Technische Universität München SS 2006 Fakultät für Informatik Übungsblatt 5 Prof. Dr. A. Knoll 30. Juni 2006

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1 Technische Universität München SS 26 Fkultät für Informtik Übungsbltt 5 Prof. Dr. A. Knoll 3. Juni 26 Übungen zu Einführung in die Informtik II Aufgbe 5 Kleidung ) Wir definieren zunächst die Aktionenmenge A = {,..., n : : Anziehen der Unterhose : Anziehen der Hose 2 : Anziehen des Guertels 3 : Anziehen des Unterhemds 4 : Anziehen des Hemds 5 : Anlegen der Hosentreger 6 : Anlegen der Krwtte 7 : Anziehen des Jckets 8 : Anziehen der Socken 9 : Anziehen der Schuhe : Anlegen des Mntels : Aufsetzen des Huts Die Definition der Ereignismenge E lässt sich nicht direkt us relen Gegebenheiten herleiten. Wir nehmen dher n, dss es sich bei einem Ereignis qusi um den Willen der Person hndelt, ein bestimmtes Kleidungsstück nlegen zu wohlen. D.h. wir definieren für jede der o.g. Aktionen jeweils ein Ereignis e i ds die Aktion uslöst. Es gilt lso α(e i ) = i Zur Definition des Prozesses benötigen wir schließlich noch die Kuslitätsreltion < E E, d.h. eine Festlegung welches Ereignis unbedingt vor einem nderen stttfinden muss. Die Elemente der Menge ergeben sich us der Kuslität obiger Aktionen, die j mit genu einem Ereignis verbunden sind. So folgt z.b. us der Ttsche, dss ds Unterhemd vor dem Hemd ngezogen wird e 3 < e 4, bzw. us der Ttsche, dss mn ds Jcket erst nch den Hosenträgern nziehen knn e 5 < e 7 usw. D wir < ls trnsitive Hülle definiert hben, reicht es völlig us nur benchbrte Kuslitäten ufzunehmen. Als Definition erhlten wir somit < E E ls trnsitive Hülle der Menge {(e 3,e 4 ),(e 5,e 7 ),(e 4,e 6 ),(e 4,e 6 ),(e 8,e 9 ),(e,e ),(e,e 2 ),(e,e 5 ),(e 9,e ),(e 7,e ),(e,e ),. Dmit hben wir den Prozess P = (E,<,α) vollständig beschrieben. b) Aus der obigen Definition von < ergibt sich folgendes Aktionsdigrmm: e e e 2 e 9 e 8 e 3 e 4 e 5 e 7 e e 6 e

2 2 c) Eine vollständige Sequenzilisierung wäre z.b.: e e e 8 e 9 e 2 e 3 e 4 e 6 e 5 e 7 e e c) Trnsitivität bedeutet im Fll der Kuslitätsreltion: ( < b) (b < c) ( < c), lso z.b. folgt us der Ttsche, dss ds Unterhemd vor dem Hemd und dieses wiederum vor dem Jcket ngezogen werden muss, dss ds Unterhemd vor dem Jcket ngezogen werden muss. Wegen der Trnsitivität der Reltion lässt sich uch leicht zeigen, dss die Unterhose vorm Jcket ngezogen werden muss: die Unterhose muss vor der Hose ngezogen werden und diese vor den Hosenträgern ((e,e ) (e,e 5 ) (e,e 5 )). Ds Jcket knn wiederum erst nch den Hosenträgern ngezogen werden ((e 5,e 7 ) (e,e 5 ) (e,e 7 )q.e.d.) Aufgbe 6 Kleinstes Präfix Ausgehend von der Ereignismenge E = {e i : i IN und der Aktionenmenge A = {,, 2, 3 sei der Prozess P = (E,<,α) gegeben durch α : E A def. durch α(e i ) = imod4 für i IN < E E def. ls die trnsitive Hülle der Menge {(e i,e i+2 ),(e 4i,e 4i+3 ),(e 4i+3,e 4i+4 ) : i IN ) Ein Präfix von P ist ein Prozess (E,<,α ) mit E E, < =< E E, α = α E und e E,e E : e < e e E. Ds kleinste Präfix P 4,5 von P, ds die Ereignisse e 4 und e 5 enthält: 2 3 P 4,5 b) Eine unvollständige Sequentilisierung von P 4,5 ergibt sich z. B. durch Hinzufügen der drei gestrichelten Knten und Weglssen jeder Knte, zwischen deren Endpunkten es noch einen nderen Pfd gibt. Lässt mn eine der drei gestrichelten Knten us, ist die Sequentilisierung ntürlich uch unvollständig

3 3 Eine vollständige Sequentilisierung erhält mn durch topologisches Sortieren. Dbei sind die Knoten derrt in einer Linie nzuordnen, dss lle Knten in die gleiche Richtung zeigen. (Ds lässt sich leicht bewerkstelligen, indem mn mit einem Knoten beginnt, uf den keine Knte zeigt, diesen us dem Grphen smt seinen usgehenden Knten entfernt und so fortfährt, bis die Knotenmenge erschöpft ist. Zyklenfreiheit ist bei Prozessen gegeben.) Die linere Ordnung, die sich drus in derselben Richtung zwischen den Knoten ergibt, erweitert die ursprüngliche Reltion. Ds Ergebnis einer vollständigen Sequentilisierung ist ein sequentieller Prozess. c) Die Spuren (die Aktionsströme der vollständigen Sequentilisierungen) von P 4,5 : <,, 2, 3,, > <,, 2, 3,, > <,, 2, 3,, > <,, 2, 3,, > <,, 3, 2,, > <,, 3, 2,, > <,, 3, 2,, > <,, 3, 2,, > <,, 3,, 2, > <,, 3,, 2, > <, 2,, 3,, > <, 2,, 3,, > Aufgbe 7 Aktionsstruktur (Prozess) ) Zur Definition der Aktionsstruktur (E,<,α) über einer Menge E von Ereignissen und einer Menge A von Aktionen gehört die Forderung, dss die Kuslitätsreltion < endlich fundiert ist. () Die Forderung drückt us, dss jedes Ereignis (uch in unendlichen Prozessen) nur endlich viele kusle Vorgänger besitzt. Druf beschränkt sich unsere Theorie, in der Annhme ein breites Spektrum von Anwendungen zu erfssen. (2) Eine prtielle Ordnung heißt Noethersch, wenn es keine unendlich bsteigende Kette gibt. Beispiel einer Noetherschen ber nicht endlich fundierten prtiellen Ordnung: Auf den ntürlichen Zhlen stehe jede gerde Zhl zu llen ungerden Zhlen in Reltion, und sonst stehe nur jede Zhl zu sich selbst in Reltion. b) Sei P = (E,<,α ) der Prozess und P 2 = (E 2,< 2,α 2 ) der Prozess ({e,e 2,{(e,e ),(e 2,e 2 ),{e,e 2 2 ) ({e,e 2,{(e,e ),(e 2,e 2 ),{e 2,e 2 ) () P ist kein Teilprozess von P 2, (2) P ist keine Sequentilisierung von P 2, (3) P ist ber isomorph zu P 2.

4 4 Begründung zu () und (2): Die Abbildungen α E 2 und α 2 sind verschieden. Begründung zu (3): Die Abbildung ϕ : E E 2, die die beiden Elemente vertuscht, ist surjektiv. Die Kuslitätsreltion bleibt erhlten, d.h. e i < e k gilt genu dnn, wenn ϕ(e i ) < 2 ϕ(e k ) für i =,2 und k =,2 und für die Aktionszuordnungen gilt α (e i ) = α 2 (ϕ(e i )) für i =,2. Aufgbe 8 Bnk-Konto in Jv (Lösungsvorschlg) ) Account.jv p u b l i c c l s s Account { i n t money ; Account ( i n t money ) { t h i s. money = money ; p u b l i c synchronized void d e p o s i t ( i n t money ) { t h i s. money += money ; System. o u t. p r i n t l n ( money + " \ t d e p o s i t e d \ t \ t \ t \ t " + t h i s. money + " \ t r e m i n i n g " ) ; n o t i f y A l l ( ) ; p u b l i c synchronized void withdrw ( i n t money ) { while ( t h i s. money < money ) { t r y { w i t ( ) ; ctch ( I n t e r r u p t e d E x c e p t i o n e ) { brek ; t h i s. money = money ; System. o u t. p r i n t l n ( " \ t \ t \ t " + money + " \ t w i t h d r w n \ t " + t h i s. money + " \ t r e m i n i n g " ) ; n o t i f y A l l ( ) ; b) Depositer.jv p u b l i c c l s s D e p o s i t e r extends Thred { p r i v t e Account c c o u n t ; p r i v t e i n t money ; D e p o s i t e r ( Account ccount, i n t money ) { t h i s. c c o u n t = c c o u n t ;

5 5 t h i s. money = money ; p u b l i c void run ( ) { while ( true ) { t h i s. c c o u n t. d e p o s i t ( t h i s. money ) ; t r y { s l e e p ( ( i n t ) ( Mth. rndom ( ) ) ) ; ctch ( I n t e r r u p t e d E x c e p t i o n e ) { brek ; c) Withdrwer.jv p u b l i c c l s s Withdrwer extends Thred { p r i v t e Account c c o u n t ; p r i v t e i n t money ; Withdrwer ( Account ccount, i n t money ) { t h i s. c c o u n t = c c o u n t ; t h i s. money = money ; p u b l i c void run ( ) { while ( true ) { t h i s. c c o u n t. withdrw ( t h i s. money ) ; t r y { s l e e p ( ( i n t ) ( Mth. rndom ( ) ) ) ; ctch ( I n t e r r u p t e d E x c e p t i o n e ) { brek ; d) BnkAccount.jv p u b l i c c l s s BnkAccount { p u b l i c s t t i c void min ( S t r i n g [ ] r g s ) { Account c c o u n t = new Account ( ) ; D e p o s i t e r d e p o s i t e r = new D e p o s i t e r ( ccount, 4) ; D e p o s i t e r d e p o s i t e r 2 = new D e p o s i t e r ( ccount, ) ; Withdrwer w i t h d r w e r = new Withdrwer ( ccount, 5) ; Withdrwer w i t h d r w e r 2 = new Withdrwer ( ccount, 7) ; d e p o s i t e r. s t r t ( ) ; d e p o s i t e r 2. s t r t ( ) ; w i t h d r w e r. s t r t ( ) ;

6 6 w i t h d r w e r 2. s t r t ( ) ;