4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.

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1 4-1 Elementre Zhlentheorie 4 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Sei eine ungerde Primzhl, sei Z mit, 1 Frge: Wnn gibt es x Z mit x mod? Gibt es ein derrtiges x, so nennt mn einen udrtischen Rest modulo Legendre ht die folgende Nottion eingeführt ds sogennnte Legendre- Smbol: { 1 flls udrtischer Rest modulo ist, 1 flls kein udrtischer Rest modulo ist Es wird ein Verfhren vorgestellt, wie mn den Wert von lgorithmisch berechnen knn sofern mn die Primfktorzerlegung der uftretenden Zhlen kennt Dmit wird lso die gennnte Frge bentwortet offen bleibt dbei ber, wie mn ein x mit x mod wirklich findet! Mn brucht die folgenden Eigenschften des Legendre-Smbols hier ist eine ungerde Primzhl, und,, b sind Zhlen, die nicht durch teilbr sind K Kongruenz-Eigenschft Gilt mod, so ist M Strke Multiliktivität: Es ist Z Der Wert für : Es ist b b 1 1/8 R Ds Rezirozitätsgesetz: Sind, verschiedene ungerde Primzhlen, so gilt Hier ein tisches Beisiel, wie mn vorgeht: 4 61 M R 1 Z R , lso brucht mn K 1 3 K 5 7 M 1 R R Z Insgesmt erhlten wir , demnch ist 4 udrtischer Rest modulo 61 Wir notieren hier noch einige Sezilfälle, ber uch eine zusätzliche Regel, die ds Verfhren bkürzen knn:

2 Leitfden Bielefeld WS 006/ Es ist 1 Dies folgt us M, ist ber trivil Q Qudrte Es ist 1 Dies folgt ebenflls us M, ist ber uch trivil -1 Der Wert für 1 Es ist Die Regel -1 ist ein Sezilfll des Euler-Kriteriums, ds wir in 41 beweisen werden; us dem Euler-Kriterium folgt direkt M Die Regel K ist offensichtlich R ist ds berühmte Guß sche Rezirozitäts-Gesetz, wir werden zwei Beweise vorführen von Guß selbst gibt es sieben oder cht Beweise, insgesmt gibt es mehr ls hundert Beweise und Beweis-Vrinten Die Regel Z wird in 44 bewiesen Bechte: 1 ist genu dnn ungerde, wenn 3 mod 4 gilt Wir können dher die Aussge R umformulieren: flls 3 mod 4, und 3 mod 4, flls 1 mod 4, oder 1 mod 4 Entsrechend lässt sich die Aussge -1 folgendermßen formulieren: { 1 1 flls 1 mod 4, 1 flls 3 mod 4 Hier ist die Liste der ungerden Primzhlen < 100, mrkiert sind jeweils die Primzhlen mit 3 mod Schließlich lässt sich uch die Regel Z umschreiben: { 1 flls 1 mod 8, oder 7 mod 8, 1 flls 3 mod 8, oder 5 mod 8, Beweis: Mn rechnet modulo 16: Ist 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 mod 16, so ist 1 1, 9, 9, 1, 1, 9, 9, 1 mod Ds Euler-Kriterium Sei eine Primzhl und, 1 Dnn ist 1 mod

3 4-3 Elementre Zhlentheorie Beweis: Dies folgt unmittelbr us der Ttsche, dss Z/ eine zklische Grue mit gerder Ordnung 1 ist und die Restklsse von 1 in Z/ die Ordnung ht Siehe 385 Dort wurde gezeigt: Genu dnn ist ein Qudrt in Z/, wenn 1/ 1 mod gilt Für jedes Element in Z/ gilt 1 1 mod, lso ht ds Element 1/ die Ordnung 1 oder in Z/ Ist nun kein Qudrt in Z/, so ht lso 1/ die Ordnung in Z/, Die Restklsse von 1/ stimmt lso mit der Restklsse von -1 überein Folgerung: Beweis der Eigenschft M Es ist b 1 1 b 1 b Aus b b 4 Ds Guß sche Lemm b mod folgt ber b b mod, denn ist ungerde Erinnert sei n den folgenden Beweis des kleinen Fermt: sei beliebige Primzhl,, 1 Dnn ist die Menge {,, 3,, 1} nichts nderes ls die Menge {1,,, 1} nur eben vielleicht umgeordnet: Die Multiliktion mit in Z/ ermutiert die Elemente von Z/ Dies liefert ds linke Gleichheitszeichen: 1 j 1 j 1 j1 j1 1 j j1 Ds Element 1 j1 j in Z/ ist invertierbr, lso ist 1 1 mod Ds Guß sche Lemm rbeitet mit dem gleichen Trick, betrchtet ber nur ds Produkt 1/ j1 j, flls eine ungerde Primzhl ist Wir setzen wieder vorus, dss eine ungerde Primzhl ist Die Zhlen 1,,, 1 teilen wir in zwei Hälften: P N Die unktierte Linien ist die Siegelchse für die Multiliktion mit 1 wir können die Zhlen in N in der Form 1+, +,, 1 + schreiben dbei durchlufen wir sie von rechts nch links Alterntiv können wir uch die Menge N um nch links verschieben, lso die Menge N { 1,,, 1} betrchten; dnn sieht mn noch eindringlicher, dss sich die Mengen P und N oder N unter der Multiliktion mit 1 entsrechen 1 N P

4 Leitfden Bielefeld WS 006/ Bechte: die Zhlen j mit 1 j 1 sind die betrgsmäßig kleinsten Reste mod Für ds Guß sche Lemm emfiehlt es sich, die folgende Bezeichnung einzuführen: Für x Z sei rx der betrgsmäßig kleinste Rest von x modulo : es ist lso x rx mod und 1 rx 1 Ws ist die Bedeutung der Menge P {1,,, 1 }? Sie liefern lle Qudrtzhlen: Die Elemente 1,,, 1 in Z/ sind rweise verschieden und sind gerde die Qudrtzhlen in Z/ Beweis: D Z/ ein Körer ist, ht ein udrtisches Polnom wie etw f X mit Z/ höchstens Nullstellen in Z/ Ht f eine Nullstelle α in Z/, so zerfällt f in Linerfktoren: f besitzt lso zwei Nullstellen, und diese können für und 0 nicht zusmmenfllen Wir sehen: f ht die Fktorisierung f X α X αx + α und α α Ist ber α P, so ist α N, ist α N, so ist α P Wir sehen lso: die Qudrte der Zhlen in P sind rweise verschieden Und ist α N, so ist α α und α P Guß sches Lemm Sei ungerde Primzhl Sei, 1 Sei µ die Anzhl der Zhlen j P, sodss die Restklsse der Zhl j modulo zu N gehört Dnn ist 1 µ Andere Formulierung: µ ist die Anzhl der Zhlen 1 j 1 mit rj < 0 Beweis: Wir zeigen ls erstes: Die durch j rj definierte Abbildung P P ist injektiv lso bijektiv Seien 1 i, j 1 Sei ri rj Es ist dnn entweder ri rj oder ri rj Ds letztere ist ber nicht möglich, denn dies würde bedeuten i ri rj j mod, lso i + j 0 mod ber, 1 und 1 i + j 1 Aus ri rj und 1 i, j < folgt ber i ri rj j, lso teilt i j und demnch i j Für 1 i, j < folgt drus i j Trivile Bemerkung: Ist rj < 0, so ist rj rj, ist rj > 0, so ist rj rj Es ist demnch 1/ j1 rj 1 µ 1/ rj 1 µ 1/ j; j1 die letzten beiden Produkte unterschieden sich nur in der Reihenfolge der Fktoren, denn es ist { r, r, r3,, r 1 1 } {1,,, } Andererseits ist 1/ j1 rj 1/ j1 j 1 j1 j1 j mod Wir sehen lso: 1 µ 1/ j1 j 1 1 j1 j

5 4-5 Elementre Zhlentheorie Ds Element 1/ j1 j in Z/ ist invertierbr, lso ist 1 µ 1 mod Als letztes verwenden wir nun ds Euler-Kriterium 43 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Erster Beweis Stz Guß Seien, verschiedene ungerde Primzhlen Dnn gilt Beweis nch Eisenstein, siehe Scheid Sei µ die Anzhl der x mit 1 x 1 sodss der betrgsmäßig kleinste Rest von x modulo negtiv ist Sei λ die Anzhl der mit 1 1 sodss der betrgsmäßig kleinste Rest von modulo negtiv ist Zu zeigen ist: Es ist µ + λ genu dnn ungerde, wenn gilt 3 mod 4 Wir betrchten in der reellen Ebene R die Punkte mit gnzzhligen Koeffizienten, wir nennen sie Gitterunkte unser Gitter ist lso die belsche Grue Z Wir zählen die Gitterunkte x, mit 1 x 1, 1 1 diese Punkte bilden ein Rechteck, sodss zusätzlich gilt: < x + 1, x < + 1 Wir nennen diese Menge Γ Hinweis: Die beiden Gerden x+ 1 und x + 1 sind rllel zur Gerden, die letztgennnte Gerde wird im Folgenden mit g bezeichnet x Hier zwei Beisiele: x + 1 x x x

6 Leitfden Bielefeld WS 006/ x + 1 x x x Wir betrchten die Punktsiegelung x, +1 x, +1 x, Dies ist eine Abbildung σ mit σ x, x,, die den Punkt +1 und nur diesen fixiert einfches Nchrechnen! in den beiden Beisielen ist der Punkt ls Stern mrkiert; im zweiten Beisiel ist dies ein Gitterunkt, im ersten nicht! Wir zeigen: Die Menge der Gitterunkte in Γ wird unter σ in sich lso uch uf sich bgebildet Beweis: Sei x, Γ Aus 1 x folgt 1 +1 x 4, und entsrechend für Dies zeigt, dss ds betrchtete Rechteck in sich bgebildet wird D x, Γ, gilt x 1 <, lso x x x x 1 > Entsrechend folgt us 1 > x, dss gilt + 1 > x Wir zeigen: Im Streifen Γ gibt es genu λ + µ Gitterunkte Genuer: 1 Auf der durch x definierten Gerden g liegt kein Gitterunkt Oberhlb dieser Gerden g liegen in Γ genu µ Gitterunkte 3 Unterhlb der Gerden g liegen in Γ genu λ Gitterunkte Beweis 1 Aus x folgt x d, verschiedene Primzhlen sind Aber 1 x <

7 4-7 Elementre Zhlentheorie Beweis Sei 1 x 1, sodss der betrgsmäßig kleinste Rest von x modulo negtiv ist Also gilt Wir schreiben dies um: x + r mit 1 r 1 1 x 1 Bechte: Es folgt 1 1, denn es gilt: Wäre 0, so wäre x x > 0 Und es ist lso x < +1, +1 1, lso 1 Dies liefert µ Gitterunkte im oberen Streifen Umgekehrt ist uch zu zeigen, dss mn uf diese Weise lle Gitterunkte in diesem Streifen erhält Der Beweis von3 ist ntürlich entsrechend 44 Eine Folgerung us dem Guß schen Lemm 441 Sei ungerde Primzhl, sei, 1 Sei µ wie im Guß schen Lemm definiert Dnn gilt µ + 1 j j1 Beweis: Teilen wir eine beliebige gnze Zhl durch mit Rest, so erhlten wir die Gleichung + r, mit 0 r < Dbei gilt: Ist r 1, so ist r r Ist dgegen r > 1, so ist r r denn in diesem Fll ist 1 r < 0 und ntürlich r r mod Ist lso r > 1, so ist r r + Im folgenden sind lle Summierungen über 1 j 1, lso steht für 1 j1 Als erste Gleichung ergibt sich: j j j + r j j + r j j + rj + µ j + rj + µ mod,

8 Leitfden Bielefeld WS 006/ dbei gilt die letzte Kongruenz wegen 1 mod Wie wir im Beweis des Guß-Lemms gesehen hben, ist die Folge eine Permuttion der Folge 1,,, 1 r, r, r3,, r 1 Dies liefert ds linke Gleichheitszeichen in j rj rj mod, ds Kongruenzzeichen gilt ntürlich für beliebige gnze Zhlen b: es ist b b mod Subtrhieren wir die Gleichung von der Gleichung, so erhlten wir 1 j j + µ mod Es bleibt noch zu bemerken, dss beknntlich n i1 i n+1 1 nn + 1 ist Für n 1 ist n+1 nn Wir können lso j durch 1 8 ersetzen 44 Erster Sezilfll: Wir erhlten die Regel Z 1 1/8 Für erhält mn in 441 links 1 8, und rechts erhält mn µ, denn lle nderen Summnden sind j j 1 0 wegen j 1 Ds Guß- Lemm liefert die Behutung 443 Zweiter Sezilfll: ungerde Sei > Primzhl, sei, 1 Dnn gilt: 1 µ mit µ 1/ j Beweis: Links gibt es in 441 den Fktor 1 0 mod, lso ist die linke Seite Null, demnch ist µ 1/ j j1 mod, die Behutung folgt nun us dem Guß schen Lemm j1 45 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Zweiter Beweis Wir definieren: und S {x, Z 1 x 1, 1 1 }, S 1 {x, Z 1 x 1, 1 x}, S {x, Z 1 1, 1 x }

9 4-9 Elementre Zhlentheorie Bechte, dss S 1, S in S enthlten sind denn zum Beisiel folgt us x und x 1, dss gilt x 1 1 < 1, lso Umgekehrt ist ntürlich S in S 1 S enthlten und S 1 S ist eine disjunkte Vereinigung: uf der Gerden x 1 gibt es keinen Gitterunkt x, mit 1 x denn us x und der Ttsche, dss, verschiedene Primzhl sind, folgt x; für 1 x 1 ist dies ber nicht möglich Wir sehen lso: S S 1 S und dies ist eine disjunkte Vereinigung 7 19 x 1 S S 1 1 Wir zählen nun die Gitterunkte in S, S 1, S b Offensichtlich ist Die Anzhl der Elemente in S 1 ist Entsrechend gilt S 1 1 S 1 1/ x x1 S 1/ 1 x 7 19 x 1 S S 1 1 x

10 Leitfden Bielefeld WS 006/ die einzelnen Summnden von S 1 entsrechen den vertiklen Strecken; die Summnden von S den horizontlen Strecken Wegen 443 gilt für ungerde Primzhlen 1 µ mit µ 1/ x1 1 λ mit λ 1/ 1 x S 1 S und dher 1 S 1 + S 1 S Eine Anwendung: Einige Teiler Mersenne scher Zhlen Lemm Sei eine Primzhl mit 3 mod 4 Ist + 1 eine Primzhl, so ist ein Teiler der Mersenne schen Zhl M Beweis: Sei + 1 eine Primzhl Wegen 3 mod 4, ist 7 mod 8, lso ist udrtischer Rest modulo Sei x mod Es ist x x x 1 1 mod dbei hben wir m Ende den kleinen Fermt verwndt Dies besgt: ist ein Teiler von 1 M Beisiele: 11 Es ist 11 3 mod 4 und ist Primzhl Also ist 3 ein Teiler von M es gilt: M Und 3 Es ist 3 3 mod 4 und ist Primzhl Also ist 47 ein Teiler von M