Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Technik - A II - Lösung mit CAS. e 2x mit der maximalen Definitionsmenge D f = IR.

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 07 Mathematik Technik - A II - Lösung mit Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( ) e mit der maimalen Definitionsmenge D f IR. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für. Geben Sie Art und Gleichung der Asymptote des Graphen von f an. lim e 0 lim e 0 waagrechte Asymptote: y 0 Teilaufgabe. ( BE) Untersuchen Sie den Graph von f auf Symmetrie zum Koordinatensystem. zu zeigen: f( ) f( ) 0 f( ) f( ) e e 0 Achsensymmetrie zur y-achse. Klasse, A II - Lösung mit Seite von 0

2 Teilaufgabe. (8 BE) Untersuchen Sie ohne das Monotonieverhalten der Funktion f und ermitteln Sie damit Koordinaten und Art des Etrempunktes des Graphen von f. [ Mögliches Teilergebnis: f' ( ) ] e f' ( ) e e f' ( ) 0 e e e 0 e 0 e e 0 e ln( ) 0 0 Zähler pos neg Nenner pos pos f() pos neg G f sms smf G f ist streng mon. steigend in ] ; 0 ] und G f ist streng mon. fallend in [ 0 ; [. f( 0) (Absoluter) Hochpunkt: H (0 ) Teilaufgabe.4 (5 BE) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f. f'' ( ) d f( ) d f'' ( ) 0 auflösen ln ln G f ist linksgekrümmt in ] ; ln f'' ( ) 0 auflösen ln ] und in [ ln ; [. ln G f ist rechtsgekrümmt in [ ln ; ln ]. Klasse, A II - Lösung mit Seite von 0

3 Teilaufgabe.5 (4 BE) Der Graph von f besitzt zwei Wendepunktw W und W. Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte eakt. f'' ( ) 0 auflösen ln ln ln ln i i Lösung Lösung keine Lösung keine Lösung ln f 6 6 ln f 6 6 Wendepunkte: W (ln ) W (ln ) Teilaufgabe.6 (7 BE) Stellen Sie die Gleichungen der beiden Wendetangenten auf und berechnen Sie den Schnittwinkel φ der beiden Tangenten. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. f' ( ) d d f( ) Bestimmung der Wendetangente : f' 6 6 f 6 6 t ( ) t ( ) ln gerundet: t ( ) Klasse, A II - Lösung mit Seite von 0

4 Bestimmung der Wendetangente : f' 6 6 f 6 6 t ( ) t ( ) ln gerundet: t ( ).5.44 Steigungen: m m Neigungswinkel: m m φ atan φ 67.8 m m Teilaufgabe.7 (5 BE) Zeichnen Sie unter der Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen von f sowie mit Farbe seine Asymptote für 4 4 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: LE cm. d f d Klasse, A II - Lösung mit Seite 4 von 0

5 Graph von f mit Tangenten 4 y-achse Achse Bemerkung: Tangenten in der Prüfung nicht verlangt. Teilaufgabe.8.0 Gegeben sind zudem die reellen Funktionen h mit h ( ) mit den Definitionsmengen D h D H IR und a, b IR. e e und H mit H ( ) ln e a b Teilaufgabe.8. (6 BE) Die Koeffizienten a und b sind dadurch festgelegt, dass der Graph von H die y-achse im Punkt T (0 ln( ) ) schneidet und die Tangente an den Graphen von H im Punkt T parallel zur Winkelhalbierenden des. und. Quadranten verläuft. Berechnen Sie mithilfe dieser Angaben ohne die Koeffizienten a und b. Zeigen Sie danach. dass die Funktion H eine Stammfunktion der Funktion h in D H ist. [ Teilergebnis: a ; b ] ln H0 ( ) ln( ) ln e 0 b ( ) b b H' ( ) ae a e a b b H' ( 0) H' ( 0) ae 0 e 0 b a b a a a H ( ) ln e e H' ( ) e h( ). Klasse, A II - Lösung mit Seite 5 von 0

6 Teilaufgabe.8. (7 BE) Der Graph von h und die -Achse schließen mit den senkrechten Geraden mit den Gleichungen S und umit u IR und u S im. Quadranten ein Flächenstück ein Flächenstück ein. Dabei ist S die Schnittstelle der Graphen von f und h. Berechnen Sie die Maßzahl Au ( ) des Flächeninhalts in Abhängigkeit von u. Bestimmen Sie anschließend den Wert von u so, dass die Flächenmaßzahl Au ( ) den Wert 4 annimmt. h ( ) e e Schnittstelle: f( ) h ( ) auflösen ln( ) S ln( ) Graph von f (blau) und Graph von h (rot) 4 S u y-achse Achse Au ( ) u ln( ) h ( ) d ln 0 Au ( ) ln e u ( ) Au ( ) 4 auflösen u ln 0e 4 u ln 0e 4. Klasse, A II - Lösung mit Seite 6 von 0

7 Teilaufgabe.0 Unter der Tageslänge versteht man die Dauer von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang. Sie ist von der geographischen Breite des Ortes abhängig. Es wurden die Tageslängen in München im Jahr 06 (Schaltjahr mit 66 Tagen) aufgezeichnet. Die maimale Tageslänge betrug 6, h, die minimale Tageslänge 8,40 h. Die Tageslänge am..06 (0. Tag) betrug 8,46 h (Wert geringfügig verändert). Die Funktion g mit gt () asin( bt c) d mit a, b, c, t IR und t [ 0 ; 66 ] wird nun modellhaft zur Darstellung der Aufzeichnungen verwendet. t beschreibt dabei die Anzahl der vergangenen Tage ab Beginn des..06 und der Funktionswert g(t) die Länge des dazugehörigen Tages in Stunden. Da sich die jeweilige Tageslänge immer auf ganze Tage bezieht, sollen Werte für t auf ganze Zahlen gerundet werden. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet. Teilaufgabe. (5 BE) Bestimmen Sie mögliche Werte der Parameter a, b, d eakt und c sinnvoll gerundet so, dass die Funktion g die obigen Bedingungen erfüllt. gta ( b c d) ( asin( bt c) d) Amplitude: a ( ) a 0.86 Verschiebung nach oben: d 0 ( ) d 0.6 π π Periodendauer: b 0 b a, d und b einsetzen: 8.46 g0a 0 b 0 c 0 d 0.86 sin c auflösen c 0 Gleitkommazahl Zwei gültige Lösungen: c.9 c 4.54 Konkreter Funktionsterm: π gt ().86sin 8 t.9.6 Hinweis Die folgenden Teilaufgaben. bis.4 sind unter Verwendung der folgenden Funktion g zu bearbeiten: gt ().86sin( 0.077t.9).6 mit t [ 0 ; 66 [ Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie für 06 die Tage, an denen die Tageslänge in München h betrug. gt ().86sin( 0.077t.9).6 auflösen t Gleitkommazahl Lösung: t 77. Lösung: t 68. Klasse, A II - Lösung mit Seite 7 von 0

8 8 t t 6 4 Tageslänge in Stunden Zeit t in Tagen. Klasse, A II - Lösung mit Seite 8 von 0

9 Teilaufgabe. (7 BE) Berechnen Sie ohne den kürzesten Tag des Jahres 06 in München. g' () t cos( 0.077t.9) g' () t 0 cos( 0.077t.9) t.9 π.9 t 7.44 t π 66 t t t 55 Funktionswerte: g( 7) 6. g( 55) absolutes Minimum Vergleich mit den Randpunkten: g( 56) g0 ( ) 8.46 Der absolut kürzeste Tag ist der Tag 55.. Möglichkeit: g'' () t sin( 0.077t.9) g'' ( 7) sin( ) 0.00 rel. Maimum g'' ( 55) sin( ) 0.00 rel. Minimum. Klasse, A II - Lösung mit Seite 9 von 0

10 Teilaufgabe.4 (7 BE) a) Berechnen Sie für München den prozentualen Anteil der Tageslicht-Stunden an den Stunden der ersten 00 Tage des Jahres 06. b) Berechnen Sie die Werte für t, an denen im Jahr 06 in München die Hälfte der gesamten Tagesstunden vergangen sind. Teilaufgabe a) Gesamtstunden der ersten 00 Tage: Stammfunktion: Gt () (.86sin( 0.077t.9).6) dt.86 cos t (.9).6t Tageslichtstunden der ersten 00 Tage: 00 0 gt () dt also 05 Prozentualer Anteil: % Teilaufgabe b) Tageslichtstunden im ganzen Jahr: 66 0 gt () dt also 4487 Gt () (.86sin( 0.077t.9).6) dt Gt ()Gleitkommazahl 4.6t 4.8cos( 0.077t.9) Gk ( ) G0 ( ) Gleitkommazahl 4.6k 4.8cos( 0.077k.9) Gk ( ) G0 ( ) auflösen k Gleitkommazahl Klasse, A II - Lösung mit Seite 0 von 0