Einführungsmöglichkeiten des Skalarprodukts. r r

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Ingeborg Hofmann
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1 Einfühungsmöglihkeiten des Sklpodukts Jügen Zumdik I. Geometishe Zugänge im Euklidishen Vektoum Euklidishe Länge eines Vektos ist eeits eingefüht Polem Winkel zwishen Vektoen R² α β ϕ α-β osϕ osα-β osαosβ sinαsinβ ϕ90 0 Polem Winkel zwishen Vektoen R² ϕ Nh dem Cosinusstz gilt os ϕ Ds Einsetzen de Vektokomponenten in die qudtishen Teme und Auflösen nh osϕ liefet die Gleihung wie ei. Die Rehnungen velufen im R³ nlog. 3 Polem Beehnung des Astndes eines Punktes P von eine Geden g R² Ds Polem füht uf die Bestimmung eines Vektos de uf dem Rihtungsvekto de Geden senkeht steht

2 De Stz des Pythgos liefet Einsetzen de Komponenten liefet 0 ls Bedingung fü ds Senkehtstehen. ϕ 90 0 Polemeweiteung Winkel zwishen zwei Vektoen h ϕ Ds Polem wid uf den Spezilfll des ehtwinkligen Deieks zuükgefüht k i osϕ ii h h 0 iii h k k>0 iii wid komponentenweise geshieen und in ii eingesetzt. Mn ehält iv k k Unte Vewendung von i und de Definition 3 egit sih osϕ k k Die Rehnungen im R³ velufen nlog. Altentive k h k h k 0 k osϕ Dei weden die Definition des Sklpodukts 3 ds Distiutivgesetz fü ds Sklpodukt dessen Gültigkeit noh zu zeigen ist - die Aussge üe ds Senkehtstehen 3 und i enutzt. Mit diesen Egenissen ließen sih nun die Hesseshe Nomlenfom und die Astndsfomel heleiten

3 3 4 Polem Senkehte Pojektion von uf h h k h k Elimintion von h und Üegng zu Komponentensheiweise liefet k Dus folgt mit de ülihen Definition k ws sih uh us 3 iv egit. Es folgt senkeht 0 5 Polem. Astnd eine Geden vom Uspung R² g λ f λ λ λ git fü jedes λ den Astnd des zugehöigen Gedenpunktes vom Uspung n. Mit Hilfe de Diffeentilehnung wid ds solute Minimum von f estimmt. Dies ehält mn fü λ Fü dieses λ gilt. Ist λ0 so gilt und folglih. 0 Im R³ velufen die Rehnungen nlog. In llen Fällen sind noh die Eigenshften des Sklpoduktes festzustellen vgl. III..

4 4 II. Zugänge üe ußemthemtishe Anwendungen e- Physiklishe Zugng Aeit KftWeg W F s Bei de Aeit wikt nu dejenige Teil de Kft de sih ls Pojektion von git. F uf s F α s k s gilt im Zwei- F s W Fs s F os α s F s F s osα Üegng zum Stnddsklpodukt D F F s und s senkeht ufeinnde stehen und dimensionlen f -ks s f -ks s 0 siehe I. Hieus folgt k s f s f s F s Also F s osα F osα s F s s k s s k s f s f s Witshftswissenshftlihe Zugng i n woei Stükvekto P eislistenvekto Gesmtpeis i i i Um zu eine geometishen Bedeutung zu gelngen müsste eine de Wege unte I. eshitten weden III. Stuktumthemtishe Zugng Polem Wie knn mn eine Vektomultipliktion definieen R² Die nhfolgenden Voshläge stmmen us veshiedenen Unteihtsgängen Zunähst müssen Eigenshften eine Multipliktion definiet weden d k k

5 5 Dnn weden Voshläge gesmmelt Die Gesetze is d sind efüllt. Es git jedoh keine nheliegende geometishe Bedeutung. De Begiff de Mti w eknnt Die Gesetze is d sind niht efüllt. 3 Die Lenguppe htte Efhungen wie sie ei Zugängen unte II. efodelih sind Eine ndee Agumenttion lutete Zeilenvekto eine Mti Spltenvekto eine Mti eelle Zhl. Die Gesetze und d sind efüllt. Um zu eine geometishen Bedeutung zu gelngen müsste eine de Wege unte I. eshitten weden 4 Ein Voshlg de uf ds Vektopodukt füht ist ehe unwhsheinlih und soll dhe hie niht diskutiet weden. 5 Hntieen mit den Gesetzen d Mn ehte dss eim letzten Umfomungsshitt dvon usgegngen wid dss ds Podukt zweie Vektoen ein Vekto ode eine Zhl ist. De Vegleih mit dem Cosinusstz legt folgende Definition nhe osϕ woei ϕ de Winkel zwishen den eiden Vektoen ist. Aus de Definition folgt sofot ws dnn uh zu dem Vegleih mit dem Cosinusstz psst. Die Gesetze und d sind efüllt. De Beweis fü folgt m Ende dieses Ashnitts. Aus folgt nun Es folgt Stehen die Vektoen senkeht ufeinnde so folgt us de Definition 0. Also müsste 0 gelten ws ihtig ist Podukt de Steigungen ist. Dmit eweist sih die Definition ls sinnvoll und elut die Winkeleehnung. Beweis de Gültigkeit von Gesetz os os os

6 6 A B C AB os BC os AC os D ds Podukt de Vektoen eine eelle Zhl ist ist Gesetz unuh. Es könnte duh die Eigenshft 0 esetzt weden. Jetzt ehtfetigt sih uh de Nme Sklpodukt. IV. Zugng fü elieige Vektoäume Wähend die oigen Wege einen Längen- und Winkelegiff nämlih den euklidishen voussetzen weden eim folgenden Weg diese Begiffe neu eingefüht. Litetu Ekt Jehle Vogel Anlytishe Geometie Byeishe Shuluh-Velg Einfühung de Nom Definition Beispiele Euklidishe Nom Mimum-Nom Betgssummen-Nom zw. Mnhttn-Nom Niht zu jede Nom lässt sih ein Winkelegiff festlegen vgl. Mnhttn-Nom Zu eine nwendungsoientieten Einfühung siehe Ppe Einfühung des Sklpodukts Definition Beispiele siehe Lehuh 3 ist eine Nom flls ein Sklpodukt ist. Diese Nom stimmt mit dem euklidishen Längenegiff üeein flls ds Stnddsklpodukt ist. Jedes Sklpodukt induziet lso eine Nom. Umgekeht lässt sih niht zu jede Nom ein Sklpodukt finden ds diese Nom induziet. Dhe knn mn niht mit jede Nom einen venünftigen Winkelegiff definieen vgl.. Zum Beweis wid enötigt y y Cuhy-Shwz-Ungleihung Beim Beweis de Cuhy-Shwz-Ungleihung ehält mn 0 y 0 woei 0 ls Einheitsvekto definiet wid. 0 0 Ist de Winkel zwishen und y 0 d. h. y k so gilt y. 0 0 y Diese eiden Ttshen legen folgende Definition nhe osϕ y y

7 7 Diese Definition ist sinnvoll denn sie liefet ei Vewendung de Euklidishen Nom lso ei Vewendung des Stnddsklpodukts den eknnten Euklidishen Winkel ws mit einem de Wege us I. zu zeigen ist. Altentive zu den Shitten is 3 Heleitung de Fomel osϕ im Euklidishen Vektoum nh einem de Wege unte I. und Vellgemeineung diese Fomel duh Definition eines elieigen Sklpodukts und eine duh dieses Sklpodukt induzieten Nom.

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