Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2013 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 03 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion f mit er Definionsmenge D f = IR berührt ie bei x = un schneiet ie bei y =. Die Tangente an en Graphen G f für x = hat ie Steigung m = 9. Teilaufgabe. (3 BE) Begrünen Sie, ass ie zugehörige ganzrationale Funktion nicht. Graes sein kann. Berühren auf er heißt Scheitel auf er. Der Achsenabschnitt ist positiv, also müsste ie Parabel nach oben geöffnet sein. Die Steigung könnte rechts vom Scheitel also nicht, wie verlangt, negativ sein. Keine Parabel möglich Parabel Nullstelle Achsenabschnitt Gerae mit Steigung - 9 Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie en Funktionsterm f(x) er ganzrationalen Funktion 3. Graes. [ Ergebnis: f( x) = x 3 3x ] Funktionsterm: f( xab c ) ax 3 bx cx Ableitung: f' ( x a b c ) x f( xab c ) 3a x b x c AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

2 Gleichungssystem aufstellen: f( a b c ) = 0 f( 0ab c ) = f' ( a b c ) = 0 f' ( a b c ) = 9 b a c = 0 3a a = b b c = 0 c = 9 Gleichungssystem lösen: a 0 b 0 c 0 0 f( a b c ) = 0 f( 0ab c ) = f' ( a b c ) = 0 f' ( a b c ) = 9 auflösen a b c ( 0 3 ) 3x Konkreter Funktionsterm: f xa 0 b 0 c 0 0 x 3 Feste Definition: f( x) x 3 3x Teilaufgabe.3 (8 BE) Weisen Sie urch entsprechene Berechnungen nach, ass ie Gerae G g mit gx ( ) Tangente an en Graphen G f im Hochpunkt von G f ist un ermitteln Sie ie Koorinaten es weiteren gemeinsamen Punktes von G g un G f.. Ableitung: f' ( x) x f( x) 3 3x. Ableitung: f'' ( x) x f' ( x) x Horizontale Tangenten: f' ( x) = 0 3 3x = 0 auflösen x Art er relativen Extremstelle: f'' ( ) f'' ( ) < 0, also Hochpunkt > 0, also Tiefpunkt f( ) gx ( ) ist horizontale Tangente im Hochpunkt g f: gx ( ) = f( x) = 3x x 3 Hilfsfunktion: x ( ) gx ( ) f( x) x 3 3x AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

3 ( ) 0 Polynomivision px ( ) x 3 3x x parfrac x x x px ( ) = 0 x x = 0 auflösen x weiterer gemeinsamer Punkt g( ) Schnittpunkt: S( / ) Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie en Graphen G f sowie ie Gerae G g im Bereich x mithilfe vorliegener Ergebnisse in ein Koorinatensystem. 5 v( x) i v( x) i f( x) gx ( ) y0 3 F F x x x x x0 AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 3 von 7

4 Teilaufgabe.5 ( BE) Berechnen Sie ie Maßzahl es Flächeninhalts für as Flächenstück F, welches er Graph G f un ie Gerae G g mit er im II. Quaranten einschließen. Stammfunktion: ( f( x) ) x x 3x x 0 Fläche: F ( f( x) ) x F Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie ie Maßzahl es Flächeninhalts für as Flächenstück F, welches er Graph G f mit en Koorinatenachsen im I. Quaranten einschließt. Vergleichen Sie ie Maßzahl es Flächeninhalts von F un F. Welche Vermutung legt as Ergebnis bezüglich es Punktes P(0/) nahe? Stammfunktion: f( x) x 3x x x Fläche: F f( x) x F 0 Es gilt: F = F Der Graph von f liegt punktsymmetrisch zum Punkt (0/). Teilaufgabe.0 Gegeben sin ie reellen Funktionen f t ( x) = ( x ) ( x t) ; D = IR; t IR. f Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie ie Nullstellen von f t sowie eren Vielfachheit in Abhängigkeit von t. f t ( xt) ( x ) ( x t) Nullstellen: t x = zweifach x 3 = t einfach t = x = reifach AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

5 Teilaufgabe. ( BE) Argumentieren Sie mithilfe er bisher bekannten Eigenschaften, ass ie Funktion f aus Aufgabe zur Funktionenschar f t gehört. Faktorisieren: f( x) 3x x 3 Faktor ( x ) ( x ) Vgl. Scharkurve für t = : f t ( x) ( x ) ( x ) Teilaufgabe 3 (7 BE) Gegeben ist ie abschnittsweise efinierte Funktion h urch hx ( ) = f( x) if x 0 ( x ) 5 if x 0 mit f(x) aus.. Weisen Sie nach, ass ie Funktion h an er Nahtstelle stetig ist. Untersuchen Sie anschließen rechnerisch, ob er Graph von h an ieser Stelle ohne Knick verkäuft. Linksseitiger Grenzwert: lim x 0 x 3 3x Rechtsseitiger Grenzwert: lim x 0 ( x ) 5 Funktionswert: h ( x) ( x ) 5 h ( 0) G h ist an er Stelle x = 0 stetig. Ableitungsfunktion: x h ( x) x h' ( x) x h ( x) x Linksseitiger Grenzwert: lim x 0 3 3x 3 Rechtsseitiger Grenzwert: lim x 0 ( x) G h ist an er Stelle x = 0 nicht ifferenzierbar. AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von 7

6 Graphische Darstellung in er Prüfung nicht verlangt Graph von h für x < 0 Graph von h für x > 0 Teilaufgabe (5 BE) Die folgene Darstellung zeigt en Graphen G r er ganzrationalen Funkion r un en Graphen G s er ganzrationalen Funktion s. Begrünen Sie: Die Funktion s kann eine Stammfunktion er Funktion r sein. 8 Es muss gelten: s' ( x) = rx ( ) G r Gs rx ( ) 0 für x ] ; ], also G s ist streng monoton steigen rx ( ) 0 für x [ ; [, also G s ist streng monoton fallen Graph von r Graph von s AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

7 Teilaufgabe 5.0 Eine Schule veranstaltet eine Projektwoche zum Thema Work-Life-Balance. Zum Abschluss erhalten alle Teilnehmer je einen Relax-Ball, er in einer zylinerförmigen Schachtel verpackt ist. Von ieser ist bekannt, ass sie eine Oberfläche von 80 cm besitzt. Bei er Rechnung wir auf Einheiten verzichtet. Teilaufgabe 5. ( BE) Zeigen Sie, ass für as Volumen er Schachtel in Abhängigkeit vom Zylinerraius r gilt: Vr () = πr 3 90r Oberfläche Zyliner: O Zyl = Kreisfläche Mantelfläche! O Zyl = r π r πh = 80 Auflösen nach er Höhe: h = 80 r π r π = 90 rπ r Volumen er Schachtel: V Zyl = GrunflächeHöhe V Zyl = r πh r 90 = π r = 90r rπ Teilaufgabe 5. (5 BE) Nach Informationen es Verbraucherschutzes kann eine Verpackung ann als unzulässig eklariert weren, wenn ie Füllmenge vom Fassungsvermögen einer Verpackung um mehr als 30% abweicht. Prüfen Sie, ob eine Verpackung ieser Anforerung gerecht wir, wenn ie Schachtel mit r = 3.cm einen Ball mit em Durchmesser von 0 mm enthält. Runen Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. r 3 π Schachtelvolumen: Kugelvolumen: V Zyl () r 90r r 3 π V Zyl ( 3.) 85. V Kugel () r 3 π r3 V Kugel ( 3) 3.0 Abweichung: V Zyl ( 3.) V Kugel ( 3) V Zyl ( 3.) 0.39 In er Verpackung ist 39% Luft, erfüllt also ie Anforerungen vom Verbraucherschutz nicht. AP 03, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von 7