Vektorrechnung in der Ebene Beweis des Satz des Thales. u v ACB. = a b a a + b b b a. = a b a + b a b. Beispiel 3 Satz des Thales

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1 Vektorrehnung in der Eene Beweis des St des Thles Beispiel 3 St des Thles Mn eweise den St des Thles: Jeder Peripheriewinkel üer einem Kreisdurhmesser AB ist ein rehter Winkel. C 1 C C 3 Beweis: A M B Mit den Beeihnungen in der neenstehenden Aildung führt mn folgende Definitionen ein: AM MB R MC AC u, woei R der Rdius des Kreises ist. ACB BC v Es ist u eigen, dss der Winkel ein rehter Winkel ist. Ds ist genu dnn der Fll, wenn die eiden Vektoren u und v orthogonl sind, d.h. ds Sklrprodukt u v vershwindet. Es ist u + + v Dmit ist ds u erehnende Sklrprodukt unter Anwendung des Distriutiv- und Kommuttivgesetes: u v ( + ) ( ) + u v Ds Sklrprodukt des Stes wr. + A u C M v B R R 0 ist gleih Null. Dmit stehen die Vektoren u und v senkreht ufeinnder, ws die Aussge

2 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum

3 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum (1) Alle für die weidimensionle Eene Definitionen und Aussgen lssen uf entsprehende Weise uf den dreidimensionlen Rum üertrgen. Zur Festlegung eines Vektors enötigt mn jedoh eine weitere Komponente. Wir legen der Betrhtung ein rehtshändiges krtesishes Koordintensstem mit einer -, - und -Ahse ugrunde. Es wird durh drei prweise ufeinnder senkreht stehende Einheitsvektoren e, e e und festgelegt. Rihtung und Mßst sind der Koordintenhsen sind ddurh eindeutig estimmt. Dher eeihnet mn die Einheitsvektoren uh ls Bsisvektoren. e e e Die für eene Vektoren definierten Begriffen und Eigenshften werden nun um die dritte Komponente erweitert:

4 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum () Komponentendrstellung eines Vektors + + e + + e e e P Dei edeuten: e e e Vektorkomponenten von Vektorkomponenten von e,, Vektorkoordinten (sklre Vektorkomponenten) von e Spltenvektor

5 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum (3) Komponentendrstellung eines durh wei Punkte festgelegten Vektors P 1 1 Sind Anfngspunkt und Endpunkt eines 1 1 Vektors eknnt, so lutet die Komponentendrstellung von 1 P P 1 P P 1 P e + e + e ( ) ( ) ( ) P 1 P 1 1

6 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum (4) Komponentendrstellung speieller Vektoren: ( ; ; ) Der Ortsvektor des Punktes lutet: r ( P) OP e + e + e P e P r ( P ) e e e e e Für die drei Bsisvektoren (Einheitsvektoren), und erhält mn die folgenden Komponentendrstellung: e 1e + 0e + 0e 1 0 e 0e + 1e + 0e e 0e + 0e + 1e 0 0 1

7 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum (5) Betrg eines Vektors + + Beweis gemäß Aildung und St des Pthgors: Es ist: * OP OP OP + P P * * + + Beispiel: Berehne die Länge des Vektors: + P P OP * ( ) O P * P ( )

8 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum (6) Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Die Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl λ erfolgt komponentenweise: λ λ λ λ Addition und Sutrktion von Vektoren Zwei Vektoren und werden komponentenweise ddiert w. sutrhiert. ± ± ± ± ±

9 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum

10 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum (1) Ds für die Eene hergeleitete Sklrprodukt weier Vektoren sowie die geeigten Eigenshften und Rehenregeln gelten gleihlutend uh für den dreidimensionlen Rum. D die Herleitung völlig entsprehend ist, werden die Definition und Säte nur usmmenfssend wiederholt: Sklrprodukt weier Vektoren im Rum Unter dem Sklrprodukt os ϕ os ϕ weier Vektoren und versteht mn den Sklr woei der von den eiden Vektoren eingeshlossene Winkel ist (0 180). * osϕ Rehenregeln für Sklrprodukte ( + ) + λ ( ) ( λ ) ( λ ) (1) (Kommuttivgeset) () (Distriutivgeset Verträglihkeit mit der Vektorddition) (3) (Verträglihkeit mit der Multipliktion mit einem Sklr)

11 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum () Orthogonle Vektoren Zwei vom Nullvektor vershiedene Vektoren und stehen genu dnn senkreht ufeinnder, sind lso orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt vershwindet. 0 Die drei Einheitsvektoren e, e, e ilden eine sogennnte orthonormierte Bsis, d.h. die Vektoren stehen prweise ufeinnder senkreht und esiten jeweils den Betrg Eins (normierte Vektoren): e e e e e e 0 e e e e e e 1 e e e os0 Für den Sonderfll erhält mn für ds Sklrprodukt: Der Betrg eines Vektors lässt sih dher uh üer ds Sklrprodukt erehnen:

12 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum (3) Mit Hilfe der gennnten Rehenregeln lässt sih nun wieder ds Sklrprodukt us den Vektorkomponenten erehnen: ( e + e + e ) ( e + e + e ) ( e e ) + ( e e ) + ( e e ) + + ( e e) + ( e e ) + ( e e ) + + ( e e ) + ( e e ) + ( e e ) Zusmmenfssend ergit sih wieder der folgende St: Berehnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) Ds Sklrprodukt weier Vektoren und lässt sih us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der eiden Vektoren wie folgt erehnen: + +

13 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum (4) Beispiel 1 Mn prüfe, o die eiden folgenden Vektoren senkreht ufeinnder stehen: Bilde ds Sklrprodukt der eiden Vektoren: ( ) Ds Sklrprodukt ist Null und dmit sind die eiden Vektoren orthogonl. 3 ; Beispiel Herleitung des Stes von Pthgors: In einem rehtwinkligen Dreiek ist die Summe der eiden Kthetenqudrte gleih dem Qudrt der Hpothenuse. Mit den Beeihnungen der neenstehenden Aildung sind: Ferner ist + und wegen Bilde jett ds Sklrprodukt von mit sih selst, worus sih der St des Pthgors ergit: ( + ) ( + )

14 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum (5) Aus der Definition des Sklrproduktes und dem St üer die Komponentendrstellung lässt sih wieder der Winkel wishen wei Vektoren erehnen: osϕ Diese Gleihung lösen wir mit Hilfe der Umkehrfunktion nh ϕ uf und erhlten dmit den folgenden St: Berehnung des Winkels wishen wei Vektoren Der von den Vektoren und eingeshlossene Winkel ϕ lässt sih wie folgt erehnen: + + ϕ ros ros ; ( O; O)!

15 Sklrprodukt im dreidimensionlen Rum (6) Beispiel Solrtehnik Beispiel: Berehnung der elektrishen Leistung einer Solrelle Die elektrishe Leistung P el, die eine photovoltishe Solrelle git, ist hängig vom Strhlungsfluss des Sonnenlihtes uf die Zelle (η Wirkungsgrd der Solrelle): P el η Φ Der Strhlungsfluss wiederum ist hängig von Flähe der Solrelle und der Bestrhlungsstärke E uf der Solrellenflähe. Ist die Bestrhlungsstärke uf der Solrellenflähe homogen verteilt, ws ei direkter Sonneneinstrhlung ohne Ashttung näherungsweise gilt, so erehnet sih diese wie folgt (Sklrprodukt): n Φ E n A woei A der Normlenvektor der eenen Flähe mit dem Betrg Flähe der Solrelle ist. Aus dem Sklrprodukt folgt somit: Φ E n osϕ A n A A Solrellenflähe. E Einfllswinkel des Sonnenlihtes Der wirksme Strhlungsfluss uf die Solrelle hängt dmit vom Einfllswinkel, der von der Rihtung der Sonnenstrhlen und dem Normlenvektor der Solrellenflähe geildet wird. Phsiklishe Anwendung: Berehnung der mehnishen Areit : siehe Folie 94 (Anhng (1))

16 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum Vektorprodukt (Kreuprodukt, äußeres Produkt)

17 Vektorprodukt (1) Neen Addition, Sutrktion und Sklrprodukt wird in vielen Anwendungen eine weitere Vektoropertion, ds Vektorprodukt, enötigt. Vektorprodukt (oder Kreuprodukt oder äußeres Produkt ) Ds Vektorprodukt weier Vektoren und ist der eindeutig estimmte Vektor mit den folgenden Eigenshften: 0 und 0 und sinϕ,, 1. Der Vektor ist sowohl u ls uh u orthogonl:. Der Betrg von ist gleih dem Produkt us den Beträgen der Vektoren und dem Sinus des von ihnen eingeshlossenen Winkels ϕ. 3. Die Vektoren ilden in dieser Reihenfolge ein rehtshändiges Sstem... ϕ Rehte-Hnd-Regel:,, Die Vektoren ilden wie folgt ein rehtshändiges Sstem: Sind unter Zuhilfenhme der rehten Hnd der Mittelfinger entlng und Dumen entlng orientiert, so stellt der Zeigefinger die Orientierung des Vektorproduktes dr.

18 Vektorprodukt () Ds Vektorprodukt lässt sih wie folgt geometrish deuten: Der Fläheninhlt A des drgestellten Prllelogrmms ist: A h sinϕ sinϕ Geometrishe Deutung des Vektorproduktes Der Betrg des Vektorproduktes entspriht dem Fläheninhlt des von den Vektoren ufgespnnten Prllelogrmms.. h A h und Rehenregeln für Vektorprodukte,, ( + ) + ( + ) + ( ) λ ( ) ( λ ) ( λ ) Seien Vektoren und λ eine elieige reelle Zhl. Dnn gilt: (1) (Distriutivgeset 1) () (Distriutivgeset ) (3) (Anti-Kommuttivgeset) (4) (Verträglihkeit mit der sklren Multipliktion)

19 Vektorprodukt (3) Mit Hilfe des Vektorproduktes lässt sih prüfen, o wei Vektoren kolliner sind: sin 0 sin180 0 Wegen vershwindet ds Vektorprodukt für den Fll, dss die Vektoren prllel oder nti-prllel sind. Kriterium für kollinere Vektoren Zwei vom Nullvektor vershiedene Vektoren und sind genu dnn kolliner, wenn ihr Vektorprodukt vershwindet: und sind kolliner. O. h Aus der Definition des Vektorproduktes ergeen sih unmittelr folgender Speilfälle: sin 0 0 O e e Für die Einheitsvektoren ergit sih dmit : e e e e e e O e e e e e e e e e e.. e

20 Vektorprodukt (4) Mit diesen Rehenregeln lässt sih ds Vektorprodukt sehr einfh us den Vektorkomponenten erehnen: ( e + e + e ) ( e + e + e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) Drstellung des Ergenisses in Spltenvektoren: O e e + e e + e e + e e + ( ) ( ) ( ) e e O + e e + e e + e e ( ) ( ) ( ) e e O e e e + e + e e e + e + e ( ) ( ) ( )

21 Vektorprodukt (5) Zusmmenfssung des Ergenisses: Berehnung eines Vektorproduktes us den sklren Vektorkomponenten der eteiligten Vektoren Ds Vektorprodukt weier Vektoren und lässt sih us den Vektorkoordinten der eiden Vektoren wie folgt erehnen: Um sih diese Formel einfher merken u können, wird in Bühern oft folgende Determinntendrstellung von Vektoren verwendet. Dei hndelt es sih um eine reine Merkregel: e e e Bsisvektoren Koordinten von Koordinten von Entwikelt mn die Determinnte nh der ersten Zeile, in der die Bsisvektoren stehen, so erhält mn ds Vektorprodukt in der oigen Koordintendrstellung.

22 Vektorprodukt (6) Beispiel 1 geometrishe Anwendung: Mn erehne den Fläheninhlt des Dreieks ABC mit den folgenden Ekpunkten: A (5; ; -8); B (7; 8; 13); C (11; 8; 11) Lösung: Der Fläheninhlt des Dreieks ist die Hälfte des Fläheninhlts des von je wei Seiten des Dreieks ufgespnnten Prllelogrmms, ds sih us wei Vektoren erehnen lässt. Definition weier Vektoren us den Punkten,. B. 8 C B AB ( ) AC ( 8) 19 8 AB AC Der Betrg des Vektorproduktes ergit den Fläheninhlt des von ufgespnnten Prllelogrmms: A AB und AC

23 Vektorprodukt (6) Fortsetung Beispiel 1 geometrishe Anwendung Berehnung des Vektorproduktes mit Hilfe der Determinntenregel: AB AC 6 e e e ( ) Berehnung des Betrges des Vektorproduktes ergit den Fläheninhlt des Prllelogrmms: AB AC ( 1 ) ( 4 ) C 4 8 B Die Flähe des Dreieks ist dvon die Hälfte, lso: Ergenis: Die Flähe des Dreieks ABC eträgt 46 FE (Fläheneinheiten). A Phsiklishe Anwendung: siehe Folie 95 (Anhng ()).

24 Vektorrehnung im dreidimensionlen Rum Sptprodukt!

25 Sptprodukt (1) Geometrishe Herleitung Ds Sptprodukt dreier Vektoren, eine Komintion us Kreuprodukt und Sklrprodukt, ist die Größe des orientierten Volumens des Spts, der durh die drei Vektoren ufgespnnt wird. Unter orientiertem Volumen versteht mn dei ds Volumen multipliiert mit dem Fktor +1, flls die Vektoren ein rehtshändiges Sstem ilden, und multipliiert mit -1, flls sie ein linkshändiges Koordintensstem ilden. Herleitung h. Die drei Vektoren, und spnnen ein sogennntes Prllelepiped oder Spt uf.. Volumen des Spts h A Mit den Beeihnungen us oiger Aildung erehnet sih ds Volumen des Spts wie folgt : Für 0 ϕ 90 gilt: A h h VSpt osϕ Für 90 ϕ 180 ist os ϕ kleiner Null. Dher muss hier os ϕ durh os ϕ ersett werden: VSpt osϕ D ϕ der Winkel wishen den Vektoren und ( ) ist, ist ds Sptvolumen gerde ds Sklrprodukt dieser Vektoren. Ds führt u folgender Definition:

26 Sptprodukt () Definition Sptprodukt (gemishtes Produkt), ( ) Unter dem Sptprodukt dreier Vektoren und versteht mn ds sklre Produkt us dem Vektor und dem us den Vektoren und geildeten Vektorprodukt : Anmerkungen: Ds Sptprodukt ist eine sklre Größe, lso eine reelle Zhl.,, Bilden die Vektoren in dieser Reihenfolge ein Rehtssstem, so ist ds us ihnen geildete Sptprodukt stets positiv; ist es ein Linkssstem, so ist es negtiv. Wie gerde geeigt, gilt der folgende St: Geometrishe Deutung des Sptprodukts, Ds Volumen eines von drei Vektoren und ufgespnnten Spts ist gleih dem Betrg des Sptproduktes : V Spt ( )

27 Sptprodukt (3) Rehenregeln und Berehnung Es gelten die folgenden Rehenregeln für Sptprodukte,, (1) Bei einer klishen Vertushung der drei Vektoren ändert sih ds Sptprodukt niht: () Vertushen weier Vektoren ewirkt stets ein Voreihenwehsel,. B. Wie eim Sklr- und Vektorprodukt lässt sih uh ds Sptprodukt us den Vektorkoordinten der eteiligten Vektoren erehnen. Die Berehnung erfolgt nh der entsprehenden dort vorgeführten Methode: Berehnung eines Sptproduktes us den Vektorkoordinten der eteiligten Vektoren Ds Sptprodukt der eteiligten Vektoren erehnen: ( ), dreier Vektoren und lässt sih wie folgt us den Vektorkomponenten ( ) ( ) + ( )

28 Sptprodukt (4) Komplnre Vektoren D ds Sptprodukt ein Sonderfll des Sklrproduktes ist, gilt insesondere, dss ds Sptprodukt orthogonl sind. ( ) ( ) vershwindet, wenn die eteiligten Vektoren und ueinnder Ds edeutet er, dss der Vektor in der von und ufgespnnten Eene liegt. Mit nderen Worten: Liegen drei Vektoren in einer gemeinsmen Eene, so heißen sie komplnr. Diese Eigenshft spielt insesondere in der Phsik eine wihtige Rolle. Kriterium für komplnre Vektoren, A Drei vom Nullvektor vershiedene Vektoren und sind genu dnn komplnr, wenn ds us ihnen geildete Sptprodukt vershwindet: 0, und sind komplnr..

29 Sptprodukt (5) Beispiel Beispiel An einem Mssepunkt greifen gleiheitig die 5 11 drei folgenden Kräfte n: F1 N F 1 N F 3 4 N F R ) Wie groß ist die resultierende Krft? ) Mn eige, dss die Krftvektoren komplnr sind, lso in einer Eene liegen. Lösung: u ) Die resultierende Krft ergit sih us der Summe der Einelkräfte: F F + F + F R F R N + N N N 5 N F F 14 + ( 5) + 16 N 1, 84 N Die Größe der Krft ist der Betrg des Vektors: R u ) Die drei Einelkräfte liegen in einer Eene, wenn ihr Sptprodukt vershwindet: F1 F F R [ 5 ( ( 4)) ( ) (( ) ) 1 (( ) ( 4) 1 11) ] [ 5 ( 11 16) ( 44) ( 8 11 )] [ ]