Mathematikaufgaben. Matura Session

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1 Mathematikaufgaben Matura 05. Session Angaben 05. Session 05. Session Problemstellung Ein Telefonanbieter sieht für Auslandgespräche eine Figebühr von 0 Euro monatlich und zusätzlich 0 Cent pro Gesprächsminute vor. Bezeichnen Sie mit die Anzahl der monatlichen Gesprächsminuten, mit f() die monatlichen Gesamtkosten und mit g() die durchschnittlichen Kosten pro Minute:. Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen von f() und g() und stellen Sie die Funktionen grafisch dar. Zeigen Sie, dass g() keine relativen Maima und Minima besitzt und interpretieren Sie den Verlauf der beiden Funktionen im Kontet, den sie beschreiben.. Es sei 0 die Anzahl der Gesprächsminuten, die im laufenden Monat bereits getätigt wurden. Bestimmen Sie, so dass: g( ) g( 0) Zeichnen Sie den Graph der Funktion, die in Abhängigkeit von 0 ausdrückt, und diskutieren Sie seinen Verlauf. Welche Bedeutung hat die vertikale Asymptote?. Der Telefonanbieter hat auf seiner Website folgende Karte veröffentlicht, in der die Abdeckung eines bestimmten Gebietes durch das Telefonsignal dargestellt ist: Die abgedeckte Zone ist begrenzt von der Kurve, die durch die Punkte A(0, ), B(, 7/) und C(4, 4) verläuft, von der -Achse und der y-achse und von der Geraden mit der Gleichung 6. Der mit Z gekennzeichnete Bereich stellt eine vom Signal nicht abgedeckte Zone dar. Bestimmen Sie die Polynomfunktion zweiten Grades, deren Graph durch die drei Punkte A, B und C verläuft. Auf der Website des Anbieters steht folgende Aussage: 96% des in der Karte dargestellten Gebietes sind vom Telefonsignal abgedeckt. Überprüfen Sie, ob dies effektiv zutrifft. 4. Der Anbieter verändert seinen Telefontarif und sieht für alle Gesprächsminuten ab den ersten 500 Minuten einen Aufpreis von 0 Cent pro Minute vor.

2 Bestimmen Sie, wie sich dadurch die Eigenschaften der Funktionen f() und g() verändern, und zwar in Bezug auf die Asymptoten, die Monotonie sowie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimmen Sie eventuelle absolute Maima und Minima der Funktion g() und ihrer Ableitungsfunktion und erklären Sie deren Bedeutung im konkreten Kontet. 05. Session Problemstellung Die differenzierbare Funktion y f() hat für [, ] den Graph Γ, der in der dargestellt ist. Γ weist waagrechte Tangenten für, und auf. Die Flächeninhalte der Bereiche A, B, C und D betragen,, und. Es sei g() eine Stammfunktion von f() mit g() 5.. Würde f() durch eine Polynomfunktion beschrieben, welcher könnte dann deren minimaler Grad sein? Legen Sie Ihre Argumentation dar.. Ermitteln Sie den Wert von [, ], für den g() ein relatives Maimum annimmt und bestimmen Sie die Werte von, für welche g() nach oben konkav ist. + g(). Berechnen Sie g(0) und, falls er eistiert, den Grenzwert lim 0 4. Es sei h() f( + ). Berechnen Sie h()d Session Frage Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion y f(), für die gilt: die Gerade y + 5 ist im zweiten Quadranten Tangente an den Graph von f und f () Session Frage Beweisen Sie, dass für das Volumen des Kegelstumpfes mit den Radien R und r und der Höhe h folgende Formel gilt: V π h (R + r + R r) 05. Session Frage Eine Münze wird sechs Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Mal Kopf erscheint? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Mal Kopf erscheint?

3 05. Session Frage 4 Welche der folgenden Differentialgleichungen hat als Lösung die Funktion y ln() y + y y y + y y + y y + y + y 05. Session Frage 5 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die im Ursprung senkrecht zur Ebene + y z 0 ist. 05. Session Frage 6 Es sei f die durch die Gleichung f() ( ) + ( ) + ( ) + ( 4) + ( 5) für alle reellen Zahlen definierte Funktion. Bestimmen Sie das Minimum von f. 05. Session Frage 7 Einem Kreis C mit Radius r ist ein regelmäßiges n-eck eingeschrieben. Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt des regelmäßigen n-ecks gilt: Berechnen Sie den Grenzwert für n. A(n) n r sin π n 05. Session Frage 8 Die Seiten eines Dreiecks haben die Länge 6 cm, 6 cm und 5 cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein im Inneren des Dreiecks beliebig ausgewählter Punkt von allen Eckpunkten mehr als cm entfernt ist? 05. Session Frage 9 Gegeben ist die Funktion: f() { 0 k + k < Bestimmen Sie den Parameter k so, dass im Intervall [0, ] die Voraussetzungen für den Lehrsatz von Lagrange (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) erfüllt sind, und ermitteln Sie den Punkt, der laut Behauptung des Lehrsatzes eistiert. 05. Session Frage 0 Der Graph der Funktion f() ( R, 0) teilt das Rechteck ABCD mit den Eckpunkten A(, 0), B(4, 0), C(4, ) und D(, ) in zwei Teile. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teile.

4 Lösungen Problemstellung. f() 0 + 0, g() f() 0 + 0, f()/ e 0 /min Interpretation: Beif() steigen die Kosten linear, die Steigung ist 0,. Die Grundgebühr ist der y- Achsenabschnitt. g()/( e/min) /min g () 0 0, daher gibt es kein Etremum. Für wenige Telefonate ( klein) sind die durchschnittlichen Kosten stark von der Grundgebühr und von der Anzahl der Gespräche abhängig. Es dominiert der Term 0. Bei sehr vielen Telefonaten verliert die Grundgebühr an Bedeutung und der Durchschnitt nähert sich dem Wert 0,.. Die Frage lautet: Wie viele Minuten müssen wir telefonieren, damit die durchschnittlichen Kosten pro Minute, die bei 0 Gesprächsminuten anfallen, halbiert werden. g( ) g( 0) ; 0 + 0, 5 + 0, Die Funktion ist auf Grund der Aufgabenstellung nur im Intervall ]0; 00[ definiert. Sie ist dort streng monoton wachsend, hat keine Etrema, keine Nullstellen und ist eine Linkskurve. Der (linksseitige) Grenzwert für 00 ist +, der rechtsseitige Grenzwert für 0 ist 0. 4

5 Aus dem Verlauf sehen wir, dass mit zunehmendem 0 die Dauer wächst. Bei 0 00 ist es gar nicht mehr möglich, den Durchschnitt zu halbieren. Die Kosten für 00 Gesprächsminuten betragen 0 e, also der Durchschnitt 0, e pro Minute. Die Halbierung liefert 0, e pro Minute, was aber durch die Figebühren nicht mehr möglich ist.. Die Punkte, eingesetzt in die Gleichung y a + b + c, liefern y Wir berechnen die Fläche zwischen Parabel und -Achse: f()d, die abgedeckte Fläche ist somit 0,5 (Dreiecksfläche 0,5). 0, 5 Das Verhältnis ist somit 97, 6%. Dies übertrifft sogar die Angabe von 96%. 4. Ab 500 Minuten ist f() 0 + 0, , ( 500) 0, 40 Die Funktionsgleichung lautet also: { 0, + 0 für < 500 f() 0, 40 für f()/ e /min Die Funktion f() ist überall stetig, streng monoton steigend, bei 500 hat sie einen Knick und ist nicht differenzierbar. Das Minimum liegt klarerweise bei 0, dort zahlt man nur die Grundgebühr. Die Funktionsgleichung von g() lautet: 0, + 0 g() 0, 40 für < 500 für 500 5

6 g()/( e/min) /min Die Funktion hat bei 0 eine vertikale Asymptote, die horizontale Asymptote ist nun y 0,. Bis 500 ist die Funktion streng monoton fallend, dann streng monoton steigend. Sie ist für > 0 überall stetig, aber bei 500 nicht differenzierbar. Das absolute Minimum liegt bei 500 und beträgt 0, e/min. Somit sind die durchschnittlichen Kosten pro Minute bei 500 Gesprächsminuten am geringsten. Die Ableitungsfunktion von g() lautet: g ()/0000 g () 0 für < für /min Bei 500 geht g() von einer Linkskurve in eine Rechtskurve über. Daher wechselt g () das Vorzeichen. g () besitzt hier eine Sprungstelle. Durch die Erhöhung der Minutengebühr steigen die durchschnittlichen Kosten pro Minute ab 500 Minuten kontinuierlich an. Problemstellung. Γ hat waagrechte Tangenten. Die entsprechende Ableitungsfunktion muss also mindestens Nullstellen haben und die entsprechende Ableitung der Polynomfunktion vom Grad sein. Also hat die Polynomfunktion selbst mindestens Grad 4.. Eine notwendige Bedingung für ein relatives Maimum ist ein +/ Vorzeichenwechsel der. Ableitung. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass dies nur für 0 der Fall ist. Für eine konkave Krümmung muss die. Ableitung positiv sein. Wir schauen also wo die gezeichnete Kurve eine positive Tangentensteigung hat (. Ableitung). Dies trifft für [ ; ] [; ] zu.. Die Flächen C und D sind bekannt. Berücksichtigt man noch, dass Flächen unter der -Achse negative Werte haben, so ergibt sich für g(0) folgende Gleichung: C + D 0 f()d g() g(0) ( ) + ( ) 5 g(0) g(0) 6

7 Der gesuchte Grenzwert hat damit die unbestimmte Form 0 0 und da die Funktionen im Zähler und im Nenner stetig und differenzierbar sind, kann mit der Regel von de L Hospital der Grenzwert berechnet werden: + g() g () lim lim g (0) f(0) Das gesuchte Integral kann durch Substitution gelöst werden, wobei auch die neuen Grenzen berechnet werden müssen. h()d z + dz f( + )d d d dz z( ) ; z() f(z) dz (A + B + C + D) [( ) + + ( ) + ( )] 9 Frage Für die gesuchte Funktion gilt: f() ( + 6)d C. Aus f () folgt + 6, also ±. Da y + 5 die Tangente im. Quadranten ist, folgt:. Aus der Tangentengleichung erhält man schließlich y 9 und damit einen Punkt der Funktion f. So kann C durch die Gleichung 9 ( )8 + 6 ( ) + C ermittelt werden. Man erhält:. f() Frage Wegen des Strahlensatzes gilt: H h R H r H h R(H h) Hr RH Rh Hr H(R r) Rh H Rh R r H h h r R 7

8 V Kegelstumpf V großer Kegel V kleiner Kegel R π H r π (H h) π ( ( )) R Rh Rh R r r R r h hπ ( R Rr + (R r)r ) (R r) hπ ( R r ) (R r) hπ ( R + Rr + r ) Die letzte Division kann man auch geschickt umgehen: V Kegelstumpf R π H r π (H h) π (R r ) H + π r h π (R + r) (R Rh r) R r + π r h hπ (R + Rr + r ) (Alternativer Lösungsweg: mit Hilfe der Integralrechnung) Frage Binomialverteilung mit n 6, p und q p. P (X ) P (X 0) + P (X ) + P (X ) ( ( 6 0) 0 ( ) 6 ( ) + 6 ( ) ( ) 5 ( ) + 6 ( ) ( ) 4 ) ( ) 6 ( ) 6 0, 4 P (X ) P (X ) P (X 0) P (X ) , 89 Frage 4 Ableiten ergibt: y ln() und y ln(). Setzt man diese Ausdrücke in den 4 Gleichungen ein, so ergeben sich für die Gleichungen bis nicht allgemeingültige Aussagen, hingegen für die Gleichung 4: ln() + ln() + ln() ln() + ln() + ln() ln() ln() Frage 5 Aus den Koeffizienten der Ebenengleichung ergibt sich der Normalvektor n. Die Gleichung der Geraden im Raum kann in Parameterform angegeben werden. Der Richtungsvektor der Geraden ist dabei gleich dem Normalvektor der Ebene. Die Gerade durch den Ursprung hat die Gleichung r t. 8

9 Frage 6 Aus der notwendigen Bedingung für Etremwerte f () 0 ergibt sich die Gleichung ( ) + ( ) + ( ) + ( 4) + ( 5) 0 bzw mit der einzigen Lösung. Da f () 0 > 0 ist, handelt es sich an der Stelle um ein Minimum. Mit f() 0, ist der Punkt ( 0) das gesuchte Minimum. Frage 7 Das eingeschriebene regelmäßige n-eck besteht aus n gleichschenkligen Dreiecken mit r als Schenkeln. Die Spitzen dieser Dreiecke liegen im Kreismittelpunkt. Wenn wir den Winkel an der Spitze mit α bezeichnen, dann ergibt also n α π (voller Winkel), daher ist α π n. π n r C Für ein allgemeines Dreieck gilt A c h c c b sin(α), da h c b sin(α) ist. Somit ist die Fläche des regelmäßigen n-ecks gleich A n r sin ( ) π n A α b c h c B Der Grenzwert lässt sich wie folgt berechnen: Wobei π n n lim n r sin π n lim n r π n π sin π n sin r π lim 0 gesetzt wurde und 0 für n geht. Mit dem bekannten Grenzwert lim 0 sin ergibt sich als Grenzfall für n die Fläche des Kreises r π. Frage 8 Die Gesamtfläche A des Dreiecks ergibt sich mit Pythagoras (Höhe 6, 5 ) oder mit der Heronschen Flächenformel A a + b + c s(s a)(s b)(s c) mit s, also A 5 9 4, 64 Die Winkel des Dreiecks könnten mit dem Kosinussatz berechnet werden. Dies ist aber nicht notwendig, weil die Winkelsumme im Dreieck 80 ergibt und somit die Kreissektoren gemeinsam einen Halbkreis mit der Fläche π π ergeben. Damit der Punkt die Eigenschaft erfüllt, muss er im Bereich G landen, somit ergibt sich für diese Laplace-Wahrscheinlichkeit: G C A günstige Fälle P mögliche Fälle G A A π 0, 54 54% A A A A B 9

10 Frage 9 Die Voraussetzung für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine im geschlossenen Intervall stetige und im offenen Intervall differenzierbare Funktion. An der Stelle ist f immer stetig, da lim f() lim f() + gilt. Aus der Bedingung für die Differenzierbarkeit lässt sich k berechnen: lim f () lim f () + k (für ) k k Aus der allgemeinen Formel für den MWS der Differentialgleichung f () und b nun f () 5. f(b) f(a) b a ergibt sich für a 0 Gesucht sind also alle Lösungen f () 5 im Intervall [0; ]. Im linken Intervall ergibt sich die Gleichung 5 5 mit der Lösung 6 0, 9. Im Intervall [; ] liefert die Gleichung + 5 keine Lösung zwischen und. ( ) Damit ergibt sich mit f 5 6 ( 5 6) der gesuchte Punkt ( ) P ; (0.9, 0.76) 6 Graphische Interpretation: Die Sekantensteigung ist gleich der Tangentensteigung an der gesuchten Stelle. 5 B 4 0. A (0.9, 0.76) Frage 0 Die Teilfläche A ergibt sich als Integral A 4 d [ ] 4 4 D A C Die Teilfläche A als Differenz der Rechtecksfläche und A, also A Damit ergibt sich das Verhältnis: A A A A B 4 5 Bearbeitet von Baldauf Johann (Realgymnasium Brien), Überbacher Klaus und Trojer Ale (RG Meran) Aufgaben und Lösungen sind unter http: // www. rg-me. it abrufbar. 0