, x = lim xn = c) x =, x = lim xn Die Folge divergiert. d) x > lim xn = Folge ist unbeschränkt und somit divergent. 43

44 Beweis: ) Klr nch 6.4 b) klr c) klr mit 0.9 d) x n = x n Behuptung folgt nch 6.4 ). 0.3 Rechenregeln für konvergente Folgen Es seien ( n ), (b n ) konvergente Folgen, lim n =, lim b n = b, λ R. Dnn gilt: ) (λ n ) n konvergiert mit lim λ n = λ lim n = λ b) ( n + b n ) n konvergiert mit lim ( n + b n ) = lim n + lim b n = + b c) ( n b n ) n konvergiert mit lim ( n b n ) = lim n lim b n = b d) Ist 0 N N mit n 0 n N und es gilt für lim n = b e) Unter den Vorussetzungen von d gilt uch lim n n = b ( n )n : Beweis: ) Spezilfll von c) mit b n = λ für lle n N. b) Sei ε > 0 n N n n n < ε } n N n n b n b < ε Setze dnn: n 0 := mx{n, n } n n 0 ( n + b n ) ( + b) n + b n b < ε c) n b n b = n b n n b n + n b n b n b n + b n b Sei k > 0 Schrnke von ( b n ) n N, ε > 0. n 3, n 4 N n n 3 n ε k n n 4 b n b ε + n 5 := mx (n 3, n 4 ) n n 5 n b n b ε k k + ε + < ε d) Sei 0, δ := (> 0). Setze speziell ε := δ N N n N 0 < δ = n N n = + ( n ) n > δ = n N n } = n n = n n mx (N, n 7 ) Sei ε > 0 n 7 N n n 7 n < ε < ε n 44

45 e) folgt us c) und d). 0.4 Beispiele für die Anwendung der Rechenregeln ) c n := n+ n c n = + n c n 0 b) c n := 4n 0n+36 4 n = + 36 n n +n+0 + n + 0 n c) Für jedes c > 0 gilt: lim n c =.0 Beweis: Sei zunächst c c = ( + ( n c )) n 3.8 +n ( n c ) 0 n c c n Behuptung für c. Sei nun 0 < c < c 0.3) lim n c = > und dher lim n c = lim n c }{{} 0 = 0.5 Stz Seien ( n ), (b n ) konvergente Folgen in R mit n b n n. Dnn gilt: lim n lim b n. Wrnung: Auch bei n < b n gilt nur lim n lim b n. Beweis: Sei := lim n > b := lim b n. Sei ε := b (> 0) n N n n n < ε n N n n b n b < ε n mx (n, n ) ε < n b n < b + ε ε < b + ε b < ε b < b E Widerspruch! 0.6 Korollr ( n ) n N sei konvergent, n [α; β] n N lim n [α; β]. Beweis: 0.5 mit konstnten Folgen α, β 45

46 0.7 Einschließungskriterium Es seien ( n ),(b n ),(c n ) reelle Folgen mit folgenden Eigenschften: ( n ),(b n ) seien konvergent mit lim ( n) = lim (b n) =: α, n c n b n lim c n = α Beweis: Sei ε > 0 n N n n n ]α ε; α + ε[ n N n n b n ]α ε; α + ε[ n mx (n, n ) α ε < n c n b n < α + ε, d.h. n mx (n, n ) c n α < ε. 0.8 Definition Sei ( n ) n N eine Folge reeller Zhlen. Dnn heißt { wchsend ) ( n ) (monoton) fllend, flls n n+ n n+ n N b) ( n ) streng (monoton) { wchsend fllend, flls n < n+ n > n+ n N c) ( n ) monoton, flls ( n ) wchsend oder fllend. d) ( n ) streng monoton, flls ( n ) streng wchsend oder streng fllend. 0.9 Folgerung Eine monotone Folge konvergiert genu dnn, wenn sie beschränkt ist; und zwr gilt: ) Ist ( n ) wchsend und (nch oben) beschränkt, so ist lim n = sup{ n ; n N} b) Ist ( n ) fllend und (nch unten) beschränkt, so ist lim n = inf{ n ; n N}. Beweis: Ist ( n ) konvergent, so ist ( n ) beschränkt nch 0.. Zum Beweis der Umkehrung zeige: ) α := sup{ n ; n N} existiert nch (S). Wir zeigen: n α. Dzu sei ε > 0 α ε ist keine obere Schrnke von { n ; n N}, d.h. n 0 N mit n0 > α ε. ( n ) wchsend n > n 0 α ε < n0 n α + ε. b) ( b n ) ist wchsend und konvergiert nch gegen sup { b n ; n N} = inf {b n ; n N} nch 0.3 mit λ = : lim b n = inf {b n ; n N} 46

47 0.0 Beispiel Die Eulersche Zhl e. Seien n, n := ( + n) n, bn := ( + n) n+. Dnn gilt: ) ( n ) ist wchsend, b) (b n ) ist fllend, c) n < b n n N, d) lim n = lim b n =: e. Plusibilitätsprüfung: = 4 < e < = b Beweis: ) Für n > gilt: ( ) n n + n ( ) n n ( n = = b n n n n b) Für n > gilt: c) klr ( = ) n 3.8 n n ( n ) b n = n ( = + n ( b n n = n b n > ( n n ) n ) ( ) n n ( ) n n = n n ) n = n n ( + n ) n = ( + ) n > ( + n ) n n ) n = b n d) 0.9 liefert: ( n ) und (b n ) konvergieren und wegen b n = ( + n) n folgt us 0.3c: lim b ( n = lim + n) lim n = lim n =: e. n < e < b n wegen Monotonie. Genuer: e =,

48 0. Ds Wurzelzeichen Sei > 0 fest gegeben, 0 > 0 beliebig gewählt, n+ := n > 0 für lle n N. Ziel: n. ) n n ( ) n + n für n 0 Beweis: n+ = b) n+ n n ( ) n + n = (n ) n 0 n 0 Beweis: n n+ = n nch ). ( ) n + n = ( n n ) 0 n Ist uch 0 <, so ist ( n ) n 0 fllend. Auf jeden Fll gilt wegen und b: ( n ) ist fllend für n und nch unten beschränkt durch. ( n ) konvergiert. Sei α := lim n α > 0 ( ) n+ = n + n Lsse uf beiden Seiten n gehen: α = ( α + α) α = und wegen α > 0 bleibt nur α =. Die Folge ist für genue Berechnung von gut geeignet: n+ = ( n ) n (3) Angenommen: n pproximiert schon uf k Dezimlstellen genu, d.h. n < 0 k. Sei etw. Dnn folgt nch ) und (3): n+ 0, n+ < 0 k Bei jedem Rechenschritt verdoppelt sich lso die Anzhl der ersten richtigen Dezimlstellen. 0. Definition Sei n R n N. Dnn schreibe: ( n ) n N divergiert gegen ± : ( n ) n N konvergiert (im uneigentlichen Sinne) gegen ± k > 0 n 0 N n n 0 ( n ) > k bzw. k < 0 n 0 N n n 0 n < k. 0.3 Beispiele ) Sei r Q, r > 0 lim nr = 48

49 Beweis: Sei k > 0: n r > k n > k r. Rest klr. b) n = n n c) n = ( ) n n Die Folge divergiert weder gegen noch gegen. Bemerkung: ) Jede gegen ± divergente Folge ist unbeschränkt, lso nicht im üblichen Sinne konvergent. b) bzw. sind Symbole, die den Schverhlt der Definition prägnnt bkürzen. (/ R) 0.4 Stz ) Sei n R, n 0 n N. Gilt lim n = oder lim n =, so gilt n = 0. lim b) Sei n > 0 (bzw. n < 0) n N. Dnn gilt in ). Beweis: ) Sei ε > 0, k := ε n 0 N n n 0 n > k (bzw. n < k) ( ) k = ε bzw. n > k = ε b) siehe ) n < Sei n > 0 (bzw. n < 0) n N, K > 0, ε := k n 0 N n n 0 0 < n < ε = ( k bzw. ε = k < n < 0 ) ( ) n 0 N n n 0 n > k bzw. n < k lim n = bzw. 0.5 Bemerkung Es gelten folgende Rechenregeln: ) n, λ > 0 (bzw. λ < 0) λ n (bzw. ) b) n α > 0, b n (bzw. ) n b n nlog für n α < 0 (bzw. ) c) n nch unten beschränkt, b n (bzw. ) n + b n (bzw. ) Für n nch oben beschränkt nlog. 49

50 Ds Cuchy-Kriterium und der Stz von Bolzno/Weierstrß bennnt nch Augustin Louis Bron de Cuchy ( ) Vorbemerkung: Sei ( n ) n N konvergent in R bzw. C. lim n = ε > 0 n 0 (ε) N n n 0 (ε) n < ε ( Sei nun ε > 0 und seien m, n n ε ( 0 ) m, n ε n0 ) m n m }{{} ε + n }{{} ε < ε C. Definition: Cuchy-Folge Sei ( n ) n N eine Folge in R (bzw. in C). Dnn heißt ( n ) n N Cuchy-Folge (=:Cf) genu dnn, wenn gilt: ε > 0 n (ε) m, n n (ε) m n < ε C. Stz Jede konvergente Folge ist eine Cuchy-Folge. ( Beweis: siehe Vorbemerkung. Setze n (ε) := n ε ) 0 D.h.: Notwendig für die Konvergenz einer Folge ist, dss sie eine Cuchy-Folge ist. Umkehrrichtung bei.0: Jede Cuchy-Folge ist konvergent. C.3 Definition Sei ( n ) n eine streng wchsende Folge ntürlicher Zhlen. Dnn heißt ( nk ) k eine Teilfolge der Folge ( n ) n Bemerkung: ( n ) ist Abbildung N R (bzw. C), n n, (n k ) ist Abbildung N N, k n k, ( nk ) ist Verkettung von ( n ) und (n k ). Beispiele: ( n ) n N. ( k+0 ) k N, ( k ) k N, ( k+ ) k 0, ( k) k N etc. sind Teilfolgen von C.4 Bemerkung Konvergiert ( n ) n N gegen, so konvergiert jede Teilfolge gegen. Umkehrung flsch. 50

51 Beweis: Gelte lim n = und sei ( nk ) k N Teilfolge. Dnn gilt: ε > 0 n 0 (ε) n < ε n k k n N ε > 0 n 0 (ε) k n 0 (ε) nk < ε.5 Definition Sei ( n ) n N eine Folge in R (bzw. in C), b R (bzw. C). Dnn gilt: b heißt Häufungswert der Folge ( n ) n N genu dnn, wenn gilt: ε > 0 N N k N k b < ε. C Bemerkung: Eine Folge knn durchus mehrere verschiedene Häufungswerte hben, z. B. n := ( ) n n N..6 Folgerung Konvergiert ( n ) n N gegen, so ist Häufungswert. Umkehrung flsch. C.7 Stz Sei ( n ) n N eine Folge in R (bzw. C) und b R (bzw. C). Dnn gilt: b ist Häufungswert von ( n ) n N Teilfolge ( nk ) k N mit lim k n k = b C Beweis: klr mit.6 Wir wählen induktiv eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen. Sei n :=, k und n k bereits gewählt, so dss n < n <... < n k. Dnn existiert n k+ > n k mit nk+ b < k+.5 ε := k+, N := n k + ) Dnn konvergiert diese Folge der nk gegen b. Begründung: Sei ε > 0 k 0 N mit k 0 k mx (k 0 ; ) nk b < k k 0 lim k n k = b.8 Stz < ε < ε Jede Folge reeller Zhlen ht eine monotone Teilfolge. (Begründung: Wähle in Beweis: Bltt 8 Übungsufgbe 30. 5

52 .9 Stz von Bolzno/Weierstrß bennnt nch Bernhrd Bolzno (78 848) und Krl Weierstrß (85 897) C ) Jede beschränkte Folge ht eine konvergente Teilfolge b) Jede beschränkte Folge ht mindestens einen Häufungswert Beweis: ).) reeller Fll: Nch.8 ht ( n ) eine monotone Teilfolge ( nk ), die nch Vorussetzung beschränkt ist und somit nch 0.9 uch konvergent..) Nch der Konvergenz-Definition gilt im Flle C: z n z( C) Re z n Re z Im z n Im z Sei ( n ) n N C n K (n N) Re n K (n N) k Teilfolge (n k ) in N und α R mit Re nk α. Die Folge (Im nk ) ist durch ) K beschränkt, ht lso nch eine konvergente Teilfolge (Im nkj, die gegen β R konvergiert. Nch ( ) j j Vorbemerkung folgt: nkj α + β b) Folgt us.7 u.. C.0 Huptstz über konvergente Folgen Sei ( n ) eine Folge in R (bzw. in C). Dnn ist äquivlent: ) ( n ) konvergiert b) ( n ) ist Cuchy-Folge, d. h. es gilt ds Cuchy-Kriterium: ε > 0 n (ε) m, n n (ε) m n < ε. c) ( n ) ist beschränkt und ht genu einen Häufungswert. Beweis: ) b) siehe in. b) c) Sei ( n ) Cuchy-Folge. Wir zeigen: ) ( n ) ist beschränkt. 5

53 Begründung: Zu ε := n N m n m m n + }{{} n < + n < K := mx (,..., n, + n ) n n K ( n ) beschränkt. ( n ) ht mindestens einen Häufungswert. b) ( n ) ht genu einen Häufungswert. Annhme: ( n ) ht Häufungswerte, b mit b; ε := b 3. n N m, n n m n < b 3 } ist Häufungswert k n mit k < ε b b ist Häufungswert l n mit l < ε k + }{{} k l + }{{} l b < 3ε = b }{{} 3 3 = b E <ε <ε <ε ( n ) ht genu einen Häufungspunkt. c) ) Sei der Häufungswert von ( n ) n N. Wir zeigen: n Begründung: Sei zunächst n R (n N). Annhme: Die Behuptung sei flsch. Häufungswert ε > 0 dd. n ε für unendlich viele n, etw für n = n k (k =,,...), n < n <... Nch Vorussetzung ist ( n ) beschränkt, d.h. α, β R n N n [α; β]. Ohne Einschränkung: α < ε < + ε < β In [α; ε] oder in [ + ε; β] liegen Folgenglieder nk für unendlich viele k. Aus.9 und.7 und 0.6 folgt: In [α; ε] oder [ + ε; β] liegt ein weiterer Häufungswert von ( n ) E n konvergiert gegen Sei nun n C. Dnn sind (Re n ) und (Im n ) lut Vorussetzung beschränkt und beide hben je genu einen Häufungswert. Nch dem schon bewiesenen folgt: (Re n ) und (Im n ) konvergieren: Re n Im n b n + ib. Definition: Limes superior, Limes inferior Sei n eine Folge in R, α, β R. ) Dnn heißt β Limes superior von n, flls gilt: R.) ε > 0 N N n N n < β + ε.) ε > 0 N N n N n > β ε 53

54 Schreibweise: β = lim sup n = lim n b) Dnn heißt α Limes inferior von n, flls gilt:.) ε > 0 N N n N n > α ε.) ε > 0 N N n N n < α + ε Schreibweise: α = lim inf n = lim n Beispiel: ) n := ( ) n + n lim sup n =, lim inf n = b) b n := n (( ) n ) lim sup b n = 0, lim inf b n existiert nicht. R R. Folgerungen ) lim inf n und lim sup n sind im Flle ihrer Existenz eindeutig bestimmt. b) Flls lim inf n existiert, ist die Folge ( n ) nch unten beschränkt, lim inf n ist kleinster Häufungswert. Flls lim sup n existiert, ist die Folge ( n ) nch oben beschränkt, lim sup n ist größter Häufungswert. c) lim inf n lim sup n, flls beide existieren..3 Stz Sei ( n ) Folge in R. Dnn gilt: ) lim sup n existiert ( n ) ist nch oben beschränkt und (c n ) := sup { k ; k n} ist nch unten beschränkt. Im Flle der Existenz gilt: lim sup n = lim c n = lim sup { k; k n} b) lim inf n existiert ( n ) ist nch unten beschränkt und (d n ) 3 := inf { k ; k n} ist nch oben beschränkt. Im Flle der Existenz gilt: lim inf n = lim d n = lim inf { k; k n} c) lim sup n = lim sup ( n ), flls einer der Ausdrücke existiert. d) ( n ) beschränkt lim inf n und lim sup n existieren. nch Konstruktion monoton fllend 3 nch Konstruktion monoton steigend 54

55 Beweis ) Sei β := lim sup n.;ε= N N n N n β + K := mx {,..., n, β + } n N n < K ( n ) ist nch oben beschränkt. Sei ε > 0. Dnn existiert zu jedem p N ein K p mit k β ε (siehe Definition. ) p N c p := sup { k ; k p} < β ε c n ist nch unten beschränkt. (c n) ist sinnvoll lt. Vorussetzung, monoton fllend und nch unten beschränkt. γ := lim c n Behuptung: lim sup n = γ Sei ε > 0, c n γ, d.h. (c n ) ist monoton fllend ge- Begründung: gen γ..) N N n N c n < γ + ε n N n γ + ε Bedingung b us Definition...) Sei N N c N > γ ε (sogr n N c n > γ) n N n > N n > γ ε Bedingung b us Definition.. γ = lim sup n b) folgt us ) und c). c) leicht ufgrund der Definition. d) folgt us ) und b)..4 Stz Sei ( n ) eine Folge in R. Dnn gilt: ( n ) konvergiert lim inf n und lim sup n existieren und lim inf n = lim sup n = lim n C Beweis: ( n ) konvergiert.0 ( n ) ist beschränkt und ht genu einen Häufungswert lim inf n und lim sup n existieren lim inf n = lim sup n 55

56 Unendliche Reihen C. Definition: Unendliche Reihen Sei n R, (bzw. C), die Folge (s n ) n, s n := Die Summe s n = n k= n k= k heißt unendliche Reihe. k heißt n-te Teilsumme von k (Prtilsumme). k= k= Die Reihe k heißt konvergent, flls (s n ) n konvergiert. Konvergiert (s n ) gegen α R (bzw. in C), so heißt α der Wert der Summe, mn schreibt: Oft kommen ndere Indizierungen vor, z. B. Ds Symbol ) k, k etc. k=0 k= k ht demnch doppelte Bedeutung: k= k ist eine Abkürzung für (s n ) n k= b) Konvergiert letztere Folge, so bezeichnet Teilsummen. k = α. k= n den Limes der Folge der n=. Beispiel n= Beweis: s n = = n(n + ) = n k= ( = n + k(k + ) = ) ( + 3 n k= ( k ) k + ) ( n ) n + C.3 Rechenregeln Seien n, b n konvergent, λ, µ R (bzw. C). Dnn gilt: ) n= n= (λ n + µb n ) konvergiert und (λ n + µb n ) = λ n + µ n= n= n= b n n= 56