MC-Serie 12 - Integrationstechniken

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1 Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz der Infinitesimlrechnung. iv) folgt us der prtiellen Integrtion. Die Formel folgt durch prtielle Integrtion der Funktion 1 f(x), woei 1 integriert und f(x) differenziert wird. Richtig ist lso (iv). Der Huptstz der Infinitesimlrechnung etrifft dgegen ds estimmte Integrl. Sustituiert wird uch nichts: Auf eiden Seiten steht f(x) und nicht f von etws nderem.. Welche der folgenden Rechnungen ist keine korrekte Anwendung der prtiellen Integrtion? i) x ln x dx = x x ln x dx ii) sin φ cos φ dφ = cos φ cos φ cos φ sin φ dφ iii) x e x dx = xe x e x dx iv) sin φ cos φ dφ = sin φ sin φ cos φ sin φ dφ v) Alle sind korrekte Anwendungen der prtiellen Integrtion. Alle Rechnungen sind richtig; die Antwort lutet lso (v). In (ii) wird sin φ integriert und cos φ differenziert; in (iv) ist es umgekehrt. Owohl die rechten Seiten verschieden ussehen, sind sie doch is uf eine Integrtionskonstnte gleich, d nch Pythgors sin φ + cos φ = 1 ist. In (i) wird x integriert und ln x differenziert. In (iii) schreit mn den Integrnden in der Form x xe x und integriert xe x und differenziert x. 3. Lösen Sie ds unestimmte Integrl x +x (x+1) dx. i) x 1 x+1 + C ii) x x+1 + C 1

2 iii) (x+1) 3 iv) x +x+ x+1 + C v) keines dvon Wegen (x + 1) = x + x + 1 gilt x + x (x + 1) = x + x (x + 1) (x + 1) = 1 (x + 1). Dmit können wir ds gegeene Integrl vereinfchen: x + x (x + 1) dx = 1 dx (x + 1) dx = x + (x + 1) 1 + C = x + x C = x x + 1 x C x = x C. Dei ist zu echten, dss wir die Konstnte 1 mit der Konstnten C zu einer neuen Konstnten C zusmmenfssen können. 4. Lösen Sie ds unestimmte Integrl dx 4 x. i) 1 rccos( x ) + C ii) rccos( x ) + C iii) rcsin( x ) + C iv) 1 rcsin( x ) + C v) keines dvon Mit der Sustitution x =: sin(t) t = rcsin( x ) ergit sich dx 4 x cos(t) = sin (t) dt = = rcsin( x ) + C. cos(t) cos (t) dt = 1 dt = t + C 5. Welches der folgenden Integrle stimmt im Allgemeinen nicht mit den nderen üerein? i) (f(x) g(x)) dx ii) (g(x) f(x)) dx

3 iii) (f(t) g(t)) dt iv) (f(x) g(x)) du Ds dritte Integrl entsteht us dem ersten durch die Sustitution x = t. Ds zweite Integrl geht us dem ersten durch Vertuschen der Integrtionsgrenzen hervor. Ds dei entstehende negtive Vorzeichen wurde in den Integrnden eingeut: (f(x) g(x)) dx = = (f(x) g(x)) dx = (g(x) f(x)) dx. (f(x) g(x)) dx Beim vierten Integrl hingegen wurde die Integrtionsvrile in u geändert, im Integrnden steht jedoch weiterhin x. Forml hndelt es sich hier lso um ds Integrl der in u konstnten Funktion u f(x) g(x), lso etws völlig nderes ls im ersten Integrl. 6. Wir rechnen f(x) = (x 1) 4 = 4(x 1) 3 dx = (4x 3 1x + 1x 4) dx = x 4 4x 3 + 6x 4x = g(x) und erhlten drus durch Einsetzen 1 = f() = g() =. Wo liegt der Fehler? i) Die inomische Formel wurde flsch ngewendet. ii) Mn drf nicht einsetzen. iii) Die Integrtionskonstnte fehlt. iv) Es ist trotzdem richtig, weil mn Konstnten vernchlässigen drf. Antwort 3 ist korrekt. Gleichungen für unestimmte Integrle gelten immer nur is uf eine Integrtionskonstnte. Diese drf mn nur solnge unterschlgen, wie uf eiden Seiten einer Gleichung ein unestimmtes Integrl stehen leit. Die flsche Rechnung illlustiert, ws ndernflls pssieren knn. Die vierte ngeotene Antwort ist ein typisches Beispiel für eine Äusserung, ei der mn sich nicht klr mcht, ws mn eigentlich sgt. 7. Zwischenprüfung Winter 14. Wenn ds estimmte Integrl von 1 is 1 der Funktion f(x) = cos x e x gleich k ist, so ist ds estimmte Integrl von 1 is der Funktion f(x) = cos x e x gleich... 3

4 i) k. ii) k. iii) k. iv) k. v) k. Es gilt f( x) = cos( x) e ( x) = cos x e x = f(x), der Funktionsgrph von f ist lso symmetrisch ezüglich der y-achse, es folgt lso k = 1 1 f(x) dx = und dmit 1 f(x) dx = k. 1 f(x) dx + 1 f(x) dx = f(x) dx 1 8. Zwischenprüfung Winter 14. Sei f(x) = x t dt. Welche der folgenden Aussgen ist 3 + flsch? i) f(1) > ii) f( 1) > iii) f( 1/) < iv) f() = f(1) = 1 t dt >, d der Integrnd uf (, 1) positiv ist. 3 + f( 1) = 1 ist. f( 1/) = 1/ positiv ist. dt = t f() = t dt = t 3 + dt = t 3 + 1/ <, d der Integrnd uf ( 1, ) positiv 1 t 3 + <, d der Integrnd uf ( 1/, ) 9. Zwischenprüfung Winter 14. Sei f(x) = x t dt. Welche der folgenden Aussgen üer f (1) ist 3 + richtig? i) f (1) = 1 ii) f (1) knn mn nicht estimmen, weil mn die Stmmfunktion nicht kennt. 4

5 iii) f (1) = 1 3 iv) f (1) = rsinh(1) Ds ist eine Anwendung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung, es gilt f (x) =. Dmit gilt f x (1) = Zwischenprüfung Winter 14. Für < < und < c < d sei f : [, ] [c, d] eine stetig differenzierre, streng monoton wchsende und surjektive Funktion mit Umkehrfunktion f 1. Dnn ist d c f 1 (y) dy =... i) d c d c f(x) dx. ii) d c f(x) dx. 1 iii) f(x) dx. iv) f(x) dx. f(x) d B c A D f streng monoton wchsend und surjektiv ist, gilt f() = c und f() = d, (siehe Skizze). Den Grphen von f 1 sehen wir, wenn wir die Rollen der x- und y-achse vertuschen, es gilt lso f(x) dx = A und d c f 1 (y) dy = B. Die korrekte Beziehung lässt sich nun einfch us der Skizze lesen. Rechnerisch erhlten wir ds Resultt durch Sustitution y = f(x) (dnn gilt dy = 5

6 f (x)dx) und nschliessender prtieller Integrtion. d c f 1 (y)dy = x f (x)dx = [x f(x)] 1 f(x)dx = d c f(x)dx. 11. Zwischenprüfung Winter 15. Sei n eine nicht-negtive gnze Zhl. Folgende Gleichung gilt... 1 i) nur für n =. ii) nur für lle gerden n. iii) nur für lle ungerden n. iv) für lle n. x n dx = 1 (1 x) n dx Wir sustituieren x = 1 y und erhlten mit dx = dy 1 x n dx = 1. Zwischenprüfung Winter i) 3 1 ii) π 6 iii) π 3 iv) 3 1 (1 y) n dy = 1 x 1 x dx =... (1 y) n dy. Wir rechnen ( x ) = 1 1 ( x) = x. 1 x 1 x Folglich gilt 1 x [ ] 1 ( 3 ) dx = 1 x = 1 x 1 = 3. 6