Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A I - Lösung mit CAS

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Alke Günther
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1 GS m7_3t-_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung Mthemtik 3 Technik A I - Lösung mit CAS Teilufgbe Gegeben sind die Funktionen f mit f ( ) Definitionsmenge D f IR. mit IR \ {0} und der e Teilufgbe. (7 BE) Ermitteln Sie ds Monotonieverhlten des Grphen von f sowie ds Verhlten der Funktionswerte f ( ) n den Rändern von D jeweils in Abhängigkeit von. f [ Mögliches Teilergebnis: f' ( ) e ] e 2 f( ) e f' ( ) d d f( ) e e 2 für >0 gilt: f' ( ) 0 G ist streng monoton steigend in IR. f für <0 gilt: f' ( ) 0 G ist streng monoton fllend in IR. f für >0 gilt: e nnehmen 0 0 e nnehmen 0 f( 0) e für <0 gilt: e nnehmen 0 e nnehmen 0 0 Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite von 0

2 Teilufgbe.2 (9 BE) Bestimmen Sie ohne CAS die Koordinten des Wendepunkts des Grphen von f und zeigen Sie ohne CAS, dss der Grph von f symmetrisch zu diesem Wendepunkt verläuft. [ Teilergebnis: W ] g ( ) f( ) e g' ( ) e e 2 2 e g'' ( ) e e e 2 e e 4 2e 4 e g'' ( ) e e e g'' ( ) e 3 e e g'' ( ) 0 e 0 uflösen W Wendestelle, d einfche Nullstelle y P g ( ) 25 Wendepunkt W(/25) u y v 25 v 25 e u e u f_ ( u) e u e u e u 25 25e u e u f_ ( u) 25 25e u e u e u e u 25e u 25 e u 25 25e u e u f_ ( u) Punktsymmetrie Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 2 von 0

3 Teilufgbe.3 (7 BE) Begründen Sie, dss die Funktion g mit g ( ) f ( ) und D g [ 0 ; [ umkehrbr ist. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g. Ermitteln Sie die Steigung der Tngente n den Grphen von g im Punkt Q ( 2.5 y Q ), ohne den Term der Umkehrfunktion zu bestimmen. Der Grph von f ist streng monoton fllend und somit uch G g. g ( ) f( ) e g0 ( ) e g ( ) 0 W g ] 0; e ] D ] 0; g e g ( ) ] W [ 0 ; [ g 25 uflösen ln( 3) 2 P ( ln( 3) ) g' ( ) d d g ( ) e e 2 m g' P m 8 75 Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 3 von 0

4 Teilufgbe.4 Gegeben ist die Integrlfunktion F durch F ( ) D F IR f () t dt mit 0und der Definitionsmenge 0 Teilufgbe.4. (6 BE) Geben Sie, ohne die Integrtion durchzuführen, die Anzhl und die Lge der Nullstellen sowie eventuelle Etremstellen des Grphen von F n. Bestimmen Sie ds Krümmungsverhlten des Grphen von F. F ( 0) 0 0 F' ( ) f ( ) e F' ( ) f ( ) immer positiv, G F streng monoton steigend keine weiteren Nullstellen, keine Etremstellen. e F'' ( ) f' ( ) F'' ( ) 0 e 2 für lle G F ist rechtsgekrümmt Teilufgbe.4.2 (0 BE) Bestimmen Sie jeweils ohne CAS eine integrlfreie Drstellung des Funktionsterms F ( ) und den Grenzwert von F ( ) für +. [ mögliches Teilergebnis: F ( ) ln e ] e e d Substitution: z e d ( ) e d ( ) e e d z z ( z) z ( z) z A z B z Az B( z) ( z) z ( A B) z B ( z) z Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 4 von 0

5 Koeffizientenvergleich: A B 0 B A ( z) z z z ( ln( z) ln( z) ) ln z z Resubstitution: e d ln e e e e ln e Grenzen einsetzen: F ( ) ln e ln e ln e ln( e) F ( ) e ln e F( ) ln e e ln e e 0 nnehmen 0 ln( e ) Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 5 von 0

6 Teilufgbe 2.0 Gegeben ist die Differenzilgleichung y' 2 2sin( ) y mit. Teilufgbe 2. (0 BE) Bestimmen Sie ohne CAS mit der Methode der Vrition der Konstnten die llgemeine Lösung der Differenzilgleichung. sin( ) cos( ) De [ mögliches Ergebnis: y ( ) Homogene DGL 2 y' y 0 Trivile Lösung: y 0 Umformung: 2 y' y y' y 2 mit y 0 Trennen der Vriblen: dy y 2 d 2 dy d dy y y 2 d 2 prfrc dy y d ln y ln( ) k y 0 y e ln( ) k e ln( ) e e k e K mit K e k 0 y 0 y e ln( ) k e ln( ) e e k e K 2 mit K 2 e k 0 Mit triviler Lösung: Vrition der Konstnten: y H ( ) K e mit K IR y P ( ) K ( ) e e y' P ( ) K' ( ) K ( ) e ( ) ( ) e e ( ) 2 K' ( ) e ( 2) K ( ) ( ) 2 Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 6 von 0

7 einsetzen in inhomogene DGL: y' 2 y 2sin( ) K' ( ) e e ( 2) K ( ) ( ) 2 2 K ( ) e 2sin( ) Vereinfchen: K' ( ) e 2sin( ) Auflösen: Integrieren: K' ( ) 2sin( ) e K ( ) 2sin( ) e d u ( ) 2sin( ) u' ( ) 2cos( ) v' ( ) e v ( ) e 2sin( ) e d 2sin( ) e 2cos( ) e d u ( ) 2cos( ) u' ( ) 2sin( ) v' ( ) e v ( ) e 2sin( ) e d 2sin( ) e 2cos( ) e 2sin( ) e d 2 2sin( ) e d 2sin( ) e 2cos( ) e K ( ) sin( ) e cos( ) e ( sin( ) cos( ) ) e spezielle Lösung: y P ( ) ( sin( ) cos( ) ) e e sin( ) cos( ) Allgemeine Lösung: y A ( ) K e sin( ) cos( ) Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 7 von 0

8 Teilufgbe 2.2 (3 BE) Bestimmen Sie die spezielle Lösung für y0 ( ) 0 und untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte dieser speziellen Lösung für. y A ( K) K e sin( ) cos( ) y A ( 0K) 0 uflösen K spezielle Lösung: y A ( ) e cos( ) sin( ) y A ( ) 0 y s ( ) e sin( ) cos( ) 2 y s ( ) Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 8 von 0

9 Teilufgbe 3 (8 BE) Für die mschinelle Herstellung von Prlinen wird eine Gussform gebut. Die Gussform entsteht ls rottionssymmetrischer Körper, der durch Rottion des Grphen der Funktion f mit f( ), ] ; 0 ] um die y-achse entsteht, wobei in cm gemessen wird. Auf eine Mitführung der Einheiten wird verzichtet. Berechnen Sie ohne CAS ds Volumen V(b) einer Prline, wenn die Gussform von den Gerden mit den Gleichungen y 0und y bbegrenzt wird, sowie den Näherungswert von V(3) uf zwei Nchkommstellen genu. y-achse Achse 0 f( ) Rottion von G u um die -Achse: 3y 0 y 2 y Auflösen nch y: y 3y 0 y 2 0 y 2 3y y 0 y 2 9y 2 6 y 2 2 y y 0 y ( 3) 2 Umkehrfunktion: u ( ) Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 9 von 0

10 ( 3) 2 d rctn( 3) b 0 Vb ( ) π ( 3) 2 d 0π( rctn( b 3) rctn( 3) ) 0 b 0 Vb ( ) π ( 3) 2 d π( 0tn( b 3) 0tn( 3) ) 0 V3 ( ) Möglichkeit: Rottion von G f um die y-achse: f' ( ) d d f( ) dy d 0 dy d ( b) ( b) Vb ( ) π 2 dy π 2 0 d Vb ( ) 0π ( b) 0 2 d Vb ( ) 0π sin b 2 6b 0 sin 0 Vb ( ) 0π sin b 2 6b 0 sin 0 0 π V3 ( ) 0πsin Abi 207, Mthemtik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mit CAS Seite 0 von 0

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