Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

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1 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35

2 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 2 / 35

3 Riemnn-Summen f (ξ ) ξ i = 2 (x i + x i ) Allgemeiner: ξ i (x i, x i ) f (ξ 2 ) x 0 ξ x ξ2 x 2 A = b f (x) dx n i= f (ξ i ) (x i x i ) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 3 / 35

4 Approximtionsfehler f (x 0 ) f (ξ ) f (x ) f (ξ 2 ) f (x 2 ) b f (x) dx n i= x 0 ξ x ξ2 x 2 f (ξ i ) (x i x i ) ( f mx f min ) (b ) n 0 Annhme: Funktion monoton; x 0, x,..., x n equidistnt Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 4 / 35

5 Riemnn-Integrl Flls die Riemnn-Summen I n = n i= f (ξ i ) (x i x i ) eine konvergente Folge bilden, dnn heißt deren Grenzwert ds Riemnn-Integrl von f. Nottion: b f (x) dx b f (x) dx = lim n n i= f (ξ i ) (x i x i ) Alle für uns relevnten Funktionen besitzen ein Riemnn-Integrl. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 5 / 35

6 Riemnn-Integrl und Erwrtungswert Angenommen eine stetige Zufllsvrible X mit Dichte f knn nur ls diskrete Zufllsvrible D mit Whrscheinlichkeitsfunktion w beobchtet werden. (Klssifizieren in n Klssen) Sei ξ i (x i, x i ) Klssenrepräsentnt mit Whrscheinlicheit w(ξ i ) = P(D = ξ i ) = P(x i < X x i ) f (ξ i ) (x i x i ) Für den Erwrtungswert von D gilt dnn E[D] n ξ i f (ξ) (x i x i ) i= b x f (x) dx = E[X] Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 6 / 35

7 Riemnn-Integrl Eigenschften b (α f (x) + βg(x)) dx = α b f (x) dx + β b g(x) dx b f (x) dx = b f (x) dx f (x) dx = 0 c f (x) dx = b f (x) dx + c b f (x) dx b f (x) dx b g(x) dx flls f (x) g(x) für lle x [, b] Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 7 / 35

8 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten und Verifizieren Beispiel: Wir suchen die Stmmfunktion von f (x) = ln(x). Vermuten: F(x) = x (ln(x) ) Verifizieren: F (x) = (x (ln(x) ) = = (ln(x) ) + x x = ln(x) Aber uch: F(x) = x (ln(x) ) + 5 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 8 / 35

9 Stmmfunktion Die Stmmfunktion wird mit dem Symbol f (x) dx + c bezeichnet und wird meist ls ds unbestimmte Integrl der Funktion f bezeichnet. Die Zhl c heißt Integrtionskonstnte. Für ds Suchen von Stmmfunktionen gibt es keine Kochrezepte (sondern nur Werkzeuge, die mn durchprobieren knn). Es gibt Funktionen, deren Stmmfunktionen sich nicht durch elementre Funktionen usdrücken lssen. E.g., die Stmmfunktion von exp( 2 x2 ). Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 9 / 35

10 Grundintegrle Zur Erleichterung gibt es Tbellen mit beknnten Stmmfunktionen, sogennnten Grundintegrlen: f (x) f (x) dx 0 c x + x+ + c e x x cos(x) sin(x) e x + c ln x + c sin(x) + c cos(x) + c Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 0 / 35

11 Integrtionsverfhren Summenregel α f (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx Prtielles Integrieren f g dx = f g f g dx Substitution f (g(x)) g (x) dx = f (z) dz mit z = g(x) und dz = g (x) dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35

12 Beispiel Summenregel Stmmfunktion von f (x) = 4 x 3 x x 5. f (x) dx = 4 x 3 x x 5 dx = 4 x 3 dx x 2 dx + 3 x dx 5 dx = 4 4 x4 3 x x2 5x + c = x 4 3 x x2 5x + c Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 2 / 35

13 Beispiel Prtielles Integrieren Stmmfunktion von f (x) = x e x. x }{{} f }{{} e x dx = }{{} x g f e x }{{} g }{{} f e x }{{} g dx = x e x e x + c f = x f = g = e x g = e x Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 3 / 35

14 Beispiel Prtielles Integrieren Stmmfunktion von f (x) = x 2 cos(x). x 2 }{{} f cos(x) dx = }{{}}{{} x g f 2 sin(x) }{{} g 2x }{{} f sin(x) }{{} g dx Prtielles Integrieren des zweiten Terms ergibt: }{{} 2x sin(x) dx = }{{}}{{} 2x ( cos(x)) }{{} f g f g 2 }{{} f = 2x cos(x) 2 ( sin(x)) + c ( cos(x)) }{{} g dx Die Stmmfunktion von f lutet dher: x 2 cos(x) dx = x 2 sin(x) + 2x cos(x) 2 sin(x) + c Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 4 / 35

15 Beispiel Substitution Stmmfunktion von f (x) = 2x e x2. exp( x 2 }{{} g(x) ) 2x }{{} g (x) dx = exp(z) dz = e z + c = e x2 + c z = g(x) = x 2 dz = g (x) dx = 2x dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 5 / 35

16 Integrtionsverfhren Herleitung Prtielles Integrieren erhält mn us der Produktregel für ds Differenzieren: f (x) g(x) = = ( f (x) g(x)) dx = f (x) g(x) dx + ( f (x) g(x) + f (x) g (x) ) dx f (x) g (x) dx Substitution folgt us der Kettenregel: Sei F eine Stmmfunktion von f und z = g(x). Dnn gilt f (z) dz = F(z) = F(g(x)) = = F (g(x)) g (x) dx = (F(g(x))) dx f (g(x)) g (x) dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 6 / 35

17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei F(x) eine Stmmfunktion einer stetigen Funktion f (x), dnn gilt für ds bestimmte Integrl b f (x) dx = F(x) b = F(b) F() Dieser Stz erlubt es uns, Integrle einfch mittels Stmmfunktionen uszurechnen! (Bestimmtes Integrl) Beispiel: Wir suchen ds Integrl der Funktion f (x) = x 2 im Intervll [ 0, ]. 0 x 2 dx = 3 x3 0 = = 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 7 / 35

18 Der Huptstz / Beweisidee Sei A(x) die Fläche zwischen dem Grphen einer stetigen Funktion f und der x-achse zwischen 0 und x. f min h A(x + h) A(x) f mx h f mx f min A(x + h) A(x) h f mx f min Grenzübergng h 0: (lim h 0 f min = f (x)) A(x) A(x + h) A(x) f (x) lim h 0 h }{{} =A (x) f (x) x x + h A (x) = f (x) d.h. A(x) ist eine Stmmfunktion von f (x). Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 8 / 35

19 Integrtionsverfhren / (2) Summenregel b α f (x) + βg(x) dx = α b f (x) dx + β b g(x) dx Prtielles Integrieren b f g dx = f g b b f g dx Substitution b f (g(x)) g (x) dx = g(b) g() mit z = g(x) und dz = g (x) dx f (z) dz Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 9 / 35

20 Beispiel Berechne ds bestimmte Integrl 0 e ln(x) x dx. 0 e ln(x) x dx = ln(0) z dz = = ln(z) z = ln(x) dz = x dx ln(0) = = ln(ln(0)) ln() 0,834 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 20 / 35

21 Beispiel Gesucht ist f (x) = Es gilt 2 2 f (x) dx für die Funktion + x für x < 0 x für 0 x < 0 für x < und x f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + 0 = 0 dx + ( + x) dx + = (x + 2 x2 ) 0 + (x 2 x2 ) f (x) dx + ( x) dx f (x) dx 0 dx = = Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 2 / 35

22 Uneigentliches Integrl Uneigentliche Integrle sind Integrle, bei denen ds Integrtionsintervll unbeschränkt ist, oder die Funktion unbeschränkt ist. t 0 t f (x) dx = lim t 0 f (x) dx 0 f (x) dx = lim t 0 t f (x) dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 22 / 35

23 Beispiele 0 dx = lim x t 0 t x 2 dx = lim 2 x = lim(2 2 t) = 2 t 0 t t 0 t dx = lim x2 t x 2 dx = lim t x t = lim t t ( ) = x t dx = lim t x dx = lim ln(x) t = lim ln(t) ln() = t t Ds uneigentliche Integrl existiert somit nicht. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 23 / 35

24 Zwei Limiten In der Whrscheinlichstheorie wird oft über einen Bereich integriert, in dem beide Grenzen unbeschränkt sind. Z.B.: Der Erwrtungswert einer Zufllsvrible X mit Dichte f ist definiert ls E(X) = x f (x) dx In diesem Fll müssen wir die beiden Grenzwerte getrennt uswerten: E(X) = = lim t x f (x) dx 0 t s x f (x) dx + lim s 0 Achtung! Tritt dbei ls Zwischenresultt uf, so ist ds Ergebnis nicht = 0! x f (x) dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 24 / 35

25 Leibniz Formel Gegen sei eine stetig differenzierbre Funktion f (x, t) und Dnn gilt für die Ableitung F(x) = b(x) (x) f (x, t) dt F (x) = f (x, b(x)) b (x) f (x, (x)) (x) + b(x) (x) f (x, t) x dt Flls (x) = und b(x) = b konstnt sind, dnn gilt insbesondere: d dx b f (x, t) dt = b x f (x, t) dt Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 25 / 35

26 Beispiel Sei F(x) = 2x x t x 2 dt für x 0. Berechne F (x). Wir setzen f (x, t) = t x 2, (x) = x und b(x) = 2x. Dnn gilt uf Grund der Leibniz Formel, F (x) = f (x, b) b f (x, ) + = (2x) x 2 2 (x) x 2 + = 4x 3 x 3 + ( 2x 2 t2) 2x x = 4x 3 x 3 + (4x 3 x 3 ) = 6x 3 b 2x x f x (x, t) dt 2x t dt Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 26 / 35

27 Volumen Sei f (x, y) eine Funktion definiert über dem Rechteck R = [, b] [c, d] = {(x, y) R 2 : x b, c y d} Wie groß ist ds Volumen V unter dem Grphen von f? z d c R b d b x y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 27 / 35

28 Riemnn-Summen Zerlege R in kleine Rechteckte R ij = [x i, x i ] [y j, y j ] Berechne V n i= k j= f (ξ i, ζ j ) (x i x i ) (y j y j ) z ξ i d y j y j ζ i c x i x i b d b x y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 28 / 35

29 Riemnn-Integrl Flls die Riemnn-Summe für immer feinere Zerlegungen von R konvergiert, dnn heißt dieser Grenzwert ds Riemnn-Integrl von f über R: R f (x, y) dx dy = lim n,k n i= k j= f (ξ i, ζ j ) (x i x i ) (y j y j ) Ds Riemnn-Integrl ist nlog uf beliebigen Gebieten D definiert. D f (x, y) dx dy D Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 29 / 35

30 Stz von Fubini Sei f : R = [, b] [c, d] R 2 R eine stetige Funktion. Dnn gilt R f (x, y) dx dy = = b d c ( d c ( b ) f (x, y) dy ) f (x, y) dx dx dy. Der Stz von Fubini liefert uns ein Rezept zur Berechnung von Doppelintegrlen:. Fsse x ls Konstnte uf und berechne ds innere Integrl f (x, y) dy. d c 2. Integriere ds Ergebnis nch x. Wir dürfen ber uch die Reihenfolge vertuschen und zuerst nch x und erst dnn nch y integrieren. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 30 / 35

31 Beispiel Berechne 0 ( x y 2 + xy 2 ) dx dy. Wir müssen zweiml integrieren. 0 ( x y 2 + xy 2 ) dx dy = = ( x 2 x2 xy 2 + ) 2 x2 y 2 ( 2 ) 2 y2 = 2 6 ( dy = 2 y 6 y3 ) = dy Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 3 / 35

32 Integrtionsgrenzen Achtung, die Integrtionsvrible und die dzu gehörigen Integrtionsgrenzen sind von innen nch ussen zu lesen. Wenn wir die Reihenfolge beim Integrieren vertuschen, dnn müssen wir ds uch in der Reihenfolge der Integrtionsgrenzen berücksichtigen: b d c f (x, y) dy dx = d c b f (x, y) dx dy Wir sehen ds besser, wenn wir die (redundnten) Klmmer einfügen: b ( d c ) f (x, y) dy dx = d c ( b ) f (x, y) dx dy. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 32 / 35

33 Beispiel Fortsetzung Integrtion in umgekehrter Reihenfolge: 0 ( x y 2 + xy 2 ) dx dy = = = = ) ( x y 2 + xy 2 ) dy y xy 3 y3 + ) 3 xy3 ( ( dx dx ( x x ( + x x )) ( ) 3 x dx = 4 3 x 4 6 x2 0 = 2 3 dx Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 33 / 35

34 Stz von Fubini Interprettion R f (x, y) dx dy = b ( d c ) f (x, y) dy dx = b A(x)dx z Wenn wir x festhlten, dnn ist A(x) = d die Fläche unter g(y) = f (x, y). c f (x, y) dy x x y d c f (x, y)dy Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 34 / 35

35 Zusmmenfssung Flächeninhlt und Riemnn-Integrl Stmmfunktion Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtionsverfhren Uneigentliches Integrl Differenzieren unter dem Integrl Volumen und Doppelintegrl Stz von Fubini Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion 35 / 35

36 Teil IV Sttische Optimierung