Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

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Heiko Baumgartner
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1 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines Produktes der Art f(xmitte) x hen Es erechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. Flächen üer der x-achse erhlten ein positives Vz, Flächen unter der x-achse erhlten ein negtives Vz. Stmmfunktion n der oeren Grenze minus Stmmfunktion n der unteren Grenze. Wie erechnet mn Integrle der Gestlt dx 3x Wie erechnet mn Integrle der Gestlt ( 2x ) dx 6. Wie erechnet mn die Fläche zwischen zwei Kurven? 1. Stmmfunktion der äußeren Fktn: ln(...) ln(3x + 2. dnn innere Al. in den Nenner : 3 7. Wie erechnet mn den durchschnittlichen Funktionswert einer Funktion f uf dem Intervll [;]? 6) 1. Stmmfunktion der äußeren Fktn: ( ) 2. zusätzl. innere Al. in den Nenner : (2x + 7) 2 8. Der Funktionswert f() einer Funktion sei eknnt. Wie knn mn mithilfe von f den Funktionswert f() erechnen? Integrl üer die Differenz der Rndfunktionen 9. Wie findet mn die Nullstellen von Polynomen, die einen Grd üer 2 hen? Durchschnittswert = 1 f(x) dx f() = f() + (x) dx zunächst Nullstelle mit Polynom durch eknnten Mitteln suchen (x - Nst) (notflls errten) dividieren < A.Zitterrt, StD - 1 von 5 - Schwrzwld-Gymnsium Trierg

2 10. Wie findet mn die Periode einer zusmmengesetzten trigonometrischen Funktion 3 (z.b. sin x + 2 cos(5x) )? Welche Periode ht sin(x + c)? 12. Wie findet mn die Gleichung der Tngenten n der Stelle? Bilde mit dem CAS ds kgv der Einzel-Perioden! hier von: 2 1 2π und 2π, CAS: 3 5 lcm 2 3, lso: Periode = 2 2π = π 13. Wie findet mn die Gleichung der Normlen n der Stelle? Periode = 1. Wie entscheidet mn, o ei einer Stelle mit wgrechter Tngente ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt? 2π y = () (x ) + f() zw. mit CAS: tnline f x, x, 15. Wie untersucht mn eine Kurve uf Wendepunkte? 1 y = (x ) + f() () zw. mit CAS: norml f x, x, 16. Wie legt mn von einem Punkt P( ) ußerhl des Grphen die Tngente n ds Schuild der Funktion? VZW von f ' (x) von +/- HP zw. von -/+ TP. Alterntiv: f ' ' (x) pos TP zw. f "(x) neg HP flls f ' ' (x)=0, liegt eventuell ein Wendepunkt vor, dnn Entscheidung üer VZW von f ' (x) f ' ' (x)=0 setzen und nch x uflösen f ' ' ' (x) 0 WP flls f ' ' ' (x) = 0, muss mn f ' ' uf Vzw. untersuchen 17. Ws edeutet in der Anlysis ds Wort erührt=? 18. Wie findet mn die Kurve der Wendepunkte? Die Koordinten des Punktes P( ) erfüllen die Tngentengleichung; = (x ) ( x ) + f(x ) Diese Gleichung löst mn nch x uf und ht die Berührstelle der Tngente. die Steigungen stimmen üerein und die Funktionswerte sind gleich Bestimme die x-koordinte des Wendepunktes xw(t) in Ahängigkeit von t. x = xw(t) mit CAS: liefert y(x) y = yw(t) t, y A.Zitterrt, StD - 2 von 5 - Schwrzwld-Gymnsium Trierg

3 19. Wie lutet die Definition von symmetrisch zum Ursprung? 20. Wie lutet die Definition von symmetrisch zur y- Achse? 21. Wie zeigt mn, dss ds Schuild einer Funktion symmetrisch zum Punkt W(x 0,y 0) ist? (Ein Schuild ist genu dnn symmetrisch zum Koordintenursprung wenn die zugehörige Funktion ungerde ist.) Dnn gilt: f x = f x 22. Wie erkennt mn, o eine gnzrtionle Funktion symmetrisch zum Ursprung ist? (Ein Schuild ist genu dnn symmetrisch zur y-achse, wenn die zugehörige Funktion gerde ist.) Dnn gilt: f x =f x 23. Wie erkennt mn, o eine gnzrtionle Funktion symmetrisch zur y-achse ist? Mn zeigt, dss die Gleichung f(x0 + x) + f(x0 x) = y0 für lle x gilt. 2 D.h. y 0 ist der Mittelwert der eiden FktsWerte, die links und rechts von x 0 sind. 2. Wie zeigt mn, dss ds Schuild einer Funktion symmetrisch zur Achse x=?..., wenn sie nur ungerde Exponenten enthält 25. Wie findet mn für Potenzen von x eine Stmmfunktion?..., wenn sie nur gerde Exponenten und ein Asolutglied enthält. 26. Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn mn ds Schuild um 2 nch rechts verschiet? Mn zeigt, dss die Gleichung f ( x) = f( + x) für lle x gilt. D.h. links und rechts von sind die gleichen Funktionswerte. 27. Beschreien Sie die Idee des Newton-Verfhrens! Exponent um 1 erhöhen, neuer Exponent in den Nenner! sttt x schreie x 2 z.b. x 2 oder sin x 2 oder x 2 2 Mn sucht eine Stelle x 0, die in der Nähe der gesuchten Nullstelle liegt. An den entsprechenden Kurvenpunkt legt mn die Tngente. Die Schnittstelle der Tngente mit der x-achse ist ein esserer Näherungswert für die Nullstelle. A.Zitterrt, StD - 3 von 5 - Schwrzwld-Gymnsium Trierg

4 28. Wie lutet die Produktregel? 29. Wie lutet die Quotientenregel? 30. Wie lutet die Kettenregel? u ' v u' u v' = v v 2 ( u v) ' = u' v + v' u innere Aleitung äußere Aleitung 31. Wie ist die ln-funktion definiert? 32. Welche Asymptoten ht die e-funktion? 33. Welcher Zusmmenhng esteht zwischen f ' ' und dem Krümmungsverhlten des Schuildes von f? ln x ist der ntürliche Logrithmus. Er git n, mit welcher Zhl mn e potenzieren muss, um x zu erhlten, d.h. e ln x =x 3. Wie lutet die DGL des eschränkten Wchstums? Für x ist die x-achse Asymptote. Dies gilt uch für Funktionen der Gestlt f x =Polynom e x 35. Welche Lösung ht die DGL des eschränkten Wchstums? f ' ' neg Grf von f rechtsgekrümmt f ' ' pos Grf von f linksgekrümmt 36. Wie lutet die DGL des logistischen Wchstums? Für Erwärmung und Akühlung gilt: (x) = k (G f(x)) f(x) = G A e k x (x) = k f(x) (G f(x)) A.Zitterrt, StD - von 5 - Schwrzwld-Gymnsium Trierg

5 37. Welche Lösung ht die DGL des logistischen Wchstums? 38. Wie löst mn qudrtische Gleichungen schnell? 39. Welche Aussge knn mn mit Hilfe der Aleitung üer ds Monotonieverhlten einer Funktion mchen? f(x) = G 1 + A e k G x 0. Wie untersucht mn eine ger.rt.funktion in der Nähe der Definitionslücken? Hälfte der Zhl ws schon Zhl ohne x vor x mit ± dsteht, ins wieder mit umgek. Vz Qudrt umgek. Vz. 1. Wie untersucht mn ger.-rt.funktionen uf Asymptoten für x? Ist in einem zusmmenhängenden Geiet f ' positiv, so ist die Funktion in diesem Geiet monoton steigend 2. Wie lässt sich eine ger. rt. Funktion vereinfchen? Nst. des Nenners suchen, flls Zähler 0: dnn senkr. Asymptote x=x 0 flls Zähler = 0 : Bruch durch (x-x 0) kürzen! 3. Welche Bedingung müssen zwei Funktionen f und g erfüllen, dmit sich die Schuilder senkrecht schneiden? Zählergrd < Nennergrd: x-achse Zählergrd = Nennergrd: y = [Quotient der höchst. Koeff.] Zählergrd > Nennergrd: Polynomdiv. zur Best. der schiefen Asymptote. Wie erechnet mn die Steigung einer Gerden durch zwei Punkte A, B? Mn knn eventuell durch die Nullstellen des Nenners kürzen. 5. Wie erechnet mn ds Volumen eines Rottionskörpers? Für die Schnittstelle x S muss gelten: f ' x S g ' x S = 1 m= y y B A x B x A =y-differenz x-differenz V Rottionskörper = f x 2 dx A.Zitterrt, StD - 5 von 5 - Schwrzwld-Gymnsium Trierg

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