ABITURPRÜFUNG 2017 ZUM ERWERB DER FACHGEBUNDENEN HOCHSCHULREIFE AN FACHOBERSCHULEN UND BERUFSOBERSCHULEN MATHEMATIK

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1 ABITURPRÜFUNG 17 ZUM ERWERB DER FACHGEBUNDENEN HOCHSCHULREIFE AN FACHOBERSCHULEN UND BERUFSOBERSCHULEN MATHEMATIK Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Donnerstag, 1. Juni 17, 9. Uhr bis 1. Uhr Die Schülerinnen und Schüler haben je eine Augabe aus den Augabengruppen A und B zu bearbeiten; die Auswahl trit die Schule

2 - - AI 1. (x 1) Gegeben ist die Funktion g : x mit der maximalen Deinitionsmenge x 1 D g IR. 1.1 Geben Sie D g an, prüen Sie g au Nullstellen und olgern Sie daraus die Art der Deinitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Deinitionslücken. (7 BE) (x 1) 1.. Die Funktion : x mit D = IR\{1} ist die stetige Fortsetzung der x 1 Funktion g (Nachweis nicht erorderlich). Ihr Graph wird mit G bezeichnet Geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von G an und untersuchen Sie, ob sich der Graph der Funktion ür x + der Asymptote von oben oder unten nähert. 1.. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und geben Sie die Wertemenge von an. 4 [ mögliches Teilergebnis: '(x) ] (x 1) 1..3 Zeichnen Sie G und seine Asymptoten unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse ür 4 x 6 in ein kartesisches Koordinatensystem Der Graph G, die y-achse und die Geraden y = und x = a mit dem reellen Parameter a < 1 begrenzen ein Flächenstück A. Kennzeichnen Sie diese Fläche ür a = 3 im Koordinatensystem von Teilaugabe 1..3 und berechnen Sie deren Flächenmaßzahl A(a) in Abhängigkeit von a. [mögliches Ergebnis: A(a) 4ln(1 a) ] 1..5 Untersuchen Sie, ob A(a) ür a einen endlichen Wert annimmt. ( BE) 1..6 Die Funktion F ist eine Stammunktion der Funktion. Geben Sie nur mit den bisherigen Ergebnissen die maximalen Monotonieintervalle des Graphen der Funktion F ür x < 1 an.. Die Funktion n beschreibt näherungsweise die zeitliche Entwicklung der Einwohnerzahl einer ränkischen Kleinstadt. Es gilt hierür die Funktionsgleichung,5t,5t n(t) b( e e 1,5) mit t, b IR. Der Zeitpunkt t = wird au den estgelegt. Dabei gibt n die Einwohnerzahl in Tausend und t die Zeit in Jahren an. Au Einheiten soll bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll..1 Am hatte die Stadt 983 Einwohner. Bestimmen Sie damit den Wert des Parameters b. [ Ergebnis: b ] ( BE) Fortsetzung nächste Seite

3 Fortsetzung A I Berechnen Sie Art und Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion n und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im gegebenen Sachzusammenhang. [ mögliches Teilergebnis: n(t) e 5e,5t,5t ] (7 BE).3 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion n in ein geeignetes Koordinatensystem..4 Zum konnte die Stadt Fördergelder beantragen. Diese richteten sich nach der durchschnittlichen Einwohnerzahl der Stadt während der vergangenen 15 Jahre. Ermitteln Sie die Höhe der Fördermittel, wenn es pro durchschnittlichem Einwohner 5 an Fördergeldern gab, indem Sie zunächst das Integral I = 15 n(t)dt berechnen. [Teilergebnis: I 317] 3. Die subjektive Empindung der Tonhöhe Z des menschlichen Gehörs in Abhängigkeit von der Frequenz x in Hertz (Hz) kann durch olgende Gleichung beschrieben werden: x ür x 47 Z(x) x 117 ln1 11 ür 47 x 19 7 Die Einheit der Tonhöhe Z ist 1mel. Runden Sie die Ergebnisse au ganze Zahlen. Au das Mitühren von Einheiten kann verzichtet werden. 3.1 Zeigen Sie, dass die Funktion Z an der Nahtstelle x = 47 - im Rahmen der Rundungsgenauigkeit - stetig und dierenzierbar ist. 3. Berechnen Sie die Frequenz x, bei der die Tonhöhe von 14 mel empunden wird. 3.3 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion Z im Bereich x. (Maßstab: waagrechte Achse: 1cm Hz senkrechte Achse: 1cm mel )

4 - 4 - A II x 1 1. Gegeben ist die reelle Funktion :x mit der maximalen 3 x Deinitionsmenge D IR. Ihr Graph wird mit G bezeichnet. 1.1 Geben Sie D und die Art der Deinitionslücke von an und bestimmen Sie die Nullstelle von. 1. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern von D und geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von G an. 1.3 Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G und bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von G. 4x 3 [ Mögliches Teilergebnis: '(x) ] (7 BE) 4 x 1.4 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und mittels geeigneter zusätzlicher Funktionswerte G ür 5 x 5 in ein kartesisches Koordinatensystem Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm (x) auch durch (x) 3 x x darstellen lässt und bestimmen Sie eine Stammunktion F der Funktion mit D D. F 1.6 Der Graph G, die Geraden x 1, x b (b 1) und die x-achse schließen ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück ür b = 4 im Koordinatensystem der Teilaugabe 1.4. Zeigen Sie, dass sich ür die Maßzahl des Flächeninhalts A(b),5,5 b b ergibt. Bestimmen Sie den Grenzwert von A(b) ür b. (6 BE). Zum Ende des Jahres 1995 (Zeitpunkt t = ) lebten laut der Organisation der Vereinten Nationen (UNO) 5,74 Milliarden Menschen au der Erde. Ende 16 hatte die Erdbevölkerung gegenüber t = um 9,1% zugenommen. Mit der vereinachenden Annahme einer exponentiellen Entwicklung gilt ür die Gesamtzahl N der Weltbevölkerung in Milliarden in Abhängigkeit bt von der Zeit t in Jahren die Gleichung N(t) a e mit t und a,b IR. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll..1 Bestimmen Sie aus den obigen Angaben die Parameter a und b. [ Ergebnisse: a 5,74; b,116 ]. Berechnen Sie, wie viele Menschen zum Ende des Jahres 5 nach dem Modell von. au der Erde lebten. Fortsetzung nächste Seite

5 - 5 - Fortsetzung A II Vergleichen Sie das Ergebnis mit der tatsächlichen Weltbevölkerung Ende 5 von 6,5 Milliarden (UNO), indem Sie die prozentuale Abweichung berechnen und bewerten Sie damit die Güte des Modells. Geben Sie außerdem stichpunktartig drei Gründe an, die eine genaue Ermittlung der weltweiten Bevölkerungszahl erschweren. (6 BE).3 Ermitteln Sie, um wie viele Menschen die Weltbevölkerung voraussichtlich im Jahr 17 zunehmen wird. ( BE).4 Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsunktion N und berechnen Sie N(1). Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang und vergleichen Sie ihn mit Ihrem Ergebnis der Teilaugabe.3..5 Bestimmen Sie das Jahr, in dem sich die Weltbevölkerung gegenüber dem nach dem Modell von. verdoppelt haben wird..6 Berechnen Sie, welche Bevölkerungszahl sich am Ende des Jahres 5 ergeben würde, wenn man - in einem anderen Szenario - ab Ende des Jahres 16 von einer linearen Zunahme um 9 Mio. pro Jahr ausgeht. x 3. Gegeben ist die Funktion k : x, ihre Ableitungsunktion k' 4ln(x 4) 1 und die Funktion h:x jeweils in ihren maximalen reellen Deinitionsmengen. k(x) 3.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass ür die Funktion k gilt: D k = ; \{ 1,5}. 3. Ordnen Sie jedem Graphen der Bilder a, b und c einer der Funktionen k, k' oder h zu und begründen Sie Ihre Wahl. 3.3 Bild a Bild b Bild c Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von k(x) ür x. ( BE)

6 - 6 - B I 1 1. Im IR 3 sind der Punkt P( 6 8), die Gerade g: x und die 3 3 Ebenen E a : ax ax x 4a mit a, IR gegeben Geben Sie ür a = die besondere Lage der Ebene E im Koordinatensystem an. Der Punkt P' ist der an E gespiegelte Punkt P. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes P' an. 1. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E a und der Geraden g in Abhängigkeit von a. 1.3 Die Ebene F enthält den Punkt P und die Gerade g. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F. [Mögliches Ergebnis: F: x x x 6] Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E a und F in Abhängigkeit von a. 1.5 Bestimmen Sie ür a = 1 die Gleichung der Schnittgeraden s der beiden Ebenen E 1 und F. 1.6 Fertigen Sie eine aussagekrätige Skizze mit E 1, F, g und s an. Verwenden Sie dazu kein Koordinatensystem.. Die drei Zweigwerke U, V und W eines Unternehmens sind nach dem Leontie-Modell miteinander und mit dem Markt wie im nebenstehenden Diagramm dargestellt verlochten. Alle Werte sind in Mengeneinheiten ME angegeben mit a,b IR. 15 U x 1 = a 1 b W x 3 = 3 4 Markt 6 4 V x = Bestimmen Sie a, b und die Inputmatrix A.. Die Produktionskosten pro ME betragen im Zweigwerk U 75,, in V 8, und in W 95,. Der Erlös pro ME au dem Markt beträgt ür die Produkte von Zweigwerk U 15,, von V 4, und von W 17,. Berechnen Sie den Gesamtgewinn G und erläutern Sie, wie die Geschätsleitung au dieses Ergebnis reagieren könnte. (Hinweis: Gesamtgewinn = Gesamterlös Gesamtkosten).3 Augrund einer technologischen Umstellung soll das Zweigwerk V genau 6 ME und U höchstens 58 ME produzieren. Untersuchen Sie, ob die Produktionen der Zweigwerke U und W so estgelegt werden können, dass dann alle drei Werke gleich viel an den Markt abgeben. (7 BE)

7 7 B II 1. Im IR 3 sind die Punkte A( ), P( 3 5) und die Ebene E: x rs1 mit r,sir gegeben. 1.1 Zeigen Sie, dass die beiden Richtungsvektoren u und v der Ebene E zusammen mit dem Vektor AP eine Basis des IR 3 bilden. Begründen Sie, dass der Punkt P nicht Element der Ebene E ist. 1. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E und geben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem an. 1.3 Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F: x 1 + x 3 =. 1.4 Zeigen Sie, dass A s gilt. Entscheiden Sie ohne weitere Rechnung, wie die Schnittgerade s zur Geraden AP liegt. Fertigen Sie hierzu eine aussagekrätige Skizze an. 1.5 Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geradenschar a 1 g a : x mit a, IRund der Ebene E in Abhängigkeit a a von a. Fortsetzung nächste Seite

8 8 Fortsetzung von B II. Drei konventionelle landwirtschatliche Betriebe B, R und S sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontie Modell verlochten. Das Diagramm stellt die momentane Verlechtung der Betriebe in Mengeneinheiten ME dar mit a,b,y IR B x 1 = 4 6 a 1 R x = 3 y 1 6 b S x 3 = 6 1 Markt.1 Bestimmen Sie a,b und y und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an. Berechnen Sie die Inputmatrix A. (6 1 BE). In der nächsten Produktionsperiode wird erwartet, dass die Nachrage von Produkten der Betriebe B au 8 ME und R au 84 ME sinkt. Betrieb S soll 1 ME an den Markt lieern. Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor. Nennen Sie die Ursache daür, dass trotz des Absinkens der Produktion in allen drei Betrieben die Marktabgabe in einem Betrieb steigt. (7 BE).3 Die Betriebe entschließen sich mittelristig au biologische Betriebsührung umzustellen. Für die Umstellungszeit ergibt sich die neue Inputmatrix, 4,4t,3 * A,1, 4,1.,(t 8),7 Dabei ist t [16; ] ein technologieabhängiger Parameter. Berechnen Sie, ür welchen Wert von t die Summe der Marktabgaben aller drei Betriebe am größten ist, wenn der Produktionsvektor T x (4t 1t 1t) geplant ist. Hinweis: Es kann davon ausgegangen werden, dass die Marktabgaben der drei Betriebe ür t [16;] nicht negativ sind. (8 BE)