Volumen von Rotationskörpern, Bogenlänge und Mantelfläche

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1 Modul Integle 3 Volumen von Rottionsköpen, Bogenlänge und Mntelfläche In diesem Modul geht es um einige spezielle Anwendungen de Integlechnung, und Volumin, Längen und Flächen zu estimmen. Fngen wi mit dem einfchsten n: Volumen von Rottionsköpen Stellen Sie sich eine Funktion vo, Sie otieen eine Funktion um die -Achse. Dmit umschließt die otiete Funktion ein Volumen wie goß ist ds? Die Sitution ist im folgendem Bild dgestellt y Dig. Die Funktion f ( ), otiet um die -Achse Wi wissen, dß ds Integl eigentlich eine Summe üe infinitesiml kleine Stecken ist. Also zelegen wi doch ds Volumen in einzelne kleine Zylinde mit de Beite und summieen diese lle uf. Ein einzelne Zylinde ist in Dig. gezeigt. Sie weden nun einwenden, dß ds j g kein Zylinde ist, sonden ein Kegelstupf, de zwei veschiedene Rdien ht. Stimmt solnge ds zu goß ist. Wid ds klein genug, stimmen uch eide Rdien näheungsweise hineichend üeein. Dmit gilt fü ds kleine Volumen dv : dv De Rdius ist e nun gede de Funktionswet f ( ) n de Stelle : ( ) dv f Integieen wi ds Gnze zu V uf, ehlten wi: ( ) V dv f Modul Integle 3 Seite von 7

2 y Dig. Kleine Zylinde de Höhe mit dem Volumen dv - sofen ds hineichend klein wid N dnn eechnen wi doch einml ds Volumen des Rottionsköpes unte de Wuzel von 0 is : V Bogenlänge eine Funktion Wenn Sie eine Funktion entlnglufen, welchen Weg legen Sie dnn zuück? Genu dieses Mß git uns die Bogenlänge n. Um sie zu eechnen, sehen Sie uf ds nächste Digmm: y dy Dig. 3 Zu Beechnung de Bogenlänge Modul Integle 3 Seite von 7

3 Wi sehen uns wiede ein kleines Stückchen n. Auf diesem kleinen Stückchen ändet sich die Funktion um den Wet dy. Wenn wiedeum hineichen klein ist, können wi die Funktion duch ds Gedenstück npssen. Integieen wi wiede üe lle Stückchen uf, ehlten wi fü die Bogenlägen zwischen den Punkten s und s : s s s Lut Pythgos gilt e: dy dy usklmmen von dy dy dy De Ausduck ist doch e nun fü 0 nicht ndes ls de Diffeenzenquotient von ( ) f - die Ändeung von f ( ) ei eine Ändeung. Kuzgespochen: die Aleitung: dy f ( ) Und dmit wid dy f ( ) Eingesetzt in ds Integl ekommen wi s s s f ( ) Dmit hen wi unsee Fomel. Bechten Sie wiede die Ändeung de Integtionsgenzen eim Üegng von nch. Die Wete und sind nun Wete uf de -Achse, zwischen denen wi die Bogenlänge eechnen. Nehmen wi ls Beispiel einen Hlkeis mit dem Rdius. Die Funktion, die den Hlkeis escheit, lutet f ( ) Modul Integle 3 Seite 3 von 7

4 So sieht sie us: y - Dig. 4 De Hlkeis: f ( ) Wi wissen: De Keisumfng ist U, lso sollte die Bogenlänge des Hlkeises gede s egeen. Leiten wi zuest f ( ) : f Und dmit egit sich fü ds Qudt: f Eingesetzt in ds Integl ekommen wi: s f ( ) Büche ddieen Nun sustituieen wi: Modul Integle 3 Seite 4 von 7

5 ( t) sin( t) t( ) csin cos( t) cos( t) Und ehlten s csin( ) csin( ) sin sin ( t) cos( t) cos( t) cos ( t) sustituieen t ( t) t cos( ) küzen, us Integl ziehen Pythgos sin ( ) cos ( ) Geht doch Die Mntelfläche eines Rottionsköpes Die Mntelfläche ist die Oefläche des Rottionsköpes. Um diese zu ehlten, müssen wi Kegelstümpfe ufintegieen: Modul Integle 3 Seite 5 von 7

6 y s s Dig. 5 Kegelstumpf zu Anpssung n die Mntelfläche Ein Kegelstumpf ist fst ein Zylinde, de e zwei veschiedene Rdien ht. Die Mntelfläche eines kleinen Kegelstumpfes ist dm woei die (Bogen)länge zwischen den egenzenden Keisen ist. Wiedeum gilt: Wid infinitesiml klein, so psst sich n die Funktion n. Wenn seh klein wid, knn mn nnehmen, dß gilt:. De Rdius ist e gede de Funktionswet f ( ). Setzen wi ll dieses Wissen ein, ehlten wi dm f ( ) Die infinitesimle Bogenlänge hen wi e schon eechnet: f ( ) Und kommen dmit zu dm f ( ) f ( ) f ( ) Um die gesmte Mntelfläche zwischen den -Weten und zu ehlten, integieen wi wiede üe lle kleinen Mntelflächen dm M M dm f ( ) f ( ) M Modul Integle 3 Seite 6 von 7

7 Rechnen wi ds wiede fü den Hlkeis us: De Rottionsköpe des Hlkeises ist eine Kugel mit dem Rdius. Deen Oefläche etägt lut Lehuch Die Funktion lutet wiede 4 -eechnen wi ds. f ( ) : Wie oen estimmen wi f ( ) f Einsetzen in ds Integl egit: M f ( ) f ( ) Buch ddieen Wuzel zusmmenfssen Küzen von Achtung: ist eine Konstnte 4! Modul Integle 3 Seite 7 von 7

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