Integralrechnung. Fakultät Grundlagen

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1 Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung

2 Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2 <... < x n = b In [x k 1, x k ] sei f k bzw. f k der größte bzw. kleinste Wert. Die Ober- und Untersummen O n, U n sind Näherungen der Fläche. O n = f 1 x 1 + f 2 x f n x n = f k x k U n = f 1 x 1 + f 2 x f n x n = f k x k Flls bei beliebiger Verfeinerung der Unterteilung ( mx x k 0 ) die Folgen {O n } und {U n } einem gemeinsmen Grenzwert zustreben, so heißt dieser Grenzwert ds bestimmte Integrl über f (x) von bis b. Schreibweise: f (x) dx y y = f (x) x 0 x 1 x 2 x n 1x n x Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 2

3 Bestimmtes Integrl II Schreibweise: obere Integrtionsgrenze untere Integrtionsgrenze f (x) dx ( b : zur Erinnerung n Summe! ) {}}{ f (x) d x Integrnd Integrtionsvrible Die Integrtionsvrible ist eine so gennnte gebundene Vrible. Sie knn beliebig umbennnt werden und ht ußerhlb des Integrls keinerlei Bedeutung. f (x) dx = f (t) dt =... Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 3

4 Stmmfunktion, unbestimmtes Integrl Flächeninhltsfunktion: F (x) = Dbei ist F (x) die Fläche unter dem Grphen von f (x) zwischen x 0 und x; die obere Integrtionsgrenze x ist die Vrible; x 0 ist fester Strtpunkt der Integrtion. Mn sgt: F (x) ist eine Funktion der oberen Grenze. Für stetiges f nennt mn F (x) uch Stmmfunktion von f (x). x x 0 y f (t) dt für x b. y = f (t) x b Zu einer Funktion f (x) gibt es beliebig viele Stmmfunktionen je nch Whl des Strtpunkts x 0. Alle zu einer Funktion gehörenden Stmmfunktionen unterscheiden sich nur durch eine dditive Konstnte. Wird bei Stmmfunktionen die Konstnte noch offen gelssen, so sprechen wir vom unbestimmten Integrl und lssen beide Integrtionsgrenzen weg! Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 4 x 0 t

5 Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung Mit Hilfe der Stmmfunktion knn ds Flächenproblem gelöst werden: f (x) dx = F (b) F (). Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung Ist y = f (x) uf [, b] stetig und F (x) wie folgt definiert: F (x) = x f (t) dt, so ist F (x) für < x < b differenzierbr und es gilt F (x) = f (x) für x (, b). Dmit ist ds Integrieren die Umkehrung des Differenzierens bei vorgegebener Ableitung wird die Ausgngsfunktion gesucht. F (x) heißt Stmmfunktion von f (x). Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 5

6 Eigenschften des Integrls I 1 b [f (x) + g(x)] dx = αf (x) dx = α f (x) dx f (x) dx + für α IR g(x) dx 2 f (x) 0 uf [, b] = f (x) dx 0. 3 Ds bestimmte Integrl ergibt den orientierten Flächeninhlt, d. h. die vorzeichenbehftete Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x Achse: Z. B. y = sin x, = 0, b = 2π. 2π 0 sin x dx = cos x 2π = 0. x=0 1 y y = sin x π Linerität Dbei wird die Teilfläche oberhlb der x-achse positiv, die Teilfläche unterhlb negtiv gezählt. + Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 6 2π x

7 Eigenschften des Integrls II Flächen zwischen zwei Kurven, die sich für x = und x = b schneiden: Integrl zwischen und b über die Differenz obere Kurve minus untere Kurve. Dies gilt uch für den Fll, dss sich ds gesuchte Gebiet zum Teil in der oberen und zum Teil in der unteren Hlbebene befindet. Addiert mn nämlich zu beiden Funktionen eine genügend große Konstnte K, so liegt ds zu bestimmende Gebiet in der oberen Hlbebene; Fläche zwischen den Kurven bleibt gleich. y f (x) + K g(x) + K f (x) g(x) b x F = [f (x) g(x)] dx Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 7

8 Integrtionsregeln I linere Substitution: Es sei f (x) dx = F (x) = f (x + b) dx = 1 F (x + b). Forml: u = x + b du dx = dx = du f (x + b) dx = f (u) du = 1 f (u) du = 1 F (u) u=x+b = nichtlinere Substitution: Es sei f (x) dx = F (x) = f ( u(x) ) u (x) dx = F ( u(x) ). Forml: u = u(x) du dx = u (x) du = u (x) dx f ( u(x) ) u (x) dx = f (u) du = F (u) = F ( u(x) ). u=u(x) F (x + b). Beispiel: sin 4 (x) cos(x) dx u = sin(x) du = cos(x)dx = u 4 du = u5 5 + C u=sin(x) = sin5 (x) 5 + C Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 8

9 Integrtionsregeln II Bei der Berechnung bestimmter Integrle gibt es zwei Möglichkeiten: Die Substitutionsmethode wird nur zur Bestimmung der Stmmfunktion benutzt. Hier wird lso zunächst ds unbestimmte Integrl berechnet. Neben den Integrtionsvriblen werden uch die Grenzen mittrnsformiert. π 2 0 ( sin 2x + π ) 6 dx = 1 2 7π 6 π 6 {}}{ u = 2x + π 6 x 0 π 2 du = 2dx dx = du u π 7π sin u du = cos u 2 7π u= 6 u= π 6 = = 3 2 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 9

10 Integrtionsregeln II logrithmische Integrtion: Beispiel: 2x 1 + x 2 dx = ln(x 2 + 1) + C g (x) g(x) dx = ln ( g(x) ) Produktintegrtion bzw. prtielle Integrtion u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx u(x) v (x) dx = u(x) v(x) b Beispiel: u (x) v(x) dx x ln(x) dx = x[x ln(x) x] [x ln(x) x] dx 2 x ln(x) dx = x 2 ln(x) x 2 + x 2 2 bzw. = x 2 ln(x) x 2 x ln(x) dx + x dx x ln(x) dx = x 2 2 ln(x) x C Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 10

11 Gebrochen rtionle Funktionen f (x) = p n(x) q m (x) = x n x n b 0 + b 1 x b m x m ; n 0 b m 0 Durch Polynomdivision lässt sich der gnzrtionle Anteil bsplten. Für große x verhält sich die Funktion f (x) symptotisch wie ds bgespltene Polynom. g(x) = x 6 + 5x 5 + 9x 4 10x 2 x + 6 x 5 + 5x 4 + 8x 3 9x 5 = x + x 4 x 2 + 4x + 6 x 5 + 5x 4 + 8x 3 9x 5 x 6 +5x 5 +9x 4 +0x 3 10x 2 x +6:(x 5 + 5x 4 + 8x 3 + 0x 2 9x 5) = x +... x 6 +5x 5 +8x 4 +0x 3 9x 2 5x x 4 x 2 +4x +6 Nch dem Fundmentlstz der Algebr lässt sich ds Nennerpolynom ls ein Produkt von Linerfktoren und nicht weiter zerlegbren qudrtischen Ausdrücken drstellen. q m (x) =... (x x i )... (x x j ) r... (x 2 +α k x +β k )... (x 2 +α l x +β l ) r Jedem Fktor des Nennerpolynoms entspricht bei der Prtilbruchzerlegung ein Summnd. Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 11

12 Prtilbruchzerlegung einfche reelle Nullstelle des Nennerpolynoms (x x i ) A i (x x i ) r-fche reelle Nullstelle des Nennerpolynoms (x x j ) r B j1 (x x j ) + B j2 (x x j ) B jr (x x j ) r einfches qudrtisches Polynom ohne reelle Nullstelle (x 2 + α k x + β k ) C k + D k x (x 2 + α k x + β k ) r-fches qudrtisches Polynom ohne reelle Nullstelle (x 2 + α l x + β l ) r E l1 + F l1 x (x 2 + α l x + β l ) + E l2 + F l2 x (x 2 + α l x + β l ) E lr + F lr x (x 2 + α l x + β l ) r Die Koeffizienten bestimmt mn durch Koeffizientenvergleich der Zähler, nchdem die Summnden uf den Huptnenner gebrcht wurden. Bei einfchen reelle Nullstellen des Nenners, lssen sich die Koeffizienten uch ddurch bestimmen, dss mn mit dem entsprechenden Linerfktor multipliziert und dnn die zugehörige Nullstelle einsetzt (Zuhltemethode). Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Folie: 12