Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

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1 Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt f (g()) die äussere Ableitung und g () die innere Ableitung. Merkregel für die Kettenregel: Äussere Ableitung ml innere Ableitung. ACHTUNG: Die äussere Ableitung ht ls Argument g(), nicht! Beispiel. Mit Hilfe der Kettenregel können wir die Ableitung des Logrithmus bestimmen: e log = ( e log ) = Aber ( e log ) = e log log = log, lso log =und so log =. Optimierung Wir hben eine Funktion f() = Siesiehtsous: 8

2 Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION f() Wir wollen rusfinden wo im ersten Qudrnten die Funktion ihr Mimum ht.wie sieht die Steigung um ds Mimum herum us? Von links her kommend ist sie positiv und wird immer kleiner, bis sie nch dem Mimum negtiv wird. Also muss sie im Mimum sein. Es gilt f ht ein Mimum in = f () =. Dsselbe gilt ntürlich für ein Minimum. Mn nennt die Minim und Mim Etremlwerte oder Etrem. DmitknnmngutOptimierungsufgbenlösen: Beispiel. Wir hben einen 4-Krton. Wir schneiden von den Ecken Qudrte weg und flten den Rest zu einer (offenen) Kiste. Wie lnge müssen die Seiten der Qudrte sein, dmit die Kiste möglichst viel fsst? 4 Ds Volumen der Kiste ist V () =( )(4 ) =

3 Vorkurs Mthemtik 6 INTEGRATION Wir wollen V mimieren. Also müssen wir die Nullstellen von V () finden. V () = = + 3 = und drus erhlten wir, = ± =± 3 D ein negtives Volumen keinen Sinn mcht, bleibt die Lösung = 3. Integrtion Beim Integrieren sucht mn für eine Funktion f eine ndere Funktion F so dss F = f. F heisst dnn Stmmfunktion von f. HtmneineStmmfunktionF gefunden, so ist F + C, C R ebenso eine Stmmfunktion, d die Konstnte C beim Ableiten verschwindet. Wenn es lso mindestens eine Stmmfunktion gibt, so gibt es unendlich viele. Mn nennt die Menge der Stmmfunktionen ds unbestimmte Integrl von f und notiert sie durch f() d. Ursprünglich wurde ds Integrl beim Bestimmen von Flächen, die unter dem Grphen einer Funktion f und zwischen zwei vertiklen Achsen = und = b liegen, gefunden. f() b f() d b 3

4 Vorkurs Mthemtik 6 INTEGRATION Diese Fläche bezeichnet mn mit b f() d und nennt dies ein bestimmtes Integrl,, b sind die Integrtionsgrenzen, f() der Integrnd und die Integrtionsvrible. Es gilt b f() d = F (b) F () =:[F ()] b. Integrtionsregeln (f + g) d = fd+ c fd= c fd, gd für lle c R Diese und die folgenden Regeln ergeben sich drus, dss wir bei der Integrtion die Differentition umkehren wollen! n d = n+ n + + C sin d= cos + C cos d= sin + C e d = e + C d = log + C für n Beispiel. Bestimme die Fläche unter dem Grph von f() = +4 3 zwischen den Nullstellen von f. ZuerstsuchenwirdieNullstellenvonf. Wirfinden =, =3. Wir müssen 3 f() d 3

5 Vorkurs Mthemtik 6 INTEGRATION berechnen. 3 f() d = = 3 3 [ 3 = d d + ] 3 3 [ +4 4d+ ] d = 3 d +4 3[] 3 = [ =( 9+8 9) ( 3 + 3) = ( 4 3 ) = 4 3. ] 3 3 d 3 3 d Prtielle Integrtion Produkte können wir mit der Formel für prtielle Integrtion berechnen.es gilt b b fgd =[Fg] b Fg d, wobei F ntürlich eine Stmmfunktion von f ist. Dies ist ds Anlogon für die Produktformel der Differentilrechnung. Beispiel. Wir wollen berechnen. Es gilt cos udu cos udu= cos u cos udu= [sin u cos u] π (sin π cos π sin }{{ }{{} cos ) + } = + = sin u ( sin u) du = cos udu= π sin udu= cos udu. Dies führt uf cos udu= π 3

6 Vorkurs Mthemtik 6 INTEGRATION und so cos udu= π 4. Uneigentliche Integrle Mnchml will mn Flächen bestimmen, deren Integrtionsgrenzen nicht zum Definitionsbereich des Integrnden gehören. Es gibt zwei Fälle. Einerseits können oder b gnz normle Zhlen sein, die einfch nicht in D sind, ndererseits knn = oder b = sein. f() f() () d: DerIntegrndnimmtbeikeinenWertn. (b) d: DerIntegrndgehtbis+. 33

7 Vorkurs Mthemtik 6 INTEGRATION In beiden Fällen berechnet mn ds Integrl, in dem mn sttt der kritischen Integrtionsgrenze eine Folge in D nimmt, die gegen diese Grenze konvergiert. Wir illustrieren dieses Vorgehen nhnd eines Beispiel. (Dieses Beispiel entspricht dem Bild () von oben.) Beispiel. denn ist j nicht in D von.esgilt n d = n d := lim d, n n d = [ ] n = n Integrle dieser Formen nennt mn uneigentliche Integrle. n. Substitutionsregel Mnchml lässt sich ein kompliziertes Integrl durch Ersetzung der Integrtionsvrible in eine Funktion in einer nderen Vrible vereinfchen. Diesgeschiehtnchder Formel b f() d = d c f(g(u))g (u) du () wobei c, d so, dss g(c) =, g(d) =b. Mn knn die Gleichung uch umkehren,wenn dies dienlich ist. Beispiel. Wir wollen d berechnen. Wir versuchen es mit der Substitution = sin u. Gemäss()gilt d = sin u cos udu= cos u cos udu= cos udu= π 4, gemäss unserem Beispiel für die prtielle Integrtion. Mn übersehe dbei nicht, wie wir die Integrtionsgrenzen ngepsst hben: = sin π, = sin. 34

8 Vorkurs Mthemtik 6 3 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN 3 Lösen von Gleichungssystemen Zu Beginn des Kurses hben wir folgendes Gleichungssystem gelöst: +3y =5 () +y =4 () In diesem Beispiel hben wir genu eine Lösung erhlten. Ist dies immer so? Um diese Frge zu bentworten betrchten wir ds Problem geometrisch. Verschiedene Lösungsmengen Wir hben ein Gleichungssystem + by = e (3) c + dy = f (4) Beide Gleichungen können zu Gerdengleichungen der Form y = m + b umgeformt werden, z.b. (3) zu y = b + e b.(wirsetzenhierb vorus, denn mit b =wäre die Aufgbe einfch zu lösen.) Ihre jeweilige Lösungsmenge ist lso eine Gerde. Die gemeinsmen Lösungen sind lso die Punkte, die uf beiden Gerden liegen. h h g g g h () Gerden kreuzen sich (b) Gerden sind prllel (c) Gerden fllen ufeinnder Ws gibt es d für Möglichkeiten und wie häufig treten die verschiedenen Fälle uf? Für Fll (c) müssen g und h genu gleich sein, für Fll (b) müssen sie mindestens dieselbe Steigung hben und im Fll () sind wir sobld sie verschiedene Steigungen hben. Also ist Fll () (mit Abstnd) m whrscheinlichsten, dnn Fll (b) und m unwhrscheinlichsten ist Fll (c). Dieses Resultt gilt uch für n Gleichungen mit n Unbeknnten. Anzhl Gleichungen Anzhl Unbeknnte Wie sieht es us wenn die Anzhl Gleichungen m nicht mit der Anzhl Vriblen n übereinstimmt? 35

9 Vorkurs Mthemtik 6 3 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN m<n: Mn denke nur n m =,n =, eine Gleichung der Form + by = c. Dies ist, gemäss vorher, eine Gerdengleichung und ht somit unendlich viele Lösungen. m =,n =ist kein Spezilfll, flls m < n knn es unendlich viele Lösungen geben. Hben wir mehrere Gleichungen (m >), so knn es uch vorkommen, dss die Gleichungen einnder widersprechen. In diesem Fll gibt es keine Lösung. m>n: Hierzu denke mn wieder n Gerden: Nehmen wir m =3,n=,3Gerden. Ws für Möglichkeiten gemeinsmer Punkte gibt es? Vergleiche dzu die folgende Abbildung. P= ( p,y p) () Gerden hben gemeinsmen Schnittpunkt P (b) Gerden hben keinen gemeinsmen Schnittpunkt (c) lle drei Gerden fllen ufeinnder Es gibt die gleichen drei Möglichkeiten wie vorhin! Wie whrscheinlich sind die verschiedenen Möglichkeiten? Dmit Fll (c) eintritt müssen die Gleichungen dieselben Gerden liefern, m und b der Gerde sind bereits durch eine Gleichung festgelegt. In Fll () muss nur P uf jeder Gerde liegen, jede Gleichung knn ein nderes m hben, llerdings ist ds zugehörige b dnn durch P festgelegt, denn y p = m p + b. ImFll(b) muss nur gelten, dss wir nicht in Fll () oder in Fll (c) sind. Fll (b) ist hier lso (mit Abstnd) m whrscheinlichsten (die Gleichungen müssen nhezu keine Bedingungen erfüllen), gefolgt von Fll () und dnn Fll (c). Es dürfte klr sein, dss es sich gleich verhält, wenn wir 4 oder mehr Gerden, lso 4 oder mehr Gleichungen hben. Und uch für mehr ls zwei Vriblen lässt sich dieses Resultt verllgemeinern. Wir fssen zusmmen: Stz. Sei n die Anzhl Vriblen und m die Anzhl Gleichungen. Dnn gilt n>m: Entweder gibt es unendlich viele Lösungen oder die Gleichungen widersprechen sich und es gibt keine Lösung. n = m: Meistens gibt es genu eine Lösung, dss es keine oder unendlich viele gibt knn ber uch vorkommen. n<m: Meistens gibt es gr keine Lösung, dss es genu eine oder unendlich viele gibt knn ber uch vorkommen. 36

10 Vorkurs Mthemtik 6 4 VEKTOREN Wie whrscheinlich die verschiedenen Fälle genu sind, und ws es für Unterscheidungskriterien gibt, sind Schen die mn in einem fortgeschrittenen Kurs untersuchen könnte, hier würden sie llerdings den Rhmen sprengen. Lösen von Gleichungssystemen mit n Vriblen Hier erweist sich ds Additionsverfhren ls die robusteste Methode.Mn benutzt lle(!) m Gleichungen, um m Gleichungen zu erhlten, die nur noch von n Vriblen bhängen. Dies tut mn solnge, bis mn nur noch eine Gleichung ht. Wir nehmen die Lösung(en) dieser Gleichung und setzen sie in die vorher ufgetuchten Gleichungen ein, um Schritt für Schritt die Werte der nderen Vriblen zu erhlten. Alle Gleichungen muss mn verwenden, weil ds ignorieren einer Gleichung der Preisgbe der Bedingung gleichkommt, die die Gleichung n die Lösungsmenge des Systems stellt. Beispiel (für n = m =3). Wir wollen + y z =3 (5) 3 +y + z =5 (6) + y +z =6 (7) mit dem Additionsverfhren lösen. Wir ddiern (5) zu (6) und (5) zweiml zu (7) hinzu (N.B.: Es werden lle drei Gleichungen verwendet!) und erhlten 5 +3y =8 (8) 3 +3y = (9) nun multiplizieren wir (9) mit und ddieren die Gleichungen. Wir erhlten = 6 und so =3.Diessetzenwirin(8)oder(9)einunderhlteny =.Nunsetzenwir und y in eine der ursprünglichen drei Gleichungen ein und erhlten: z =4. 4 Vektoren Der Begriff des Vektors Vektoren sind gerichtete Grössen, lso Gegenstände, die neben einer Grösse uch noch eine Richtung hben. Bislng hben wir nur mit sklren Grössen gerbeitet, Gegenständen, die nur eine Grösse hben. Beispiele für sklre Grössen: Tempertur, Gewicht, Höhe 37