Klasse11 Übungsblatt1 zu: Geraden, Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen

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1 Klasse Übungsblatt zu: Geraden, Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A und B und die Zahl m a) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch A und B b) Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden h mit der Steigung c) Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g und h d) Bestimme die Gleichung der Parallelen zu h durch A e) Bestimme die Gleichung der Senkrechten zu h durch B f) Überprüfe, ob einer der beiden Punkte C und D 7 auf g liegt g) Bestimme die Gleichung der Parallelen zur -Achse durch A h) Bestimme die Gleichung der Parallelen zur y-achse durch A i) Erläutere, warum eine Parallele zur y-achse nicht Graph einer (linearen) Funktion ist Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f { } ( ) a) Bestimme die Steigungen der Sekanten zu G f durch P f und P f für i) und { ;, 9;, 99; ;, ;, } ii) und ;, ;, ; ;, 9;, 99 b) Bestimme die Steigung von G f an der Stelle und an der Stelle c) Bestimme die Gleichung der Tangenten an G f an den Stellen und Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR; f und IR beliebig a) Bestimme die Steigung m ( ) der Sekanten zu G f durch P f ( ) und P ( f ) b) Bestimme die Steigung f ' von G f an der Stelle c) Welche Steigung hat G f an den Stellen, und? d) Bestimme diejenigen Stellen, an denen G f die Steigung 5 bzw besitzt e) Bestimme die Gleichung der Tangenten an G f an den Stellen und Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR; f a b c mit a, b, c IR und a a) Bestimme die Steigung m der Sekanten zu G f durch P f und P f b) Bestimme die Steigung f ' von G f an der Stelle c) Welche Steigung hat G f an der Stelle? d) Bestimme diejenige Stelle, an der G f die Steigung besitzt e) Bestimme die Gleichung der Tangente an G f an der Stelle f) Bestimme die Gleichung derjenigen Tangente an G f, die parallel zur Winkelhalbierenden ist

2 Klasse Übungsblatt zu: Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen Aufgabe: Bestimme durch eine Grenzwertuntersuchung des Sekantenanstieges m, die Steigung f ' ( ) des Graphen G f an einer beliebigen Stelle ID für die Funktionen a) f b) f c) f a d) f a b e) f f) f a mit a IR für g) f h) f i) f für < Aufgabe: Bestimme die Steigung von G f an den angegebenen Stellen 7 { } a) f und,,,,,, 5 { 5 5 } b) f und,,,,,, { } c) f 8 und,,,, { } 9 6 d) f und,,,,, 5,,,, 5 6 Aufgabe: Bestimme alle Punkte von G f, in denen G f die angegebene Steigung m besitzt a) f ; m b) f ; m, 5 c) f ; m ; d) f ; m 9 e) f ; m f) f a b c ; m ; g) f a b c d; m c h) f a ; m a i) f a ; m a ; j) f a ; m Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normale an G f an den angegebenen Stellen und fertige eine Skizze an a) f ; ; ; b) f ; ; ; c) f ; ; ;

3 Klasse Übungsblatt zu: Steigung von Graphen,Tangenten,Normalen,Schnittwinkel Aufgabe:Bestimme für die folgenden Funktionen die Schnittstellen mit der Achse, die Punkte mit waagerechter Tangente und die Grenzwerte von f () für ± und skizziere G a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f ) f () Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Tangenten von P aus an G ( ) a) f () und P b) f () und P c) f () und P ( ) ) f () und P ( ) f ) f () und P ( ) d) f () und P e f f und die Berührpunkte a Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f :IR \ { } IR ; a f (), wobei a IR \ { } ist a) Bestimme den Anstieg von G an einer gegebenen Stelle ID IR \ b) Bestimme die Gleichung der Tangente an G an der Stelle { } f c) Bestimme die Konstante a so,dass die Tangente an G an der Stelle durch P geht Aufgabe: Gegeben sind die Funktionen f :IR \ IR ; a f () und g:ir \ IR ; a g a) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel der beiden Funktionsgraphen b) Bestimme die Schnittwinkel zwischen G und der Winkelhalbierenden f c) Unter welchem Winkel schneidet die Normale zu G an der Stelle die Tangente an G an der Stelle? { } Aufgabe5: Gegeben ist die Funktion f :IR IR ; a f () und die Geradenschar g : y a a a) Welche der Geraden g ist Tangente an G? Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes a f b) Welche der Geraden g ist Normale zu G? Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Normalen mit G a f Aufgabe6: a) Bestimme die Gleichungen der beiden Tangenten, die vom Punkt P f f g f { } ( ) Graph der Funktion f :IR IR ; a f () gelegt werden können b) Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten aus a)? c) Unter welchem Winkel schneidet G die Winkelhalbierende? f aus an den f

4 Klasse Übungsblatt zu: Steigung von Graphen,Tangenten,Normalen,Schnittwinkel Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR; fa a mit a IR \ { } und die Funktion h: IR IR ; h a) Zeige: Es gibt in der gegebenen Schar keine Funktion, deren Graph den Graph G h berührt b) Bestimme diejenige Funktion fa, deren Graph senkrecht auf G h steht Aufgabe: Berechne die Schnittwinkel der Graphen der Funktionen f : IR IR ; f und h: IR IR ; h Aufgabe: Der Graph einer Polynomfunktion Grades geht mit waagerechter Tangente durch den Ursprung und schneidet die Achse an der Stelle mit der Steigung Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe: Der Graph einer Polynomfunktion Grades berührt die Winkelhalbierende im Ur sprung und schneidet sie ein zweites Mal an der Stelle senkrecht Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe5: a) Bestimme eine Polynomfunktion Grades, deren Graph die Winkelhalbierende im Ursprung berührt und die Achse an der Stelle berührt b) Bestimme für die Funktion f : IR IR ; f die Schnittstellen mit der 9 Achse, die Punkte mit waagerechter Tangente und die Grenzwerte für ± und skizziere den Funktionsgraph c) Bestimme für die Funktion f aus b) Schnittpunkte und Schnittwinkel ihres Graphen mit dem Graph der Funktion g: IR IR ; g Aufgabe6: Der Graph einer Polynomfunktion Grades schneidet die Achse an der Stelle, ( ) ( 5) schneidet die y Achse in A mit der Steigung und geht dann durch B Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe7: An welcher Stelle besitzt der Graph der Funktion f : IR IR ; f eine Tangente, die parallel zur Tangente an der Stelle ist? Aufgabe8: Bestimme die Gleichung der Tangenten an G f mit der angegebenen Steigung m und gib die Koordinaten der Berührpunkte an a) f ; m b) f ; m c) f ; m Aufgabe9: Welche Normale der Funktion f : IR IR ; f geht durch P ( )? Aufgabe : Gegeben ist die Parabelschar fa : IR IR ; fa a a mit a und die Gerade h: IR IR ; h IR a) Zeige, dass jede der Parabe ln die Gerade h mindestens einmal schneidet und dass alle Para beln und h einen gemeinsamen Punkt S haben Bestimme diesen Punkt S b) Bestimme diejenigen Parabe ln, welche h in S unter einem Winkel vom Maß 5 schneiden

5 Klasse Übungsblatt5 zu: Steigung von Graphen,Tangenten,Normalen,Schnittwinkel Aufgabe: Gegeben ist die Parabelschar fa : IR IR ; fa a mit a IR Welche Parabel der Schar besitzt die Gerade durch die Punkte A ( ) und B( ) a) als Normale, b) als Tangente? Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f: IR IR; f a) Bestimme die Schnittstellen von G f mit der -Achse b) Bestimme die Punkte, in denen G f eine waagerechte Tangente besitzt c) Bestimme die Grenzwerte von f für ± d) Skizziere G f Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f: IR IR; f a) Bestimme die Schnittstellen von G f mit der -Achse b) Bestimme die Punkte, in denen G f eine waagerechte Tangente besitzt c) Bestimme die Grenzwerte von f für ± d) Skizziere G f 5 Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f: IR IR; f a) Bestimme die Gleichung der Normalen zu G f im Kurvenpunkt mit der Abszisse b) Bestimme die Gleichung(en) der Tangente(n), die man von O( ) aus an G f legen kann c) Bestimme den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zwischen G f und dem Graph der Funktion h: IR IR; h Aufgabe5: Bestimme die Gleichung der Polynomfunktion vom Grad, deren Graph mit dem Anstieg - durch den Ursprung geht und im Punkt P( ) eine waagerechte Tangente besitzt Aufgabe6: Bestimme die Gleichung der Polynomfunktion vom Grad, deren Graph die y-achse im Punkt A( -) mit waagerechter Tangente schneidet und die -Achse an der Stelle - mit der Steigung - schneidet Aufgabe7: Eine ganzrationale Funktion f vom Grad ist symmetrisch zur y-achseihr Graph schneidet die -Achse bei und geht mit waagerechter Tangente durch den Punkt P( )Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe8: Gegeben sin d die Funktionen f: IR IR ; f a und h: IR IR; h a mit a IR Bestimme a so, dass sich G f und G h unter einem Winkel vom Maß 6 schneiden Aufgabe9: Für eine Polynomfunktion f vom Grad gilt: G f und G f ' berühren sich an der Stelle und es ist f( ) f '( ) Bestimme die Funktionsgleichung

6 Klasse Übungsblatt 6 zu: Grenzwerte Aufgabe: Bestimme mit Hilfe der Definition des Grenzwertbegriffes den Grenzwert der folgenden Funktionen an der jeweils angegebenen Stelle a) f ; b) f ; c) f ; 6, d) f ; e) f 5 5 ; f) f ; 6 a g) f ; h) f ; a i) f ; a 6 Aufgabe : Skizziere die Graphen der Funktionen aus Aufgabe a-f und erläutere die Bedeutung des Grenzwertbegriffes durch eine geometrische Konstruktion, in der für ε das laut Definition eistierende δ konstruiert wird Aufgabe: Skizziere den Graph der folgenden Funktionen und erläutere mit Hilfe des Graphen, warum der Grenzwert dieser Funktionen für gegen die angegebene Stelle nicht eistiert für a) f : IR IR ; f bei für < b) f : IR IR ; f für < für für > bei c) f : IR \ { } IR ; f bei Aufgabe : Berechne mit Hilfe des Grenzwertsatzes die folgenden Grenzwerte: 6 5 a a) lim [ 7] b) lim c) lim a a 6 6 a d) lim e) lim Erweitere hier f in geeigneter Weise a a 5 f) lim g) lim h) lim für < für Aufgabe 5: Gegeben sind f, g: IR IR mit f für und g für < a) Erläutere mit Hilfe der Graphen, dass die Grenzwerte von f und g bei nicht eistieren b) Untersuche, ob der Grenzwert für von f g und f g eistiert c) Äußere dich unter Benutzung von a) und b) zur Umkehrbarkeit des Grenzwertsatzes Klasse Übungsblatt 7 zu: Grenzwerte

7 [ ( ) ] Aufgabe: ( a) Gib ein Beispiel für Funktionen f und g an, für die gilt: es eistiert lim f g und lim f bzw lim g eistieren nicht f b Gib ein Beispiel für Funktionen f und g an für die gilt es eistiert g, : lim und lim f bzw lim g eistieren nicht Aufgabe : Zeichne den Graph der Funktion f Untersuche an Hand des Graphen, ob die Funktion einen ( evtl einseitigen) Grenzwert für besitzt, und gib diesen gegebenenfalls an ] ] { } a) f : IR ; f ; ; ; ; ; ; für ] 5[ { 5 6} b) f : IR ; f für ; ; ; ; ; ; ; für < c) f : IR IR ; f für < ; ; ; ; ; für { } { } d) f : IR \ IR ; f ; ; ; ; ; { } für e) f : IR IR ; f { } für ; ; ; < Aufgabe : Bestimme mit Hilfe der Definition des Grenzwertbegriffes den Grenzwert der folgen - den Funktionen an der jeweils angegebenen Stelle a) f 5 ; b) f ; 8 c) f ; d) f für ; für e) f ; f) f ; Aufgabe : Skizziere G f und begründe, dass die angegebene Zahl a nicht Grenzwert von f für ist a) f : IR \ { } IR ; f mit und a { für > b) f : IR \ { } IR ; f für mit und a Klasse Übungsblatt 8 zu: Grenzwerte

8 Aufgabe: Gegeben sin d ein Funktionsgraph G f, eine Zahl a, eine Zahl und eine ε Umgebung von a Konstruiere eine d Umgebung von, so dass für alle U d ( ) gilt: f U ( a) ε Entscheide, ob diese Konstruktion auch für jedes andere ε ΙR durch führbar ist Aufgabe : Bestimme die folgenden Grenzwerte, indem du den Funktionsterm in geeigneter Weise vere inf achst Führe den Nachweis mit Hilfe der ε d Definition 6 a) lim b) lim c) lim Aufgabe : a) Berechne mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises den Inhalt A R, r eines Kreisringes mit äußerem Radius R und innerem Radius r Berechne dann A ( R, r) lim und int erpretiere diesen Grenzwert geometrisch r R R r b) Berechne mit Hilfe der Formel für den Rauminhalt einer Kugel den Raumin halt V R, r einer Hohlkugel mit äußerem Radius R und innerem Radius r Berechne dann V ( R, r) lim und int erpretiere diesen Grenzwert geometrisch r R R r Aufgabe : Berechne die folgenden Grenzwerte nach dem Grenzwertsatz und gib bei jedem Schritt den jeweils benutzten Teil des Grenzwertsatzes an a) lim b) lim 6 5 c) lim 5 d) lim 9 Klasse Übungsblatt 9 zu: Grenzwerte

9 Aufgabe: Berechne die folgenden Grenzwerte nach dem Grenzwertsatz und gib bei jedem Schritt den jeweils benutzten Teil des Grenzwertsatzes an 5 7 ( ) ( ) a) lim b) lim c) lim d) lim a ( ) ( ) e) lim a b c d f) lim 8 [ ] g [ ( ) 5 ) lim ] h) lim i) lim ( ) j) lim Aufgabe : Berechne die folg enden Grenzwerte a b a) lim b) lim c) lim d) lim 6 c a ab a e) lim f) lim g) lim h) lim b b a a i) lim j) lim k) lim l) lim 5 m) lim n) lim a b o) lim [ 7 9] 7 p) lim a b c q) lim r) lim [ 5 ] [ ] s) lim t) lim 9 9 u) lim v) lim 5 8 Aufgabe : Gegeben sin d die Funktionen f : IR IR ; f und g: IR IR; g sin und h: IR IR ; h a) Zeige: f g h für alle IR b) Zeige: Es eistiert lim g und es ist lim g ( ) Klasse Übungsblatt zu: Grenzwerte

10 Aufgabe: Berechne die einseitigen Grenzwerte von f für, untersuche, ob an der Stelle der beidseitige Grenzwert eistiert und skizziere G f für für > a) f ; b f für 5 für ) ; < für < für < c) f d f ( ) ; für ) für 8 für > ; für < für e) f ; f) f für ; ( ) 6 für > für > Aufgabe : Überprüfe, für welchen Wert der Konstanten t IR die Funktion f an der Stelle einen Grenzwert hat und gib diesen Grenzwert an a) f t für < t für t für ; b) f ; > für t 8t für > c) f ; ( t ) für Aufgabe : Gegeben ist f : IR IR ; f a mit a IR \ { } und IR a) Berechne den Sekantenanstieg m, b) Zeige mit Hilfe der Grenzwertdefinition : lim m, a c) Bestimme die Gleichung der Tangente an G f an der Stelle ( ) d) Für welche Werte von a gibt es zwei ( keine) Tangenten von P aus an G f? e) An welcher Stelle hat G f die Steigung 8? Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar f : IR IR ; f t 8 mit t IR \ { } a) Für welche Funktion ft besitzt der Graph eine waagerechte Tangente bei? b) Welche Graphen G f t besitzen zwei ( genau eine, keine ) waagerechte Tangenten? c) Zeige: Je zwei Funktionsgraphen aus der Schar berühren sich im Ursprung und haben sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte d) Unter welchem Winkel schneiden die Graphen G f t die Achse bei? Klasse Übungsblatt zu: Grenzwerte t t

11 Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f und IR beliebig ' a) Bestimme lim f und f b) Zeige: G f besitzt keine waagerechte Tangente c) Welche Steigung besitzt G f an der Stelle? d) Berechne dieschnittpunkte und die Schnittwinkel zwischen G f und dem Graph der Funktion h: IR IR ; h für Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f für > a) Überprüfe, ob lim f eistiert, und skizziere G f b) Überprüfe, ob f ' eistiert c) An welchen Stellen besitzt G f den Anstieg 5,? Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR ; fa a für mit a a für > a) Zeige: Jede der Scharfunktionen besitzt einen Grenzwert für Bestimme diesen Grenzwert b) Bestimme diejenige Scharfunktion, deren Graph bei eine Steigung besitzt Bestimme diese Steigung für Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f für > a) Überprüfe, ob lim f und f ' eistieren b) Bestimme f ' für > und für < c) An welchen Stellen besitzt G f eine waagerechte Tangente? d) Überprüfe, ob G f an einer Stelle eine Tangente besitzt, die parallel zur Tangente an der Stelle ist e) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel zwischen G f und der Geraden g: y Aufgabe 5: Bestimme die Konstante a so, dass die angegebene Forderung erfüllt ist a a) lim eistiert ( Bestimme diesen Grenzwert) b a eistiert nicht c a ) lim ) lim a a Klasse Übungsblatt zu: Differentialgeometrische Aufgaben,Grenzwerte

12 Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR ; fa a mit a IR a) Bestimme für eine beliebige Stelle IR die Steigung f ' b) Welche Funktionen der Schar besitzen zwei ( genau eine, keine) waagerechte Tangenten? Bestimme gegebenenfalls die Berührpunkte c) Bestimme mit den erforderlichen Fallunterscheidungen die Schnittpunkte von G f a mit der Winkelhalbierenden d) Gibt es Scharfunktionen, deren Graph die Winkelhalbierende berührt? Bestimme diese e) Gibt es Scharfunktionen, deren Graph die Winkelhalbierende senkrecht schneidet? Bestimme diese f) Bestimme die Schnittpunkte und Schnittwinkel von G f mit der Winkelhalbierenden g) Zeige : In einem vom Ursprung verschiedenen Schnittpunkt von G f mit der Winkelhal a bierenden ist das Maß des Schnittwinkels kleiner als 5 h) Zeige : Die Graphen je zweier Scharfunktionen haben genau einen Schnittpunkt S und dieser ist allen Graphen gemeinsam i) Zeige : Zu jeder Scharfunktion fa mit a gibt es genau eine Scharfunktion fb, deren Graph in S auf dem Graph von fa senkrecht steht Bestimme fb für ein gegebenes fa j) Bestimme diejenige Scharfunktion fa, deren Graph den Graph von f in S unter einem Winkel vom Maß 5 schneidet k) Zeige : Zu jeder Scharfunktion fa mit a { ; } gibt es genau zwei Scharfunktonen, deren Graph den Graph von fa in S unter einem Winkel vom Maß 5 schneiden Aufgabe : Gib lim f für die folgenden Funktionen an: fi { ; ; ; ; } mit i i Aufgabe a b a : a) Beweise mit Hilfe des Grenzwertsatzes : lim ± c d c falls c ist b) Gib eine Linie an, welcher sich der Graph von folgenden Funktionen für ± annähert : ( i) f ( ii) f ( iii) f ( iv) f ( v) f ( vi) f 7 ( vii) f 5 Aufgabe : Berechne die folgenden Grenzwerte: 5 b c d 6 a) lim 7 b) lim c) lim d) lim ± ± 5 ± ± 8 5 e) lim f) lim g) ± ± a b 9 8 lim h) lim ± c d ± 5 6 a i) lim j) lim ± ± mit a Klasse Übungsblatt zu: Grenzwerte

13 { } Aufgabe: Der Graph der gebrochenrationalen Funktion f : IR \ IR ; f b mit b soll die Achse an der Stelle schneiden und sich für ± der Geraden mit der Gleichung y annähern Bestimme a und b und skizziere G f Aufgabe : Gib folgende uneigentliche Grenzwerte an: 5 [ 5 ] [ 6 6] [ ] a) lim b) lim c) lim 7 5 d) lim e 5 ) lim 5 f ) lim Aufgabe : Berechne die uneigentlichen einseitigen Grenzwerte von f an den Definitionslücken [ ] [ ] [ ] 5 a) f b) f c) f ( ) 7 5 d) f e) f f) f ( ) 5 5 Aufgabe : Berechne die uneigentlichen einseitigen Grenzwerte von f an den Definitionslücken und skizziere G f 5 a) f b) f c) f d) f e) f f) f ( ) Aufgabe 5: Berechne die folgenden ( evtl uneigentlichen ) ein oder beidseitigen Grenzwerte: a b a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim i) lim j) lim k) lim l) lim m) lim n) lim o) lim Klasse Übungsblatt zu: Differenzierbarkeit

14 Aufgabe: Bestimme für die folgenden Funktionen die Ableitung an der angegebenen Stelle, indem du den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmst a) f ; IR \ { } beliebig b) h ; IR beliebig Aufgabe : a) Bestimme für die Funktionen aus Aufgabe die Gleichung der Tangente bei b) Bestimme für die Funktionen aus Aufgabe die Gleichung der Normale bei c) Bestimme für die beiden Funktionen aus Aufgabe Schnittpunkte und Schnittwinkel von G f und G h Aufgabe : a) Untersuche die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit an der jeweils an angegebenen Stelle für für < i) f ; ii f für für ) ; > iii) f für für > ; b) Skizziere die Graphen der Funktionen aus a) und veranschauliche die Ergebnisse aus a) Aufgabe : Pr üfe durch eine einseitige Grenzwertuntersuchung, ob zu den beiden Funktionen f : IR IR ; f und f : IR IR ; f bei eine ( einseitige) eigentliche oder uneigentliche Ableitung eistiert Aufgabe 5: a) Es sei die Funktion j : j in einer Umgebung von definiert und in stetig Beweise, dass die Funktion f : j an der Stelle differenzierbar ist b) Begründe, dass die Voraussetzung " j ist stetig in " sogar noch abgeschwächt werden kann Aufgabe 6: Die Bewegung eines Fahrzeuges erfo lg t im Zeit intervall [ s 6s] nach der Weg 5 Zeit Funktion f :[ 6] IR ; t f( t) t, wobei t in Sekunden [ s], f( t) in 8 5 m Metern [ m] und der Beschleunigungsfaktor in zu messen ist 8 s a) Welche Momentangeschwindigkeit v( ) ergibt sich s nach Beginn dieser Bewegung? b) Welche Momentangeschwindigkeit v( 6) hat der Wagen nach 6s? m c) Nach welcher Zeit hat der Wagen die Geschwindigkeit erreicht? s Aufgabe 7: Gegeben ist eine Funktion f : IR IR ; f, für die gilt: f für alle IR a) Zeige : f( ) b) Zeige: f ist an der Stelle differenzierbar und es ist f '( ) Hinweis: Gib eine Abschätzung des Differenzenquotienten von f für die Fälle < und > an und bestimme damit die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten c) Skizziere die in a) und b) d arg estellte Situation Klasse Übungsblatt 5 zu: Differenzierbarkeit

15 [ ] Aufgabe: Veral lg emeinerung von Aufgabe 7 auf Blatt : Es sei P y ein Berührpunkt zweier in differenzierbarer Funktionen g: IR IR und h: IR IR und es sei sei f : IR IR eine weitere Funktion Weiter gelte: g f h für alle IR a) Zeige: f g h b) Zeige: f ist differenzierbar an der Stelle und es ist f ' g' h' c) Skizziere die in a) und b) beschriebene Situation Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f a) Zeige, dass für beliebige a, b IR gilt: die Sekante durch die Punkte A a f( a) G f und a b B( b f( b) ) G f ist parallel zur Tangente an der Stelle b) Gib mit Hilfe des Ergebnisses aus a) ein geometrisches Konstruktionsverfahren für die Tangente in einem gegebenen Punkt T G f an Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar ga : IR IR ; ga a und die Funktion f : IR IR ; f a) Zeige, dass jede der Scharfuntionen ga mit f mindestens eine und höchstens zwei Schnitt stellen hat b) Zeige, dass jede der Scharfuntionen ga an mindestens einer und höchstens zwei Stellen eine Tangente besitzt, die parallel zur Tangente an G f an der selben Stelle ist c) Zeige, dass die Graphen aller Scharfunktionen ga einen gemeinsamen Punkt haben und dass dieser Punkt auch auf G f liegt und dass sich in diesem Punkt alle Graphen berühren d) Zeige, dass es außer dem Punkt aus c) keinen Punkt gibt, in dem G f einen der Graphen Gg a berührt Aufgabe : Der Graph einer Polynomfunktion Grades geht den Ursprung und durch P ( ) und hat in P eine waagerechte Tangente Außerdem schneidet die Tangente im Ur sprung die Achse unter einem Winkel vom Maß 5 Bestimme die Funktions gleichung Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f a) Zeige, dass es keine Punkte auf G f gibt, in denen die Tangente eine negative Steigung hat b) Bestimme alle Punkte von G f, in denen die Tangente parallel zur Winkelhalbierenden ist Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f ( ) a) Bestimme die Gleichung der Tangente, die man vom Punkt A aus an G f legen kann b) Zeige, dass man von jedem Punkt der y Achse aus genau eine Tangente an G f legen kann Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f Bestimme den Inhalt des Dreiecks, das die Normale im Punkt P[ f] mit den Koordinatenachsen bildet Klasse Übungsblatt 6 zu: Differenzierbarkeit

16 Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a mit a IR a) Bestimme diejenige Funktion fa, für welche die Tangente an der Stelle durch O( ) geht b) Gib die Gleichung der Normalen zu G f an der Stelle an a c) Für welche Funktionen fa bilden Tangente und Normale an der Stelle mit der y Achse 5 ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge? [ Lösungen] Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f 7 und die Gerade g: y a) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel zwischen G f und g b) Bestimme die Gleichungen der Tangenten an G f in den Schnittpunkten mit g c) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel zwischen G f und der Achse Aufgabe : Gegeben ist die Polynomfunktion f : IR IR ; f a b c d Welche Bedingung müssen die Koeffizienten a, b, c und d erfüllen, damit G f keine waagerechten Tangenten besitzt? Aufgabe : Untersuche die Differenzierbarkeit von f : IR IR ; f in IR Aufgabe 5( senkrechter Wurf nach oben): Wird aus der Höhe h über dem Erdboden ein Stein unter Vernachlässigung des Luftwiders tandes mit der Anfangsgeschwindigkeit v senkrecht nach oben geworfen, so wird diese Bewegung durch die Weg Zeit Funktion g m s: ID IR ; t s( t) h v t t beschrieben Dabei ist g 9, 8 die Erdbeschleu sec nigung a) Gib die physikalisch sin nvolle Definitionsmenge ID an b) Welche Momentan geschwindigkeit hat der Stein zur Zeit t ID? c) Zu welcher Zeit t hat der Stein die Geschwindigkeit? d) Berechne die maimale Steighöhe e) Nach welcher Zeit erreicht der Stein wieder seinen Startpunkt? Welche Geschwindigkeit hat er dann? f) Welche Geschwindigkeit hat der Stein beim Auftreffen auf den Erdboden? g) Formuliere die Ergebnisse aus a) f) auch für den Spezialfall " h " Aufgabe 6( Boyle Mariottesches Gesetz): Der Druck p einer abgeschlossenen Gasmenge ist bei konstan t gehaltener Temperatur T eine Funktion des Gasvolumens V Diese Funktion C ist p: ID IR; V p( V), wobei C eine Konstante ist Da das Gesetz nur für sogenannte V ideale Gase gilt, muss V als genügend groß vorausgesetzt werden Bestimme die Ableitungsfunktion p' p'( V) und deute sie physikalisch Was bedeutet insbe sondere das negative Vorzeichen im Ableitungsterm? Aufgabe 7: Gesucht ist eine Polynomfunktion f mit [ f '] f und f '( ) Hinweis: Zeige zuerst, dass f den Grad haben muss Aufgabe 8: Gesucht ist eine Polynomfunktion f mit f ' f '' 8 f und f ( ) 7 Hinweis: Zeige zuerst, dass f den Grad haben muss Klasse Übungsblatt 7 : Gesamtkunstwerk

17 Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR \ { } IR ; f a) Bestimme lim f und lim f b) Bestimme lim f und lim f { } c) Bestimme f ' für ein beliebiges IR \ d) Bestimme alle Punkte, in denen G f eine waagerechte Tangente besitzt e) Bestimme lim f ' ± f) Begründe, dass sich G f für ± beliebig gut der Winkelhalbierenden annähert und entscheide, ob diese Annäherung für bzw für von oben oder unten geschieht g) Skizziere G f h) Überprüfe, ob man vom Ursprung aus Tangenten an G f legen kann i) Zeige: Von jedem Punkt P( a) auf der y Achse mit a kann man genau eine Tangente an G f legen j) Bestimme die Gleichung der Tangente aus i) k) Zeige: Von jedem Punkt P( a ) auf der Achse mit a kann man genau zwei Tangen ten an G f legen l) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel zwischen G f und der Geraden h: y m) Für welche Werte von m eistieren Schnittpunkte von G f mit der Geraden hm: y m? n) Es sei jetzt m > Bestimme diejenigen Geraden hm, welche G f unter einem Winkel vom Maß 5 schneiden o) Bestimme die Gleichung der Tangente an G f im Kurvenpunkt mit der Abszisse 5 p) Bestimme die Gleichung der Normalen zu G f im Kurvenpunkt mit der Ordinate q) Welche der Geraden hm aus n) steht senkrecht auf G f? r) Welche Gerade durch Q( ) ist eine Normale für G f? s) Bestimme für ein beliebiges IR \ { } die Gleichung der Tangente an G an der Stelle t) Gib mit Hilfe des y Achsenabschnittes der Tangente aus s) ein einfaches geometrisches Verfahren zur Konstruktion der Tangente in einem gegebenen Punkt P [ f ( ) ] G f an Beachte dabei, dass f ist und benutze die Winkelhalbierende als Hilfslinie u Zeige dass für alle IR { } ), \ gilt: f f ( ) Klasse Übungsblatt 8 : Anwendung der Ableitungsregeln f

18 Aufgabe: Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : ID ma IR 6 5 a) f b) 6 c) d) f e) f a b c f) p a 5 g) f n n 5 h) f ( n IN) i) f 7 j) 6 Aufgabe : Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : IR IR und zeichne G f und G f ' in einem Koordinatensystem a) f b) f Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f [ f ] a) Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normale im Punkt P b) Zeige, dass G f die Winkelhalbierende w in einem Punkt B berührt und in einem weiteren Punkt A schneidet Bestimme A und B c) Berechne den Schnittwinkel zwischen G f und w in A Aufgabe : Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : ID ma IR a) f b) f, 75 c) f d) f( t) 5t t e) f 5 f) f g) f 5 h) f a b i) f j) f n 7 ( 6) k) f l) f m) f n) f o) f 6 p) f [ ] q) f r) f( z) z z s) f( t) t Aufgabe : Beweise : Sind f : ID IR und g: ID IR und h: ID IR Funktionen, die an der Stelle ID differenzierbar sind dann ist auch die Produktfunktion f g h in differenzierbar und es ist ' ( f g h) ( ) f ' ( ) g ( ) h ( ) f ( ) g' ( ) h ( ) f ( ) g ( ) h' ( ) Aufgabe 5: Der Graph einer Polynomfunktion Grades geht mit der Steigung durch P, 5 [ ] und außerdem durch Q Bestimme die Funktionsgleichung [ ] Klasse Übungsblatt 9 : Anwendung der Ableitungsregeln

19 Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f a mit a IR Bestimme die Gleichung der Tangente an G f an der Stelle Aufgabe : Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : ID ma IR a) f b) f c) f d) f 5 e) f a f) f g) f h) f 6 i) f 5 6 j) f k) f l) f a b m) f a n) f o) f p) f a t t 5 q) f( z) r) f( t) s) f z z t t Aufgabe : Bestimme die Steigung von G f an der angegebenen Stelle a) f ; b) f ; c) f ; d f ) ; Aufgabe : Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : ID ma IR 7 a f b f c f t t ) ) ) d) f( z) z z ( ) 5 n n e) f ( a b) f) f ( ) g) f ( ) h) f i) f 5 ( ) j) f k) f l) f 7 7 m) f( u) u u n) f( t) 8t t o) f( s) s s p) f a mit a IR ( ) ( ) ( ) 5 q) f a b mit a, b IR r) f s) f t) f 5 a mit a IR u) f a v) f Klasse Übungsblatt : Anwendung der Ableitungsregeln

20 Aufgabe: An welchen Stellen haben die Graphen von f und g parallele Tangenten? a) f und g b) f und g c) f und g Aufgabe : An welchen Stellen hat G f eine waagerechte Tangente? t t z 5z u a) f b) f( t) c) f( z) d) f( u) t 6 z u [ ] [ ] [ ] e) f 7 f) f g) f h) f( t) t t u u i) f( z) z z z 6z j) f( u) u Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a mit a IR Für welche der Funktionen fa hat der Graph bei eine waagerechte Tangente? Aufgabe : Der Graph einer Polynomfunktion Grades schneidet die Achse an der Stelle, geht durch den Punkt A ( 5) und außerdem mit der Steigung durch B( ) Bestimme die Funktionsgleichung für Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR; fa a ( ) für > mit a IR a) Zeige: Jede der Funktionen fa ist stetig an der Stelle b) Bestimme diejenige Funktion fa, die an der Stelle sogar differenzierbar ist c) Skizziere den Graph der Funktion fa aus b) d) Betrachte nun die Funktionenschar ga : IR IR ; ga a ( ) mit a IR und zeige, dass die Scheitelpunkte der Parabeln G die Parabel mit der Gleichung y bilden e) Skizziere mit Hilfe von d) einige der Parabeln Gg a Aufgabe 6: a) Beweise : Eine ganzrationale Funktion f IR IR f a n n n : ; a n a a a hat im Schnittpunkt von G f mit der y Achse die Tangente t: y a a b) Gib die Gleichung der Tangente an die Parabel p: y in deren Schnittpunkt mit der y Achse an Klasse Übungsblatt : Ableitungsregeln, lokale Etremstellen, Monotonie g a

21 Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f Bestimme eine Stelle IR so, dass die Tangente an G f an der Stelle parallel zur Tangente an G f an der Stelle ist n n Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fn : IR IR ; fn mit n IN Bestimme diejenige Funktion fn, deren Graph bei eine waagerechte Tangente besitzt Aufgabe : Bestimme die Parameter a IR und n IN so, dass der Graph der Funktion n { } 5 f : IR \ a IR ; f mit der Steigung durch P ( ) geht a Aufgabe : Bestimme die Ableitung f ' folgender Funktionen f : ID ma IR a) f sin cos b) f sin c) f sin cos d) f sin cos e) f sin cos f) f ( ) tan cos g) f h) f i) f sin sin sin j) f cos sin k) f sin cos l) f cos sin m) f sin cos n) f tan( ) o) f tan ( ) p) f cos( ) q) f sin r) f( t) a sin( w t) [ ] s) f( t) cos( a t b) t) f sin cos u) f sin sin Aufgabe 5: Berechne die Etrempunkte, Monotonieintervalle und Nullstellen der folgenden Funktionen und skizziere ihre Graphen a) f : IR IR ; f b) f : IR IR ; f( ) 8 c) f : IR IR; f ( ) ( ) ( 6) d) f : IR IR ; f Aufgabe 6: Untersuche die folg enden Funktionen auf Etremstellen und bestimme deren Art a) f : IR \ { } IR ; f b) f : IR \ { } IR ; f c) f : IR IR; f c) f : IR IR ; f 5 d) f : IR IR; f 5 Klasse Übungsblatt : lokale Etremstellen, Monotonie für für >

22 Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a mit a IR a) Bestimme diejenige Scharfunktion fa, deren Graph genau eine waagerechte Tangente besitzt, und bestimme für diese Funktion fa die Stelle mit waagerechter Tangente Entscheide, ob eine lokale Etremstelle ist b) Bestimme diejenigen Scharfunktionen fa, deren Graph keine waagerechten Tangenten be sitzt, und bestimme deren Monotonieverhalten c) Bestimme diejenigen Scharfunktionen fa, deren Graph zwei waagerechte Tangenten besitzt Untersuche diese Funktionen auf lokale Etrempunkte und bestimme diese gegebenenfalls Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR; fa a 5 5 mit a IR a) Bestimme diejenige Scharfunktion fa, deren Graph bei eine lokale Etremstelle hat b) Bestimme alle lokalen Etrempunkte der Funktion fa aus a) Aufgabe : a) Beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes den folg enden Satz : Ist I ein Intervall und ist f : I IR differenzierbar auf I und ist f ' für alle I, dann ist f eine konstan te Funktion b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Voraussetzung " I ist ein Intervall" in a) von wesentlicher Bedeutung ist Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f: IR IR ; f b c d a) Bestimme die Konstanten b, c und d IR so, dass G f durch den Ursprung geht und bei sowie bei lokale Etremstellen besitzt b) Bestimme für die Funktion aus a) die Nullstellen, die lokalen Etrempunkte und die Grenzwerte für ± und skizziere dann ihren Graph Aufgabe 5: Bestimme für die folgenden Funktionen die Nullstellen, die lokalen Etrempunkte, die Monotonieintervalle und die Grenzwerte für ± und skizziere dann G f und G f ' im selben Koordinatensystem ( ) a) f: IR IR ; f b) f: IR IR; f Aufgabe 6: Bestimme die Monotonieintervalle der folgenden Funktionen a) f: IR IR ; f b) f: IR IR ; f c) f: IR \ { } IR ; f d) f: IR \ { } IR ; f e) f: IR IR ; f f) f: IR IR; f Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR; fa a mit a IR Beweise: Jede der Funktionen fa besitzt genau eine Nullstelle Klasse Übungsblatt : lokale Etremstellen, Monotonie

23 7 Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR ; fa 6 a mit a IR Beweise: Jede der Funktionen fa besitzt höchstens eine Nullstelle Aufgabe : Betrachte die Menge aller Rechtecke mit dem gegebenen Umfang U Welche Be ziehung besteht zwischen den Seitenlängen und y der Re chtecke? Drücke den Flächeninhalt der Rechtecke als Funktion f der Seitenlänge aus Zeichne den Graph der Funktion f für U 8 Für welches ist der Flächeninhalt maimal? Aufgabe : Beweise die folgenden Aussagen oder widerlege sie durch ein Gegenbeispiel a) Die Summe zweier streng monotoner Funktionen ist eine streng monotone Funktion b) Das Pr odukt zweier streng monotoner Funktionen ist eine streng monotone Funktion c) Ist f streng monoton steigend und f für alle ID, dann ist streng monoton fallend f Aufgabe : Bestimme für die folgenden Funktionen die Nullstellen, die lokalen Etrempunkte, die Monotonieintervalle und die Grenzwerte für ± und skizziere dann G f 5 a) f: IR IR ; f b) f: IR IR ; f c) f: IR IR ; f c) f: IR IR ; f Aufgabe 5: Bestimme das absolute Minimum und das absolute Maimum folgender Funktionen, falls ein solches eistiert a) f:[ ] IR ; f b) f:] [ IR ; f c) f:[ ] IR ; f 5 d) f:[ ] IR ; f e) f: IR IR ; f f) f: IR IR; f [ ] für für 5 g) f:[ ] IR ; f 8 h) f:[ ] IR ; f i) f: IR ; f j) f: IR IR ; f Aufgabe 6: Bestimme die möglichen lokalen Etremstellen folgender Funktionen a) f: IR IR ; f b) f: IR IR ; f 8 6 c) f: IR IR ; f sin d) f: IR\] [ IR; f e) f: IR IR ; f f) f: IR IR \ { } ; f 8 Klasse Übungsblatt : lokale Etremstellen, Monotonie

24 Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR; fa a mit a IR a) Welche der Funktionen fa besitzt genau eine Stelle mit waagerechter Tangente? b) Welche der Funktionen fa besitzen genau zwei Stellen mit waagerechter Tangente? c) Welche der Funktionen fa besitzen keine Stelle mit waagerechter Tangente? Aufgabe : Bestimme die maimale Definitionsmenge ID ma und die lokalen Etrempunkte der folg enden Funktionen f : ID ma IR a) f( ) b) f c) f d) f e) f f) f sin sin Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR IR; fa a mit a IR \ { } a) Zeige, dass jeder Graph der Schar genau einen lokalen Hochpunkt besitzt und berechne dessen Koordinaten b) Zeige, dass die lokalen Hochpunkte aus a) auf einer Geraden g liegen Bestimme die Gleichung von g c) Bestimme diejenige Scharfunktion fa, deren lokaler Hochpunkt die Ordinate besitzt a Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR \ { } IR ; fa { } mit a IR \ a) Zeige, dass kein Graph der Schar die Achse schneidet b) Zeige, dass jeder Graph der Schar genau einen lokalen Hochpunkt und einen lokalen Tiefpunkt besitzt, und berechne deren Koordinaten c) Bestimme die Gleichung der Kurve, auf der alle lokalen Etrempunkte der Schar liegen a 5 Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktionenschar fa: IR \ { } IR ; fa mit a IR \ { } a Zeige, dass keine Scharfunktion zugleich Nullstellen und Etremstellen besitzt Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f: IR IR ; f 6 6 An welcher Stelle ist G f im Intervall [ ] am steilsten? Aufgabe 7: Bestimme alle reellen Nullstellen folgender Funktionen a) f: IR IR ; f b) f: IR IR; f Aufgabe 8: Zerlege die folgenden Terme in Linearfaktoren a) f b) f 8 5 c) 5 6

25 Klasse Übungsblatt 5: ganzrationale Funktionen Aufgabe: Diskutiere die folgenden ganzrationalen Funktionen f : IR IR ; f a) f b) f 9 c) f d) f e) f 6 6 f) f Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a 8 mit a IR \ { } a) Bestimme diejenige Scharfunktion fa, deren Graph einen Wendepunkt mit der Abszisse hat b) Diskutiere die Scharfunktion f : f Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar ga : IR IR ; ga a ( a) mit a IR und die Funktion f IR { } : \ IR; f a) Bestimme die Schnittpunkte Sa, und Sa, von Gg und G a f b) Für welches a schneiden sich Gg und G an der Stelle rechtwinklig a f? Aufgabe : Gegeben sin d die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a und a ga : IR IR ; ga a a mit a IR \ { } a) Bestimme die Schnittpunkte S und S von G und G a, a, fa ga b) Für welche Funktion ga stehen die Tangenten an Gg in Sa und S a, a, senkrecht aufeinander? Aufgabe 5: Der Graph einer Polynomfunktion Grades ist symmetrisch zur y Achse, geht mit der Steigung durch P( ) und hat bei w eine Wendestelle a) Bestimme die Funktionsgleichung b) Bestimme die Gleichung der Wendet angente Aufgabe 6: Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad schneidet den Graph der Funktion h: IR IR ; h zweimal auf der AchseIm Schnittpunkt mit der größeren Abszisse stehen beide Graphen senkrecht aufeinander und f hat dort einen Wendepunkt Bestimme die Funktionsgleichung von f Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f : IR IR ; f a b c mit a, b, c IR und a Welche Bedingungen müssen a, b und c erfüllen, wenn gelten soll: a) G f hat keine waagerechten Tangenten b) Die Achse ist Tangente an G f Aufgabe 8: Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a mit a IR a) Zeige, dass alle Scharfunktionen sich im Ursprung berühren b) Zeige, dass sich die Tangenten an die Graphen der Funktionen fa an einer Stelle alle in einem Punkt schneiden Aufgabe 9: Der Graph einer Polynomfunktion Grades ist symmetrisch zum Ursprung, schneidet die Achse an der Stelle und hat im Quadranten einen Hochpunkt, der auf 8 der Geraden g: y liegt Bestimme die Funktionsgleichung

26 Klasse Übungsblatt 6: ganzrationale Funktionen Aufgabe: Führe folgende Polynomdivisionen durch: [ ] [ ] 5 : [ ] : [ ] a) b) a a [ ] [ ] 6 5 : [ ] : [ ] c) d) Aufgabe : Gegeben ist die Funktionenschar fa : IR IR ; fa a mit a IR a) Bestimme die lokalen Etrempunkte der Schar b) Bestimme die Wendepunkte der Schar c) Bestimme die Gleichung der Kurve, auf der alle lokalen Etrempunkte der Schar liegen d) Bestimme die Gleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte der Schar liegen e) Bestimme diejenige Funktion fa, deren Graph einen lokalen Tiefpunkt auf der Winkel halbierenden besitzt f) Diskutiere die Funktion f: f g) Bestimme die Gleichung der Tangenten, die man vom Ursprung aus an G f legen kann h) Löse Aufgabe g) für eine beliebige Scharfunktion fa 7 i) Welche der Funktionen fa schneidet die Gerade g: y an der Stelle? j) Berechne den Schnittwinkel zwischen dem Graphen der Funktion f und der Geraden g aus i) Aufgabe : Eine Polynomfunktion f vom Grad hat bei eine Nullstelle und bei 5 einen Wendepunkt, in dem die Wendet angente die Gleichung y besitzt Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe : Eine zur y Achse symmetrische Polynomfunktion f vom Grad hat W( ) als Wendepunkt Die beiden Wendeṭ angenten stehen senkrecht aufeinander und der Grenz wert von f für ± ist Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe 5: Der Graph einer Polynomfunktion f geht durch die Punkte A ( ) und B( ) und es ist f '' Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe 6: Eine Polynomfunktion f vom Grad hat in O( ) einen Etrempunkt und in W( ) einen Wendepunkt, in dem die Tangente parallel zur Geraden h: y ist Bestimme die Funktionsgleichung Aufgabe 7: Bestimme die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion f vom Grad, deren Graph jeweils die folg enden Bedingungen erfüllt a) G f geht mit der Steigung durch A ( ) und hat bei eine Etremstelle b) G f ist symmetrisch zur Geraden h: und schneidet die Achse an der Stelle unter einem Winkel vom Maß 5