R. Brinkmann Seite

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1 R. rinkmnn Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl vollständig estimmt. Solhe Größen sind eispielsweise: Länge, Msse, reit, Energie, Zeit, Tempertur und Potentil. Diese Größen können uf einer Skl drgestellt werden und heißen deshl sklre Größen oder Sklre. Größen, die zu ihrer eindeutigen estimmung neen der nge der Mßzhl noh die der Rihtung enötigen, heißen vektorielle Größen oder Vektoren. Die Geshwindigkeit und die eshleunigung sind solhe Größen. Vektoren werden durh Pfeile drgestellt. Die Pfeillänge estimmt den etrg des Vektors, die Rihtung des Pfeils estimmt die Rihtung des Vektors. Ein Vektor ist somit im Vergleih zu einem Sklr eine gerihtete Größe. Untershieden werden freie Vektoren, liniengeundene Vektoren und ortsgeundene Vektoren. Die wesentlihe Eigenshft eines freien Vektors ist, dss er entlng seiner Wirkungslinie und prllel im Rum vershoen werden drf. Vektoren von gleiher Länge und gleiher Rihtung sind einnder gleih. = und D = = = D = = D Die Krft, die n einem Körper ngreift, stellt einen liniengeundenen Vektor dr. Dieser drf entlng seiner Wirkungslinie elieig vershoen werden, niht er prllel dzu. F Wirkungslinie Ein ortsgeundener Vektor, uh Ortsvektor gennnt ht einen festen ngriffspunkt und drf niht vershoen werden. ddition von Vektoren. Einen Vektor zu einem Vektor ddieren heißt, den Vektor prllel zu sih selst so zu vershieen, dss sein nfngspunkt uf den Endpunkt des Vektors fällt. Die Verindung des nfngspunktes von mit dem Endpunkt von ergit den Summenvektor. = + Erstellt von R. rinkmnn p5_vektor_.do :28 Seite von 5

2 R. rinkmnn Seite ddition zweier Vektoren = + Für die ddition zweier Vektoren gilt ds Kommuttivgesetz. + = ei der ddition von drei Vektoren müssen diese niht in einer Eene liegen. Jeder der drei Vektoren ist eine gerihtete Streke im Rum. Die drei Vektoren können ein räumlihes Geilde ufspnnen. Es gilt ds ssozitivgesetz: ( + ) + = + ( + ) = Zwei etrgsgleihe Vektoren mit entgegengesetzter Rihtung heißen Gegenvektoren. ddiert mn diese, so erhält mn ls Summe einen Vektor, dessen nfngspunkt mit seinem Zielpunkt zusmmenfällt. D der etrg dieses Summenvektors Null ist, heißt er Nullvektor. Er ht keine estimmte Rihtung. - + = Sutrktion von Vektoren. Sutrktion zweier Vektoren Die Vektorsutrktion knn uf die Vektorddition zurükgeführt werden. Ein Vektor wird sutrhiert, indem mn den Gegenvektor ddiert. = - - Erstellt von R. rinkmnn p5_vektor_.do :28 Seite 2 von 5

3 R. rinkmnn Seite eispiel : Vektorddition zeihnerish. n einem Stromverteilermst greifen in einem Punkt 4 Kräfte n, die in einer Eene liegen sollen. Zeihnerish ist der etrg und die Rihtung der Resultierenden zu estimmen. Zeihenmßst: m entspriht N. ufgenstellung: Zeihnerishe Lösung: = 4N F3 = 3N = 4N F3 = 3N 7 F = 38N F4 = 44N 42 F = 38N 8 F4 = 44N R = 22N R = F+ + F3 + F4 R = 22N und ( F,R) = 42 Der etrg der Resultierenden eträgt 22 N. Ds edeutet, n dem Verteilermst wirkt eine Restkrft von 22 N. Die Wirkungsrihtung eträgt in ezug uf F 42 oder 38 emerkung: Gegen den Uhrzeigersinn (links herum) werden Winkel von der ezugsgerden usgehend positiv gezählt, im Uhrzeigersinn (rehts herum) hingegen negtiv. Die zeihnerishe Lösung ist immer nur eine Näherungslösung. Sie ist nur so genu, wie gezeihnet werden knn. Eine rehnerishe Lösung, die in einem späteren Kpitel ehndelt wird liefert ls exktes Ergenis: R = 224,9N und F,R = 4,585 ( ) eispiel 2: Gesuht ist die Entfernung des Hlierungspunktes E der Streke D vom Punkt, wenn der Endpunkt des Vektors und D der Endpunkt des Vektors D ist und die Vektoren und D vom Punkte usgehen. D E Erstellt von R. rinkmnn p5_vektor_.do :28 Seite 3 von 5

4 R. rinkmnn Seite Lösung: D + D = D = D D E der Hlierungspunkt der Streke D ist, gilt: D D DE = = D + D Für E gilt dnn E = D + DE = D + = Für die Streke E gilt: E = + D 2 D er = + D ist, muss E uh Hlierungspunkt der Streke sein. Dmit ist ewiesen, dss im Prllelogrmm die Digonlen durh ihren Shnittpunkt hliert werden. Kosinus- und Sinusstz ls Hilfsmittel für Vektorerehnungen. islng wurden Vektoren zeihnerish ddiert. Ergenisse von zeihnerishen Lösungen sind niht immer genu. Kosinusstz: In jedem Dreiek lässt sih ds Qudrt einer Seite us den eiden nderen Seiten und deren eingeshlossenem Winkel erehnen = + 2 os( ) = + 2 os( ) = + 2 os Sinusstz: In jedem Dreiek ist ds Verhältnis von Seitenlänge zum Sinus des gegenüerliegenden Winkels für lle Seiten dssele: = = sin( ) sin( ) sin( ) eispiel 3 Zwei Kräfte F und F 2 mit F = F = 6N und = = 4N shließen miteinnder einen Winkel von = 5 ein. Wie groß ist die resultierende Krft R? Welhen Winkel ildet R mit F zw. F? 2 Erstellt von R. rinkmnn p5_vektor_.do :28 Seite 4 von 5

5 R. rinkmnn Seite R = F + F F,F ist = = 8 5 = 3 Nh dem Kosinusstz gilt: 2 2 R = F + F 2 F F os ( os( 3 )) 9,24N 2 = + Nh dem Sinusstz gilt: R sin( ) = sin = sin F sin R 2 4 ( ) N sin = sin 3,337 9,24 F 2 2 F R = r sin,337 9,672 ist der von R und F eingeshlossene Winkel. D und sih zu = 5 ergänzen, wird der zwishen F und R liegende Winkel 2 = 5 = 5 9,672 3,328 2 F 2 Zusmmenfssung:. Ein Vektor ist eine gerihtete, orientierte Streke im Rum. 2. Vektoren sind gleih, wenn sie in etrg, Rihtung und Orientierung üereinstimmen. 3. Zwei Vektoren werden ddiert, indem mn den nfngspunkt des einen Vektors n die Spitze des nderen setzt. Der Summenvektor + zeigt dnn vom nfngspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors Vektor und Gegenvektor hen den gleihen etrg und die gleihe Rihtung, er entgegengesetzte Orientierung. 5. Den Differenzvektor = - erhält mn, indem mn zu den Gegenvektor von ddiert : = + ( ) = - Erstellt von R. rinkmnn p5_vektor_.do :28 Seite 5 von 5