Abschlussaufgabe Nichttechnik - A II - Lsg.

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1 GS m8_nta_lsg.xmcd Abschlussaufgabe 8 - Nichttechnik - A II - Lsg.. Gegeben ist die Funktion f( x) ID f IR \ { }. Ihr Graph wird mit G f bezeichnet. ( x ) in ihrer maximalen Definitionsmenge. Berechnen Sie die Nullstellen von f und geben Sie deren Vielfachheiten an. Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) in der Umgebung der Definitionslücke und geben Sie die Art der Definitionslücke an. 6 BE Funktionsterm: f( x) : ( x ) Nullstellen: f( x) auflösen, x einfache Nullstelle N ( / ), zweifache Nullstelle N ( / ) x ( x ) + x ( x ) + + x Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Zeigen Sie: G f besitzt eine schiefe Asymptote mit der Gleichung ax ( ) verläuft für alle x ID f unterhalb dieser schiefen Asymptote. x + und G f 5 BE Polynomdivision: x x + in Partialbrüche zerlegt, ergibt ( x ) x Schiefe Asymptote: ax ( ) : x + f( x) ax ( ) < Der Graph G f verläuft unterhalb der schiefen Asymptote ( x ) / 7

2 . Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und aller Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem. (Längeneinheit cm). 5 BE Wähle b > : b: 7 x b Ab ( ) ist die Maßzahl der Fläche, die von G f, der x-achse für x, der schiefen Asymptote und der Geraden x bmit b > eingeschlossen wird. Schraffieren Sie die gesuchte Fläche in der Zeichnung in Aufgabe., berechnen Sie die Maßzahl Ab ( ) und untersuchen Sie, ob Ab ( ) für b endlich ist. 8 BE Die gesuchte Fläche setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen: Für x die Fläche zwischen x-achse und Graph G f und für x b zwischen Asymptote und Graph G f. Nullstelle der Asymptote: ax ( ) x auflösen, x Dreiecksfläche: A Δ : ( ) a ( ) A Δ.5 Gesuchte Fläche: Ab ( ) b : ( ax ( ) f( x) ) dx Ab ( ) b Grenzwert: b b Die Fläche ist endlich. / 7

3 . Ein Studio für Ernährungsberatung erstellt nach dem Motto "Abnehmen braucht Zeit" für einen Kunden eine persönliche Gewichtskurve für die geplante Diät. Die Funktion Gt () e. t + 7 mit t gibt näherungsweise das Gewicht in kg nach t Monaten an. Auf die angabe von Einheiten bei der Berechnung kann verzichtet werden.. Bestimmen Sie das Gewicht des Kinden zu Beginn der Diät und das Idealgewicht G ideal, das der Kunde nach sehr langer Anwendung der Diät erreichen soll. [ Teilergebnis: G ideal 7 kg ] BE Gewichtskurve: Gt (): e. t + 7 Gewicht zu Anfang: G : G ( ) 9 Gewicht nach sehr langer Zeit. ( ) G ideal : e. t G ideal 7 t. Ermitteln Sie, nach welcher Dauer t der Diät der Kunde nach diesem Plan 75 % der angestrebten Gewichtsreduzierung erreichen wird. BE Maximal mögliche Gewichtsreduzierung in kg: ΔG: G G ideal ΔG 75 % davon in kg:.75 ΔG 5 Angestrebte Gewichtsreduzierung vom Ausgangswert: G : G ( ).75 ΔG G 75 Ansatz: G Gt () 75. e. t e. t.5 e. t ln(.5) Auflösen: t : t. 6.9 gerundet t 7 Nach ungefähr t 7 Monaten ist 75 % der maximal möglichen Gewichtsreduzierung erreicht. / 7

4 . Die vorgeschlagene Diät soll mit einer anderen Diät verglichen werden, bei der es angeblich d möglich ist, die zu Beginn der Kur vorliegende Gewichtsabnahmerate dt G ( ) konstant beizubehalten. Bestimmen Sie die sich dann ergebende Zeitspanne t, nach der das angestrebte Idealgewicht erreicht würde. BE Gewichtsabnahmerate allgemein: G () t d : Gt () G () t. e. t dt Zum Zeitpunkt t : G ( ) Lineare Abnahme: Lt (): G ( ) t + G Lt (). t + 9 Ansatz: 7 L( t ) 7. t Auflösen: t : t 5 Die folgende graphische Darstellung ist nicht verlangt: Gewicht in kg Gewichtskurven t t G G ideal G(t) L(t) Zeit t in Monaten / 7

5 . ln. x Gegeben ist die Funktion kx ( ) 8 ( + ) in der maximalen Definitionsmenge. x + ID k IR.. Bestimmen Sie ID k und die Nullstelle von k. BE Funktionsterm gegeben: ln. x kx ( ) : 8 ( + ). x + Definitionsmenge:. x + > auflösen, x. < x < ID ] ; [ Nullstelle: ln(. x + ) auflösen, x NS(/). Untersuchen Sie das Verhalten von kx ( ) an den Rändern von ID k. BE ln. x 8 ( ) + x. x + 8 ln(. x + ) + x. x + + x ln. x 8 ( + ). x + l. H. x 8.. x+. 8 x. x +.. Die Funktion k beschreibt für x [ ; ] in guter Näherung den durchschnittlichen täglichen Energiebedarf einer Person in Deutschland in Kilokalorien (kcal) in Abhängigkeit vom Lebensalter x in Jahren (a). Auf die Angabe von Einheiten wird verzichtet. Runden Sie alle Werte sinnvoll... Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunktes von k ohne Verwendung der. Ableitung von k. ln. x [ Teilergebnis: k ( x) 8 ( + ) (. x + ) ] 8 BE Ableitungsfunktion:. (. x + ) ln(. x + ).. x + k ( x) 8 (. x + ) Vereinfachen:. ln. x k ( x) 8 ( + ). (. x + ) 5 / 7

6 Vereinfachen ln. x k ( x) 8 ( + ) (. x + ) Horizontale Tangenten: ln(. x + ) ln(. x + ) Auflösen: x E : ( e ) x E 7.. x + e Zählerfunktion: zx ( ) : ln(. x + ) Vorzeichen der Zählerfunktion: z7 ( ) 6.78 z8 ( ). Vorzeichentabelle: x E Zähler pos neg kx ( E ) 9 Nenner pos pos Ableitung k'(x) pos neg Graph G k sms smf Mit. folgt: absoluter Hochpunkt (7, / 9) HP Im Alter von 7, Jahren ist der Energiebedarf mit 9 kcal am größten... Zeichnen Sie den Graphen G k für x [ ; ] unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse sowie der Funktionswerte k5 ( ) und k( ) in ein Koordinatensystem. [ Maßstab: x-achse: cm entspricht a ; y-achse: cm entspricht 5 kcal ] BE 5 k(x) - Diagramm Energiebedarf k in kcal Zeit x in Jahren k5 ( ) 67 k( ) 7 6 / 7

7 .. Zeigen Sie, dass Kx ( ) ( ln(. x + ) ) mit ID K ID k eine Stammfunktion von k ist 8 und berechnen Sie I kx ( ) dx. BE [ Teilergebnis: I 9 Stammfunktion: zu zeigen: Ableiten: Vereinfachen: Kx ( ) : ( ln(. x + ) ) K' ( x) kx ( ) K' ( x) ln(. x + ).. x + ln. x K' ( x) : 8 ( + ). x + Vergleiche: kx ( ) 8 ln(. x + ). x + Integral mit Hilfe der Stammfunktion: I : K( 8) K ( ) I 9.. Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von.. den mittleren täglichen Energiebedarf einer 8-jährigen Person im Laufe ihres Lebens. Zeichnen sie diesen Wert sinnvoll in die Zeichnung von.. ein und ermitteln Sie graphisch, in welchem Lebensalter dieser mittleren Energiebedarf benötigt wird. BE I ist der Kalorienbedarf einer 8-jährigen Person im Laufe ihres bisherigen Lebens. Mittlerer Bedarf: I I_ : I_ 8 Wähle den ersten Zeitpunkt: Wähle den zweiten Zeitpunkt: t : t : 5 t t k(x) - Diagramm Energiebedarf k in kcal 5 5 I_ t 6 t Zeit x in Jahren Graphische Lösung: Der erste Zeitpunkt liegt ungefähr bei t 6 Jahren, der zweite bei t 5 Jahren 7 / 7