Der Begriff der Stammfunktion

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1 Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung einer Funktion. Definition: Sind f und F reelle Funktion mit derselen Definitionsmenge A und gilt: F ' x = f x x A dnn heißt F eine Stmmfunktion von f. Kurz: F Ist Stmmfunktion von f F ' = f Stz: Ist f eine Funktion, deren Definitionsereih ein Intervll ist, und F eine Stmmfunktion von f, dnn gilt: die Stmmfunktionen von f sind genu jene Funktionen F mit F x = F x und R. Stmmfunktionen von konstnten Funktionen Stz: Eine Stmmfunktion der Funktion f mit f x = k (woei k R ) ist die Funktion F x = k x. Stmmfunktionen von Potenzfunktionen Stz: Eine Stmmfunktion der Funktion f mit f x = x q (woei q Q und q ) ist die Funktion F mit: F x = xq q.

2 Lernunterlgen Integrlrehnung Stmmfunktionen von Summen und Vielfhen von Funktionen Stz: Sind F und G Stmmfunktionen von f zw. g,dnn gilt:. F`+`G ist eine Stmmfunktion von f g 2. k F ist eine Stmmfunktion von k f (woei k R ) Stmmfunktionen von rtionlen Funktionen Für die rtionlen Funktionen git es leider keine llgemeine Regel zur Ermittlung von Stmmfunktionen (vergleihr der Quotientenregel eim Differenzieren). In einigen Fällen lässt sih die Stmmfunktion finden, wenn mn den Funktionsterm in geeigneter Weise umformt. Beispiel: Es soll eine Stmmfunktion für f x = x2 gefunden werden. Dzu formen wir den Funktionsterm wie folgt um: x 2 f x = x2 x 2 = x 2 = x 2 Für eine Funktion f x = x n knn eine Stmmfunktion mit Hilfe der Regel F x = xn gefunden werden. Durh Anwendung dieser Regel erhlten wir: f x = x 2 F x = x x 2 2 = x x = x x n Die Regel F x = xn n gilt nur für n. Für n = ist f x = x und es gilt: Stz: Eine Stmmfunktion der Funktion f mit f x = x (woei x R )ist die Funktion F mit F x = ln x Stmmfunktionen von Winkelfunktionen Stz:. Eine Stmmfunktion der Funktion sin x ist die Funktion os x 2. Eine Stmmfunktion der Funktion os x ist die Funktion sin x

3 Lernunterlgen Integrlrehnung Stmmfunktionen von Exponentilfunktionen Stz:. Eine Stmmfunktion der Funktion f mit f x = e x ist die Funktion f selst. 2. Eine Stmmfunktion der Funktion f mit f x = x ist die Funktion F mit: F x = x ln Zusmmenfssung Funktion eine Stmmfunktion f x = k, mit k R F x = k x f x = x q, mit q Q, q F x = xq q f x = sin x F x = os x f x = os x F x = sin x f x = e x F x = e x f x = x, mit R, f x =, mit x R F x F x = x ln x = ln x Unter-, Oersummen Im Folgenden erehnen wir Flähen, wie sie in neenstehender Aildung drgestellt sind. Eine solhe Flähe wird vom Grphen einer Funktion f, der. Ahse und den Prllelen zur 2. Ahse in den Punkten und egrenzt. Diese Flähe wird ls die von der Funktion f im Intervll [ ] festgelegte Flähe ezeihnet. Der Inhlt dieser Flähe wird mit A, ezeihnet.

4 Lernunterlgen Integrlrehnung Es git keine llgemeine Formel zur Berehnung derrtiger Flähen. Eine näherungsweise Berehnung wir möglih, wenn mn in ds Intervll [ ] zusätzlihe Teilungspunkte einfügt. Mit diesen Teilungspunkten entstehen Teilintervlle üer denen mn Rehteke errihten knn, die dem Grphen von f ein- zw. umgeshrieen werden können. In oenstehender Aildung sind die eingeshrieenen Rehteke grün, die umgeshrieen Rehteke rötlih drgestellt. Die Summe der Flähen der eingeshrieenen Rehtek ezeihnen wir ls Untersumme, die Summe der umgeshrieenen Rehteke ezeihnen wir ls Oersumme. Wie us oenstehender Aildung zu erkennen ist, knn der Untershied zwishen Unter- zw. Oersumme elieig klein gemht werden, wenn die Anzhl der Teilintervlle elieig groß gewählt wird. Dmit lässt sih die Flähe A, mit elieiger Genuigkeit erehnen. Ds Integrl Aus der Definition der Unter- zw. der Oersummen sind die eiden folgenden Sätze durhus einleuhtend: Stz: Ist f eine im Intervll [ ; ] stetige Funktion, dnn gilt für lle Zerlegungen Z von [; ] : U f Z O f Z Der oige Stz edeutet: eine Untersumme ht stets einen geringeren Fläheninhlt ls eine Oersumme.

5 Lernunterlgen Integrlrehnung Stz: Ist f stetig im Intervll [; ], dnn git es zu jeder reellen Zhl eine Zerlegungen Z von [ ; ], sodss: O f Z U f Z Dieser Stz esgt, dss die Differenz zwishen Unter- und Oersumme elieig klein gemht werden knn. Dies führt zu der Vermutung, dss es eine einzige reelle Zhl git, die zwishen llen Unter- zw. Oersummen liegt. Definition: Es sei f eine im Intervll [; ] stetige reelle Funktion. Jene reelle Zhl, die zwishen llen Untersummen und Oersummen von f in [ ; ] liegt, nennt mn ds Integrl von f in [ ; ] und ezeihnet diese Zhle mit: f oder mit f x dx dnn heißt F eine Stmmfunktion von f. Deutung des Integrls ls Fläheninhlt Stz: Die reelle Funktion f sei in [; ] stetig und es sei f x für lle x [; ] : für den Inhlt A f, der von f in [; ] festgelegten Flähe gilt: A f, = f Ein Integrl f ist näherungsweise gleih der Summe von sehr vielen, sehr kleinen Produkten der Form f x x. Kurz f x dx = f x x

6 Lernunterlgen Integrlrehnung Berehnung von Integrlen mit Stmmfunktionen Stz: Ist die reelle Funktion f im Intervll [; ] stetig und ist F eine elieige Stmmfunktion von f, dnn gilt: f = F F Sätze üer Integrle Stz: die reellen Funktionen f und g seien im Intervll [; ] stetig. es sei R, dnn gilt: 2. f g = 3. f f = f g f f = f Anwendungen der Integrlrehnung Fläheninhlte ei niht-negtiven Funktionswerten

7 Lernunterlgen Integrlrehnung Die Funktion f sei stetig in [; ] und es sei f x für lle x [; ]. Der Inhlt der von der f in [ ; ] festgelegten Flähe A f, ist: A f, = f Fläheninhlte ei negtiven Funktionswerten Die Funktion f sei stetig in [; ] und es sei f x für lle x [; ]. Der Inhlt der von der f in [ ; ] festgelegten Flähe A f, ist: A f, = f Inhlte von Flähen zwishen zwei Funktionsgrphen

8 Lernunterlgen Integrlrehnung Die Funktionen f und g seien stetig in [; ] und es sei f x g x für lle x [; ]. Für den Inhlt A der Flähe, die von den Grphen von f und g sowie den Gerden x = und x = eingeshlossen wird, gilt: A = f g Volumin Stz: es sei K ein Körper und A z der Inhlt der Shnittflähe in der Höhe z (mit z ). Flls die Quershnittsflähenfunktion stetig ist, gilt: V K = A z dz Entsprehende Üerlegungen gelten für die. Ahse und die 2. Ahse. Es gelten die folgenden Formeln: V K = A x dx zw. V K = A y dy

9 Lernunterlgen Integrlrehnung Volumin von Rottionskörpern Dreht sih der neenstehend geildete Grph der Funktion f um die. Ahse, entsteht ein Drehkörper (Rottionskörper). Die Quershnittsflähe n der Stelle x ist ein Kreis mit dem Rdius y = f x. Der Fläheninhlt ergit sih dnn us: A x = y 2 Ds Volumen des Rottionskörpers ergit sih us der Summe ller Quershnittsflähen von x = is x =. Wir integrieren lso üer die Quershittsflähen im Intervll [ ; ] und dmit ergit sih die folgende Formel für ds Volumen: V = A x dx = y 2 dx = y 2 dx Dreht sih der neenstehend geildete Grph der Funktion f um die 2. Ahse, entsteht ein Drehkörper (Rottionskörper). Die Quershnittsflähe n der Stelle y ist ein Kreis mit dem Rdius x = f y. Der Fläheninhlt ergit sih dnn us: A y = x 2 Ds Volumen des Rottionskörpers ergit sih us der Summe ller Quershnittsflähen von y = is y = d. Wir integrieren lso üer die Quershittsflähen im Intervll [; d ] und dmit ergit sih die folgende Formel für ds Volumen: d V = d A y dy = x 2 dy = d x 2 dy Stz:. dreht sih der Grph der Funktion f mit y = f x, x um die. Ahse, dnn ist ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers gegeen durh: V = y 2 dx

10 Lernunterlgen Integrlrehnung 2. dreht sih der Grph der Funktion f mit x = f y, y d um die 2. Ahse, dnn ist ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers gegeen durh: d V = x 2 dy Weitere Integrtionsmethoden Integrtion durh Sustitution Stz (Sustitutionsregel): Sei f stetig, g differenzierr mit stetiger Aleitung und x = g t. Dnn gilt: d f x dx = f g t dx g' t dt, woei g = und g = 5 Es ist dx zu erehnen. 2 3x Mit den islng ehndelten Methoden knn dieses Integrl niht erehnet werden. Ersetzen wir in der Funktion f x = 5 2 3x den Ausdruk 2 3x durh t, können wir ds Integrl durh Anwendung der Sustitutionsregel erehnen: zunähst gilt es die Aleitung dx dt = x t ' zu estimmen. Dzu erehnen wir x t : t = 2 3x x = t 2 3 dx dt = x t ' = 3 t 2 ' = 3 dx = dt 3 Für die neuen Grenzen erhlten wir: x = t = 2 x = t = 5 Berehnung des Integrls durh Anwendung der Sustitutionsregel:

11 Lernunterlgen Integrlrehnung A = 5 2 3x = t 5 dx = 2 = t 3 = g ' t = 5 3 ln t 2 dt = t dt = 5 = = 5 ln 5 ln 2 = 3 =,527 Prtielle Integrtion Stz (prtielle Integrtion): Sei f stetig, F eine Stmmfunktion von f und g differenzierr mit stetiger Aleitung. Dnn gilt: f x dx = F x g x F x g t ' dx Es ist x e x dx zu erehnen. Mit den islng ehndelten Methoden knn dieses Integrl niht erehnet werden. Durh prtielle Integrtion knn dieses Integrl wie folgt erehnet werden. Wir wählen: f x = e x und g x = x. Dmit erhlten wir: Für f x lässt sih sehr leiht eine Stmmfunktion finden und die Aleitung von knn uh leiht estimmt werden: g x f x = e x F x = e x g x = x g' x = Berehnung des Integrls durh prtielle Integrtion:

12 Lernunterlgen Integrlrehnung f x g x dx = F x g x F x = e x x g x F x g' x dx = e x dx = F x g ' x = e x x e x dx = = e x x e x = e x x = = e e = = = = =