ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018
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- Laura Walter
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1 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018 KARLHEINZ GRÖCHENIG So wie Sort Trining erfordert, erfordert Mthemtik ds selbständige Lösen von Übungsufgben. Ds wesentliche n den Übungen ist ds Selbermchen! Diese Zusmmenstellung von Übungen beruht uf Übungssmmlungen von Christoh Bx, Leo Summerer und mehreren Lehrbüchern. Übungen für die Woche , zum Teil noch vor der ersten Vorlesung 1. Fru Müller erzählt ihrer Nchbrin, dß sie drei Töchter ht. Wie lt sind sie denn? frgt diese. Wenn ich ihre Alter multiliziere, dnn kommt 36 herus, und wenn ich ihre Alter ddiere, ergibt sich die Husnummer d drüben. Die Nchbrin ntwortet: Schön, ber dmit weiß ich noch nicht sicher, wie lt Ihre Töchter sind. Druf entgegnet die Nchbrin: Stimmt, ber wissen Sie, meine älteste Tochter sielt Cello. Druf entgegnet die kluge Nchbrin: Dnke, jetzt weiß ich Bescheid. Wie lt sind die Töchter? 2. Diskutieren, beweisen oder widerlegen Sie folgenden Aussgen: (i Wenn n 3 gerde (ungerde ist, dnn ist uch n gerde (ungerde (ii Wenn 3 die gnze Zhl n teilt, dnn teilt uch 4 die Zhl n. 3. Zeigen Sie, dß uf Z durch die Reltion x y x y ist gerde eine Äquivlenzreltion definiert wird, dß ber durch keine solche definiert wird. x y x y 2 4. Ein Stmmbruch ist ein Bruch der Form 1/n für n N. Beweisen oder widerlegen Sie: (i Jeder Stmmbruch knn ls Summe von zwei Stmmbrüchen drgestellt weden. (ii Jede Summe zweier Stmmbrüche ist (nch Kürzen wieder ein Stmmbruch. (iii Jede ositive rtionle Zhl ist ls Quotient zweier Stmmbrüche drstellbr. (iv Jeder Stmmbruch ist ls Produkt von zwei Stmmbrüchen drstellbr. (v Finden Sie sämtliche Möglichkeiten, die Zhl 1 ls Summe von drei Stmmbrüchen drzustellen. 1
2 2 KARLHEINZ GRÖCHENIG Übungen zum Stoff: Teilbrkeit, ggt,kgv, Primzhlen 5. (i Zeigen Sie ( b ( n b n für lle, b Z und n N. (ii Flls m n, dnn gilt ( m b m ( n b n (mit, b Z, m, n N 6. Zeigen sie, wenn 3 n für n N, dnn 3 (n Zeigen Sie, dß mn den Stz von der Division mit Rest so bändern knn, dß = qb + r mit b/2 < r b/2. 8. Zeigen Sie oder widerlegen Sie für, b N: (i ggt (, b = ggt(, b, (ii ggt ( b, + b = ggt(, b, (iii ggt( 2, b 2 = (ggt(, b Zhlen mit einer bestimmten Struktur hben oft einen gemeinsmen Teiler. Zeigen Sie (mit Induktion, dß 13 (4 2n n+2 für n N {0}. 10. Zeigen Sie, dß (i 4 (5 n + 7. (ii 6552 (n 13 n für lle n N. Achtung: flsch! Wie könnte mn dieses Beisiel korrigieren? (iii n 2 (1 n + 2 n + + n n für lle n N. Ebenso flsch! 11. Bestimmen Sie den größten gemeinsmen Teiler (mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. (i ggt (7469, 2464 (ii ggt (2689, 3997 (iii ggt (4144, 7696 (iv ggt (2947, Finden Sie (mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus gnze Zhlen x, y Z, sodß (i 243x + 198y = 9 (ii 43x + 64y = 1 (iii 93x 81y = 3 (iv 71x 50y = 1 Ws ist ggt (71, 50 und ggt (93, 81? 13. Zeigen Sie ggt (2k + 1, 9k + 4 = 1 für lle k Z. 14. Bestimmen Sie (i ggt (2024, 1332, 22. (ii ggt (56049, 14601, Beweisen Sie folgende Aussgen für, b 1,... b k Z: (i ggt (ggt (b 1, b 2, b 3 = ggt (b 1, b 2, b 3 (ii ggt (, b 1 b k = 1 gilt genu dnn, wenn ggt (, b j = 1 für j = 1,..., k. 16. Finden Sie (unter Benützung von 15(i eine gnzzhlige Lösung der folgenden Gleichungen: (i 2024x y + 22z = ggt(2024, 1332, 22 mit x, y, z Z.
3 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS (ii Ebenso für 21x + 15y + 35z = Zhlentheorie für eine Prty: Sie besitzen zwei Eimer Wsser mit einem Fssungsvermögen von neun (= 9 Litern und vier (= 4 Litern. Können Sie us dem nhegelegenen Schwimmbecken genu fünf Liter bführen? Ist es möglich, genu sechs Liter bzuführen? Welche Wssermengen sind möglich? 18. Zeigen Sie: (i Sei n Z nd d N der kleinste Teiler > 1 von n. Dnn ist d eine Primzhl. (ii Seien 1,..., n beliebige verschiedene Primzhlen. Dnn gibt es stets eine Primzhl q mit q j, j = 1,..., n. 19. Zeigen Sie folgende Behutung: ( (i Wenn > 3 und sowohl ls uch +2 Primzhlen sind, dnn gilt 12 +(+2. (ii Finden Sie lle Primzhldrillinge, d.h., + 2, + 4 sind Primzhlen. 20. Zeigen Sie, dß jede ntürliche Zhl der Form n = 4k + 3 mit k N entweder eine Primzhl ist oder einen echten Teiler besitzt, der uch von dieser Gestlt ist. Schließen Sie drus, nlog zu Euklids Argument, dß es unendlich viele Primzhlen der Form 4k + 3 gibt. 21. Zeigen Sie, dß es unendlich viele Primzhlen der Form 3k + 2 (mit k N gibt. 22. Sei eine Primzhl, sodß 2 1 uch eine Primzhl ist und setze n = 2 1 (2 1. Zeigen Sie, dß die Summe sämtlicher ositiver Teiler von n genu 2n ist; forml d n d = 2n. 23. (i Sei eine Primzhl > 2. Zeigen Sie, dß 24 ( 3. (ii Sei eine Primzhl > 5. Zeigen Sie, dß 5 ( 4 1. (iii Sei eine Primzhl > 5. Zeigen Sie, dß 240 ( Seien n 1,..., n k N. Zeigen Sie: (i kgv (kgv(n 1,..., n k 1, n k = kgv(n 1,..., n k 1, n k. (ii Seien n 1,..., n k N rweise reltiv rim. Dnn gilt kgv(n 1,..., n k = n 1 n 2... n k. 25. Seien, b, c, n N und ggt (, b = 1. Flls b = c n, dnn sind und b ebenflls n-te Potenzen. 26. Zeigen Sie, dß n N jedes Produkt von n ufeinnderfolgenden ntürlichen Zhlen teilt. 27. Sei n die n-te Primzhl ( 1 = 2, 2 = 3,.... Zeigen Sie, dß n 2 2n 1 ist (mit Induktion. 28. Sei (x = x n + n 1 x n x + 0 ein Polynom n-ten Grdes mit gnzzhligen Koeffizienten j Z. Zeigen Sie, dß eine Nullstelle X (lso (X = 0 entweder gnzzhlig oder irrtionl ist.
4 4 KARLHEINZ GRÖCHENIG Zu Kongruenzen und Restklssen 29. Zeigen sie mit Hilfe von Kongruenzen die folgenden Aussgen us früheren Übungen noch einml: (i Wenn 3 n für n N, dnn 3 (n (ii 13 (4 2n n+2 für n N {0}. (iii 4 (5 n Bestimmen Sie den Rest der folgenden Divisionen mit Hilfe von Kongruenzen: (i ( : 11 (ii ( : Beweisen oder widerlegen Sie: (i 2 b 2 mod m = b mod m (ii b mod m = 2 b 2 mod m 2 (iii b mod m = n n b mod m. (iv c bc mod m = b mod m. 32. Zeigen Sie folgende Teilbrkeitsregel für 13: = k j=0 j10 j ist durch 13 genu dnn teilbr, wenn 13 k j=0 ( 3j j. ( j {0, 1,..., 9}. 33. Sei, b Z und eine Primzhl. Zeigen Sie, dß ( + b + b mod gilt. Vergleichen Sie mit dem binomischen Lehrstz. 34. Sei n = b 0 + b b b k 3 k, b j {0, 1, 2}, die tridische Entwicklung von n N. Leiten Sie eine Regel für die Teilbrkeit durch 2, 7 und 9 b. 35. Für welche Z sind die folgenden lineren Kongruenzen lösbr? (i 11x mod 80 (ii 12x mod 16 (iii 3x 5 mod (iv x 11 mod Seien 1,..., n Z nicht lle null. Zeigen Sie, dß die diohntische Gleichung n j=1 jx j = b genu dnn lösbr ist, wenn ggt ( 1,..., n b. 37. Sei ein Polynom mit gnzzhligen Koeffizienten und d N, sodß (x 0 mod d für d ufeinnderfolgende Werte von x. Zeigen Sie, dß dnn (x 0 mod d für lle x Z gilt. 38. (i Bestimmen Sie eine Zhl, die bei Division durch 2, 3, 6 und 12 die Reste 1, 2, 5 bzw. 5 lässt. (ii Bestimmen Sie eine Zhl, die bei Division durch 10, 13 und 17 die Reste 3, 11 bzw. 15 lässt. 39. Lösen Sie die folgenden simultnen Kongruenzen: (i x 1 mod 7, x 4 mod 9, x 3 mod 5 (ii x 1 mod 20, x 9 mod 21, x 20 mod 23
5 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS Finden Sie lle Lösungen mod des Systems 7x 8 mod 20, 5x 6 mod 21, 9x 13 mod (i Untersuchen Sie ds simultne Kongruenzsystem x mod 8, 2x 2 mod 7, 3x 1 mod 10 uf Lösbrkeit. Für welche Werte von {0, 1, 2,..., 7} ist ds System lösbr und für welche nicht? (ii Im Fll der Lösbrkeit finden Sie die Lösungen. 42. Bestimmen Sie rime Restsysteme mod 20, mod 21 und mod 40 und ϕ(20, ϕ(21, ϕ( Bestimme lle Elemente von Z 25 und deren Ordnung. 44. Sei eine Primzhl. (i Ist x + y = z mit x, y, z N, so gilt x + y z. (ii Ist (, b, c N 3 eine Lösung von x 1 + y 1 = z 1, so gilt bc. 45. Sei n N, n > 4 keine Primzhl. Zeigen Sie, dß (n 1! 0 mod n. 46. Zeigen Sie, dß es zu jedem m N nur endlich viele n N gibt, sodß ϕ(n = ϕ(m ist. 47. Zeigen Sie: wenn k l, dnn ϕ(k ϕ(l. 48. Sei ϕ die Eulersche Funktion, n N. Zeigen Sie: (i 6 n = ϕ(n n/3. (ii ϕ(n = 14 ht keine Lösung. (iii 3ϕ(n = n n = 2 k 3 j mit j, k N. (iv ϕ(n = m ht für jedes feste m N nur endlich viele Lösungen. 49. Zeigen Sie: Für jede Primzhl 2 gilt ( 2 2 ( 1 (+1/2 mod. 50. Zeigen Sie, dß es zu jedem ungerden m N ein n N, n m, gibt, sodß ϕ(n = ϕ(m. (Für gerdes m ist diese Aussge noch unbewiesen! 51. Bestimmen Sie lle n N, für die ϕ(n gerde ist. 52. Zeigen Sie für m, n N, dß ϕ(mn > ϕ(mϕ(n genu dnn gilt, wenn m und n nicht teilerfremd sind. 53. Zeigen Sie noch einml mithilfe der Resultte über die rime Restklssengrue, dß 2730 (n 13 n. Achtung: Beisiel korrigiert, es muß n 13 sttt n 3 stehen! 54. Berechnen Sie die letzten drei Stellen von Seien, b Z und eine Primzhl. Zeigen Sie: wenn b mod, dnn gilt sogr b mod Stellen Sie die Indextbelle mod 23 uf und lösen Sie die Kongruenzen 2x 5 11 mod 23 und 7 5 x 3 mod Gibt es ein n N gibt, sodss 7 ein Teiler von n ist?
6 6 KARLHEINZ GRÖCHENIG 58. Sei > 2 rim und Z ein QR modulo. Zeigen Sie, dß uch QR modulo α für lle α 1 ist. (Hinweis: setzen Sie jede Lösung von x 2 mod k 1 zu einer Lösung mod k fort. 59. ( Sei eine ungerde Primzhl. Ds Legendre-Symbol wird oft so erweitert, dß = 0 für gesetzt wird. Zeigen Sie, dß die Kongruenz x 2 ( mod ( dnn immer genu 1 + Lösungen besitzt. 60. Sei > 2 eine Primzhl. (i Ist QR modulo und b 1 mod, so ist uch b QR modulo. (ii Durch welche r knn mn 1 in obiger Kongruenz ersetzen, dmit die Folgerung richtig bleibt? (iii Eine Primitivwurzel mod ist stets QNR modulo. 61. Sei eine ungerde Primzhl. Zeigen Sie, dß 1 =1 ( ( ( 62. Berechen Sie die Legendre-Symbole 1 31, 1 17, 2 41 ( = 0 ist. ( und 63. Zeigen Sie, dßes unendlich viele Primzhlen der Form 7k + 8 gibt. Hinweis: Angenommen es gäbe nur endlich viele 1,..., s. Betrchten Sie N = ( s 2 2 und verwenden Sie den zweiten Ergänzungsstz. 64. Sei eine Primzhl mit 1( mod 4. ( Zeigen Sie, dß die Kongruenz x 2 1( mod genu die beiden Lösungen ±! modulo ht Welche der folgenden Kongruenzen sind lösbr? (i x 2 59( mod 79 (ii x 2 17( mod 41 (iii x 2 29( mod Berechnen Sie die Restsymbole ( lösbr? und ( Sind die Kongruenzen x mod und x mod Sei 1 mod 4 rim. Zeigen Sie, dß Hinweis: ( ( =. 1 ( = 0. =1 68. Sei eine Primzhl 2, 3. Zeigen Sie, dß die Kongruenz x 2 3( mod genu dnn lösbr ist, wenn 1( mod 6 ist. Hinweis: Berechnen Sie ( ( 3 6k+1 und 3 6k+5.
7 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS Seien 1,..., k verschiedene ungerde Primzhlen. Ist (, 1 k = 1, so ht die Kongruenz x 2 mod 1 k entweder keine oder 2 k verschiedene Lösungen. 70. Zeige, dss bei einem Kettenbruch x = [ 0, 1,...] die Zähler n und Nenner q n der Näherungsbrüche für n 1 n x durch die Mtrizengleichung ( ( ( ( n n n 1 = q n q n gegeben sind. 71. Entwickle die Zhlen und in einen (regelmäßigen Kettenbruch. 72. Bestimme den Wert und die Näherungsbrüche der Kettenbrüche (i [4; 7, 5, 1, 2] und (ii [ 2; 1, 3, 2, 2]. 73. Finde für die Zhl π die Teilnehmer n und Näherungsbrüche n /q n für n = 1,..., Entwickle 13 in einen (unendlichen Kettenbruch.
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1. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen
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Zu Aufgabe 1: Bringen Sie die nachstehenden Gleichungssysteme in die Form A x
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6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
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Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
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UE Zahlentheorie (Modul: Elementare Algebra (EAL)) Markus Fulmek Sommersemester 2015 Aufgabe 1: Betrachte folgende Partition der Menge r9s t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u Ă N: r9s t1, 4, 7u 9Y t2, 5, 8u 9Y
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Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.
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Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18
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3 Uneigentliche Integrale
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10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
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2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen
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Tag der Mathematik 2016
Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt In einer zweiten Schle Grund; Die zweite gibt, sie wird zu reich,
Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
3 Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
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VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)
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Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag
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10 Integrationstechniken
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Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung
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