Zentralabitur 2006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Gesamtschule

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1 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Das Pharmaunternehmen Medic bietet ein pflanzliches Präparat mit konzentrationssteigernder Wirkung an. Die Wirkung f d (in Prozent) kann in Abhängigkeit von der Dosismenge d und der Zeit durch folgende Funktionenschar beschrieben werden: 1 fd ( ) = d e d mit in Minuten, d in Milligramm und f d () in Prozent. Führen Sie Ihre Berechnungen ohne Berücksichtigung der Dimensionen durch! Hinweis: = 0 sei der Zeitpunkt der Einnahme. a) Skizzieren Sie die Graphen von f d für 0 für die Dosismengen d = 100 und d = 00 in ein Koordinatensystem. Erläutern Sie den Verlauf der Graphen und den Einfluss des Parameters d. Ermitteln Sie das Verhalten für und interpretieren Sie es. b) Weisen Sie nach, dass gilt: ² f ( ) = ( ) e d d Berechnen Sie die Etremstellen (die notwendige Bedingung reicht aus). Erläutern Sie die Bedeutung der Etremstellen in diesem Zusammenhang. Ermitteln Sie, wie groß die maimale konzentrationssteigernde Wirkung für die zwei Parameter aus a) d= 100 und d=00 ist. Bestimmen Sie einen Term, der die maimale konzentrationssteigernde Wirkung in Abhängigkeit von der eingenommenen Dosis d angibt. Man weiß, dass ab einer konzentrationssteigernden Wirkung von 75% die Nebenwirkungen zu gefährlich werden. Berechnen Sie, welche Dosis d damit maimal eingenommen werden sollte. c) Medic hat festgestellt, dass der Flächeninhalt der nach rechts unbeschränkt wachsenden Fläche unter dem Graphen ein Maß für die Belastung des Körpers durch das Präparat darstellt. Weisen Sie nach, dass F d eine Stammfunktion dieser Funktionenschar ist. ² 1 0 d Fd ( ) d ² e = 10 Berechnen Sie damit den Flächeninhalt für die zwei obigen Dosismengen sowie für d=00. Erläutern Sie den gesetzmäßigen Zusammenhang, der zwischen eingenommener Dosis d und dem Flächeninhalt (als Maß für die Belastung) besteht. Bestimmen Sie die Dosis, bei der die Belastungsobergrenze von 000 (Maßeinheiten) erreicht wird. ² 0d Niedersächsisches Kultusministerium von 8

2 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B In einen neu angelegten See wird zu einem bestimmten Zeitpunkt ( = 0) eine bestimmte Anzahl von Fischen (Anfangsbestand der Fischpopulation) eingesetzt, die im Laufe der Zeit zunimmt. Da der See wegen seiner Größe nicht beliebig viele Fische ernähren kann, ist diese Zunahme nach oben beschränkt. Die folgende Funktionsgleichung beschreibt einen solchen Wachstumsprozess. 0,1 00 e f( ) = 0, e Hierbei bezeichnet f() die Anzahl der Fische zum Zeitpunkt in Jahren. Führen Sie Ihre Berechnungen ohne Berücksichtigung der Dimensionen durch! a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem ( ). Ermitteln Sie, wie viele Fische ursprünglich in den See eingesetzt wurden. Berechnen Sie, wie viele Fische der See maimal ernähren kann. Ermitteln Sie z.b. grafisch, zu welchem Zeitpunkt die Wachstumsgeschwindigkeit der Fischpopulation maimal ist. Geben Sie an, wie hoch diese Wachstumsgeschwindigkeit ist. 0,1 760e Sie können ggf. ohne Nachweis benutzen: f '( ) =. 0,1 (19 + e ) 0,1 00 e b) Obige Funktion f gehört für k = 19 zu der Funktionenschar f k mit fk ( ) =, wobei 0,1 k + e k > 0 ist. Folgende Informationen können Sie ohne Nachweis benutzen: 0,1 0,1 0, 0ke k e ke fk '( ) = ; f ''( ) = 0,1 k 0,1 ( k + e ) ( k + e ) Jede Wachstumsfunktion f k hat eine maimale Wachstumsgeschwindigkeit. Ermitteln Sie diejenige Wachstumsfunktion f k, deren Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren maimal wird. c) Untersuchen Sie grafisch den Einfluss des Parameters k für k=5,..., 5 auf den Verlauf des Graphen. Gehen Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede ein. Beschreiben Sie Besonderheiten der Graphen der ersten Ableitungsfunktionen und die sich daraus ergebenden Folgerungen für die Wendepunkte der Funktionenschar. d) Weisen Sie nach, dass F k mit = ( 0,1 k ( ) 000 ln + ) F e k eine Stammfunktion der Schar f k ist. Skizzieren Sie den Graphen von f k für k = 100 in die Skizze unter Aufgabenteil a). Ermitteln Sie den Flächeninhalt zwischen den beiden skizzierten Graphen im Bereich von = 0 bis = 100. Niedersächsisches Kultusministerium von 8

3 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen a) Skizze zweier Graphen Erläuterung des Verlaufs in Abhängigkeit von d (Wirkung zu Anfang 0, dann schneller Anstieg und langsames Abklingen der Wirkung; die Dosis steuert die maimale Wirkung) Verhalten im Unendlichen: Da der e-term gegen Null geht, strebt die Wirkung (Konzentrationssteigerung) gegen Null. b) c) Nachweis durch Ableiten von F d () (Anwenden der Produkt- und Kettenregel/Ausklammern des e-terms) Etremstellen: reinquadratische Gleichung zu lösen; = 10 d : ma. Wirkung Bedeutung der Etremstellen (maimale Konzentrationssteigerung) erläutern. Ermittlung der Funktionswerte in = 10 d für d=100 und d=00: f ( 1000) 19,18%; f ( 000) 99,66% = 10 d ist in den Funktionsterm (allgemein bzw. für d=100 und d=00) einzusetzen: 10d 0 d 1 1 0,5 fd ( 10 d ) = d 10 d e = d 10 d e f 100 ( )= 19,18 ( 0%), f 00 ( )= 99,66 ( 100%) 1 0,5 Die Gleichung 75 = d 10 d e kann algebraisch, tabellarisch, mit 100 dem numerischen Gleichungslöser oder grafisch gelöst werden und ergibt als maimale Dosismenge d 8, [mg]. Das Ableiten von F d ergibt f d. Uneigentliche Integrale müssen erkannt werden entweder zunächst für konkrete Fälle oder gleich allgemein: b b b d 0 d Ab = f ( ) d = d e = d e + d b d lim d e + d = d b Damit ergeben sich (für d=100;00;00) die Werte 1000, 9000, [FE]. Erläuterung mit Begründung des quadratischen Zusammenhangs (entweder mit Hilfe einer Wertetabelle oder mit Hilfe des Wertes des uneigentlichen Integrals). d = 000 d = ,1 [mg] 10 Anforderungsbereiche Bewertung I II III Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 8

4 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Erwartungshorizont a) Skizze: Erwartete Schülerleistungen Anforderungsbereiche Bewertung I II III Übersetzung der Wachstumsgeschwindigkeit als f Anfangsbestand: f(0)=0 [Fische] Als Maimum ergibt sich z.b. grafisch: y 00 [Fische], (als Grenzwert y=00). Wendepunktermittlung für v ma : grafisch über erste Ableitung; lokales Maimum ermitteln: ma 9, [Jahre]; f '( ) = 10 [Fische/Jahr] V w 10 b) Maimum der Wachstumsgeschwindigkeit f k ': fk ''(10) = 0 k e ke = 0 ke ( k e ) = 0 Also ist k = e; k=0 entfällt als Lösung, da k>0 vorausgesetzt wurde. 7 c) Zeichnung von Scharkurven mit Werten von k =5,...,5 auf dem GTR, ggf. Skizze zur Visualisierung der Eigenschaften übertragen; Nennung folgender Eigenschaften: Waagerechte Tangente mit y=00 Je größer k ist, desto kleiner ist der y-achsenabschnitt und damit der Anfangsbestand. Je größer k ist, desto später wird die maimale Wachstumsgeschwindigkeit erreicht. Die maimale Wachstumsgeschwindigkeit ist stets gleich: 10 [Fische pro Jahr] Die Tangenten in den Wendepunkten (maimale Wachstumsgeschwindigkeit) haben alle die Steigung 10 und verlaufen jeweils parallel. 6 d) Ggf. Skizze der Ableitungsgraphen: Die Wendepunkte liegen immer auf gleicher Höhe (y=00); in -Richtung sind sie entsprechend verschoben (d.h. die v ma wird früher erreicht). Für IR gilt: Achsensymmetrie zum Maimum Punktsymmetrie des Ausgangsgraphen zum Wendepunkt ; hier ist bei der Aussage die Einschränkung auf 0 geeignet zu beachten. 0,1 0,1 e Ableiten von F k (Kettenregel beachten): Fk '( ) = 000 = f ( ) 0,1 k e + k Skizze: 6 Ansatz: A = ( f ( ) f ( )) d 66 [FE] Summe: 15 6 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

5 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Auf einer Landkarte sind zwei Eisenbahnlinien zu sehen, deren Verläufe durch die Graphen der e + beiden Funktionen f und g mit f( ) = e und g( ) = in guter Näherung e + beschrieben werden können (siehe Anlage 1). a) Nennen Sie drei wesentliche Eigenschaften beider Graphen. Jemand behauptet, dass die beiden Eisenbahnlinien weitgehend die gleiche Form haben. Beurteilen Sie diese Behauptung. Weiter wird behauptet, dass sich beide Eisenbahnlinien rechtwinklig kreuzen. Untersuchen Sie diese Behauptung. Hinweis: Benutzen Sie zur Bestimmung von Ableitungswerten den GTR. b) In P(0-1) soll eine neue Abzweigung zur anderen Eisenbahnlinie gebaut werden, die in Q( 0) in die andere Linie einmündet. Die neue Verbindung soll in den Endpunkten krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) in die alten Eisenbahnlinien übergehen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Modellierungsfunktion p, deren Graph dies vollständig leistet. Skizzieren Sie den Graphen Ihrer Funktion in das Koordinatensystem in der Anlage. Hinweis 1: Es empfiehlt sich, zur Bestimmung von Tangentensteigungen den Rechner zu nutzen. Runden Sie gegebenenfalls sinnvoll. Hinweis : P und Q sind Wendepunkte der betreffenden Graphen Zwischenergebnis: p( ) = c) Durch die neu entstandene Trasse muss Land dazu gekauft werden, und zwar das Land, das zwischen neuer und alter Trasse liegt. Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche. d) Zur Ermittlung der Kosten der neuen Trasse benötigt man die Länge. Berechnen Sie näherungsweise die Länge der neuen Trasse, indem Sie diese durch vier lineare Teilstücke annähern. Erläutern Sie, wie man von diesem Ansatz ausgehend die Trassenlänge berechnen kann. Die Berechnung der so genannten Bogenlänge des Teilgraphen einer Funktion f im Intervall von =a bis =b erfolgt mit dem Integral 1 + ( f '( )) d. Berechnen Sie damit die Länge der neuen Trasse und bewerten Sie die Qualität der Näherung mit den vier linearen Teilstücken. e) Anlage zeigt den Graphen der Krümmungsfunktion zur Funktion p. Bestimmen Sie mit Hilfe dieses Graphen für die neue Trasse mit Begründung die Stelle, an der der Zug am langsamsten fahren muss. b a Niedersächsisches Kultusministerium von 11

6 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A Material: Anlage 1: Anlage : Niedersächsisches Kultusministerium von 11

7 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen a) Waagerechte Asymptoten (f: y= -1 und y=1 ; g: y=0 und y= - ;) Etrempunkte an den Stellen f: E =1 ; g: E = Mögliche Argumentation: G f an der -Achse spiegeln, um 1 LE in y-richtung verschieben und um + LE in -Richtung verschieben: -f(-) 1 = g() Schnittstellenermittlung: f( S )=g( S ) S 0, ; f ( S )=m 1 und g ( S )=m bestimmen Die Behauptung ist falsch, da m1 m 1 ist (oder ggf. Nachweis mit Hilfe der Differenz der beiden Steigungswinkel im Schnittpunkt S). b) Durch den Hinweis ist f (0)=0 und g ()=0. Die ersten Ableitungswerte in =0 und = sind ganze Zahlen, womit das Eingeben des LGS einfach wird. f (0)=- und g ()= (manche GTR liefern z.b. als Steigungswert -1,99999, was mit dem Hinweis auf dem Aufgabenblatt zu - abgerundet werden soll). Bedingungen benennen und aufstellen; Ansatz mit Polynomfunktion 5.Grades; Ableitungen und werte ermitteln; LGS lösen; 19 9 p( ) = Skizze c) Es sind Teilflächen zu berechnen: Dazu benötigt man als Integrationsgrenze neben der Schnittstelle S 0, der Graphen von f und g (s.o.) die Schnittstelle des Lösungsgraphen und des vom Graphen von g: S 0,6 S 0 S ( p( ) f ( )) d 0,0066; ( p( ) g( )) d 0,0011; ( g( ) p( )) d 0,6 S Zusammen ist die Fläche etwa 0, [FE] groß. Hinweis: Die zwei unterschiedlichen Schnittstellen sind im Graphen nur sehr schwer erkennbar, so dass vom Prüfling ggf. nur mit einer Schnittstelle eine entsprechende Fläche berechnet wird (anteilige Bewertung: 7/10 Punkten). S Anforderungsbereiche Bewertung I II III 1 10 Niedersächsisches Kultusministerium von 9

8 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen d) Skizze Die Länge des Polygonzugs kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras bestimmt werden: s = 0,5 + ( p(0,5) p(0)) + (0,5) + (( p(1) p(0,5)) + (0,5) + (( p(1,5) p(1)) + (0,5) + (( p() p(1,5)) = 0, , , ,1...,5 [ LE] Die Erhöhung der Anzahl der Stützstellen und Aufsummierung einer größeren Anzahl kürzerer Teilstrecken führt zu einer besseren Annäherung. Dies kann 1 zu einer Formelentwicklung der Art: ( 1) n i = 0 + p i + p i n n n führen. Anforderungsbereiche Bewertung I II III Bogenlänge numerisch mit GTR bestimmen: etwa,5 [LE] Bewertung (verbal und qualitativ: Der Polygonzug ist etwa % zu kurz.) e) An der Stelle mit stärkster Krümmung muss die Geschwindigkeit am geringsten sein. Ermittlung der gesuchten Stelle: 0,7 Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 9

9 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Gegeben ist die Funktionenschar f k mit ( ) = k f e 1 mit k k IN \{ } 0;1 und ID = IR. a) Untersuchen und beschreiben Sie die Funktionenschar; gehen Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Abhängigkeit vom Parameter k ein; von der Untersuchung von Nullstellen ist dabei abzusehen. Skizzieren Sie jeweils drei typische Vertreter (k gerade beziehungsweise k ungerade). Belegen Sie Ihre Aussagen zum Verhalten im Unendlichen, zu den Etremstellen sowie zu gemeinsamen Punkten der Scharkurven durch entsprechende Berechnungen. k f ''( ) = + k + k k e. Sie können dabei benutzen, dass gilt: ( ) k b) Für einzelne Funktionen der Schar f k wurden folgende Stammfunktionen gefunden: f ( ) d = + e + c 5 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) f ( ) d = e + c f ( ) d = e + c f ( ) d = e + c, c IR Beschreiben Sie Gesetzmäßigkeiten und erläutern Sie diese für k=6. c) Die Kurve zu f stelle eine Straße dar (siehe Anlage). Diese soll zwischen = - 6 und =0 durch eine neue Straße ersetzt werden, die an den Endstellen krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) in die alte Straße übergeht. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion p, deren Graph diese Straße modelliert. Skizzieren Sie den Graphen in das Koordinatensystem in der Anlage. Falls Sie keine Funktion ermitteln können, nehmen Sie p( ) = 0, ,070 0, d) Ein Teil der entstandenen Freifläche zwischen der alten und der neuen Straße muss von der Stadt begrünt werden. Ermitteln Sie die Größe dieses Flächenstücks zwischen = - 6 und = - 1. Eine Parallele zur y-achse schneidet aus dieser Fläche eine Strecke heraus. Berechnen Sie die Stelle, wo die Strecke am längsten ist. Geben Sie die maimale Länge an. e) Es soll ein Glaspokal gestiftet werden, dessen Querschnittsform an die Gestalt der Grünfläche erinnern soll: Dazu werden zwei neue Funktionen g und h mit den Gleichungen g()=f ()+ und h()=p()+1 kreiert. Deren Graphen rotieren um die -Achse und umranden zwischen = - 6 und =0 den Pokal. Berechnen Sie das Volumen des benötigten Glases ( 1 LE = ˆ 5cm ). Ermitteln Sie, wie viel Flüssigkeit der Pokal fasst (gleicher Maßstab). Niedersächsisches Kultusministerium von 11

10 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1B Material: Anlage: Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 11

11 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen a) Skizzierung z.b. für k=,5,7 bzw. k=,,6: Anforderungsbereiche Bewertung I II III Beschreibung mit Gemeinsamkeiten und Unterschieden in Abhängigkeit von k y= -1 waagerechte Asymptote mit Nachweis Stellen mit waagerechter Tangente: f ( E )=0 E =0 E = -k; Da f (0)=0 ist, alternative Kriterien anwenden, z.b. VZW-Kriterium für f ( E =0). E 1 (0-1) ist für k gerade ein Minimum bzw. für k ungerade ein Sattelpunkt. E (-k (-k) k e -k -1) ist für k gerade ein Maimum bzw. für k ungerade ein Minimum. Neben E 1 (0-1) ist P(1 e-1) ist weiterer gemeinsamer Punkt. b) 6 5 ( ) ( ) f6 d = e + c Gesetzmäßigkeiten beschreiben, erläutern an Hand k=6. Unterschiedliche Deutungsweisen möglich, zum Beispiel: Innerhalb der Klammer ergibt sich der nachfolgende Summand durch Ableiten des vorangegangenen bei wechselndem Vorzeichen. c) Ansatz: Polynom 5. Grades (6 Parameter) S 1 (0 0): (i) f (0)=1; (ii) f (0)=0; (iii) f (0)=0 S (-6 f (-6)): (iv) f (-6)=196e -6-1; (v) f (-6)=e -6 ; (vi) f (-6)=0 LGS aufstellen und lösen (lassen): d) p e e e = ( ) Zeichnung: Anmerkung: der Lösungsgraph schneidet den Graphen von f im Intervall [-1;0], was grafisch sehr schwer erkennbar ist. 1 ( 5 ) 6 f ( ) p ( ) d,6 FE (numerisch mit Hilfe des GTR) Differenzfunktion aufstellen, numerisch die Stelle des Maimums ermitteln: -,88. Die maimale Länge beträgt etwa1, LE. e) Rotationsvolumina (numerisch mit GTR) bestimmen: 0 0 ( ) π ( ) V = π f ( ) + d p ( ) + 1 d 195, V = 5iV, [ Liter Glas] 1 0 ( 5 ) 6 V = π p ( ) + 1 d 10,7 V = 5iV 17,5 [ Liter Flüssigkeit ] V 1 : Es darf nicht die Differenzfunktion (g-h) integriert werden (schwerer Fehler). Summe: 0 8 Niedersächsisches Kultusministerium von 9

12 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Erwartungshorizont a) Baumdiagramm P({1;;5})=0,+0,15+0,15=0,6 Erwartete Schülerleistungen Anforderungsbereiche Bewertung I II III p(e 1 )=0,6³ = 1,60% E ={ 11,1,11,1,1,11 } p(e )=6,08% 1,,,,5,6,1,,,5,6, E = 1,,,5,6 Hier entstehen kombinatorische Schwierigkeiten durch doppelt auftretende Ergebnisse (, ). p(e )=6,08% b) Die Simulation z.b. mit -ziffrigen Zahlen kann man wie folgt festlegen: 01,0,...,0 =ˆ 1 1,,...,5 =ˆ... 91,9,...,00 =ˆ 6 Die Simulation mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen stellt einen schweren Fehler dar! Die Simulation durchführen und Ergebnisse geeignet notieren. Zu E gehörende Ergebnisse auszählen, relative Häufigkeit angeben und mit Wahrscheinlichkeit aus a) vergleichen. 6 6 c) Es liegt eine Binomialverteilung vor. Auf Grund der beschriebenen Situation ist nur ein zweiseitiger Hypothesentest sinnvoll. Die Hypothese H 0 : p(1)=0, kann bei α =5% abgelehnt werden, wenn die Anzahl der geworfenen Einsen zwischen 0 und 0, bzw. zwischen 9 und 100 liegt. Wird die Normalverteilung als Näherung benutzt, so verschiebt sich die Grenze auf 1. Auf Grund der vorhandenen Stichprobe (6 Einsen ) kann die Hypothese damit auf dem 5%-Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden. 9 Summe: Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 9

13 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Um ein kreisförmiges Dorf mit dem Radius r= km führt eine Straße herum, die durch den Graph der Funktion f mit ( ) = ( 0,1 + ) 0,1 f e beschrieben wird. Die -Achse beschreibt einen geradlinig verlaufenden Kanal (siehe Anlage 1). a) In = soll eine Abzweigung neu gebaut werden (, die in etwa nach Südosten verlaufen soll). Bestimmen Sie für diese Abzweigung eine ganzrationale Modellierungsfunktion, deren Graph in = krümmungsruckfrei (d.h. ohne Krümmungssprung) von der vorhandenen Straße abzweigt. Hinweis: Zur Bestimmung der Ableitungswerte an der Stelle = sollte der GTR benutzt werden. Skizzieren Sie den Graphen der Modellierungsfunktion in das Koordinatensystem in der Anlage 1. Falls Sie keine Lösung finden können, nehmen Sie folgende Ersatzfunktion p: p( ) = 0, ,77 +,67 b) Der Stadtplaner überlegt, ob er mit der Parabel p mit p( ) = 0, ,77 +,67 nicht nur für die Straße modellieren könnte, sondern auch für <. Jemand behauptet, dass dann die kreisförmige Stadtmauer im nordwestlichen Teil teilweise weichen müsste, weil die parabelförmige Straße dort entlang führe. Zeigen Sie, dass dies nicht stimmt. Bestimmen Sie den kürzesten Abstand dieser neuen Straße vom Zentrum (0 0) der Stadt und berechnen Sie, wie nahe sich Straße und Stadtmauer kommen. c) Die Fläche zwischen der Senkrechten mit =, der alten Trasse und dem Kanal muss bis =8 neu dazu gekauft werden. (i) Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche. (ii) Bei der Flächeninhaltsbestimmung ohne Rechnerhilfe stellt sich das Problem, dass für 0,1 = + 0,1 = 0,1 f( ) 0,1 e 0,1 e + e für den zweiten die Randfunktion f mit ( ) Summanden kein integralfreier Term der Stammfunktion angegeben werden kann. Der Stadtplaner verwendet stattdessen die Näherungsfunktion g mit 0,1 0, g( ) = 0,1 e + e. Zeigen Sie, dass die Funktion G mit G() ( 0,5 5)e 7,5e von g ist. Berechnen Sie ohne Rechnereinsatz das Integral 0,1 0, = eine Stammfunktion 8 0,1 0, (0,1 e + e ) d und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem vom Rechner unter (i) ermittelten Wert. Bewerten Sie damit die Qualität der Näherungsfunktion. d) In der Anlage ist der Graph der Krümmungsfunktion der Funktion f zu sehen. Interpretieren Sie die Bedeutung der Nullstellen der Krümmungsfunktion für den Verlauf des Graphen von f. Ermitteln Sie aus der Zeichnung diejenigen Stellen, in denen der zugehörige Radius des Krümmungskreises den Wert hat. Eine dieser Stellen ist,71: Beschreiben Sie einen Lösungsweg, wie man die Koordinaten des Mittelpunkts des zugehörigen Krümmungskreises berechnen kann (siehe Anlage ). f ''( ) Hinweis: Allgemeiner Term der Krümmungsfunktion: K( ) = 1,5 1 + ( f '( )) ( ) Niedersächsisches Kultusministerium von 10

14 N Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A Material Anlage 1: y + y = Anlage : Anlage : Niedersächsisches Kultusministerium von 10

15 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Gegeben ist die Funktionenschar f k mit k 0,5 fk ( ) = e mit k { 1,,,,5... }, ID = IR. a) Skizzieren Sie vier typische Vertreter der Graphen der Funktionenschar. Beschreiben Sie ohne Rechnung drei wesentliche Eigenschaften dieser Graphen. Gehen Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Hinblick auf den Parameter k ein. Klassifizieren Sie die Funktionenschar bezüglich der Etremstellen. Begründen Sie Ihre Klassifizierung durch eine entsprechende Rechnung. Zwischenergebnisse, die gegebenenfalls genutzt werden können: ,5 '( ) = ( k k ) k fk k e, k ( ) f ''( ) = 1+ k k k e 0,5 b) Untersuchen Sie, für welche Werte a die Graphen der Funktionenschar g a mit der Gleichung g ( a ) = a mit a IR den Graphen der Funktion f außerhalb des Koordinatenursprungs schneiden. Bestimmen Sie die Berührstellen aller Tangenten an die Kurve der Funktion f, die durch den Koordinatenursprung gehen. 0,5 c) Weisen Sie nach, dass F 1 mit F1( ) = e eine Stammfunktion von f 1 ist. Der Graph der Funktion f 1 schließt mit der -Achse eine (nach links und rechts offene) Fläche ein. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. Der nebenstehende Graph stellt die Entwicklung des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f 1 und der Achse mit der unteren Grenze = - dar. Erläutern Sie, ausgehend von dem Graphen von f 1, wesentliche Eigenschaften dieses Graphen. d) Von zwei geradlinig verlaufenden Straßen führt eine durch die Punkte Q 1 (- 1) und P(0 ), die andere durch die Punkte Q ( 1) und P(0 ). Um den Verkehrsfluss zu verbessern, sollen die Straßen im Intervall [-;] eine Verbindung erhalten, welche durch den Graphen einer Funktion h beschrieben wird. Der Übergang an den Stellen 1 = - und = soll krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) erfolgen. Begründen Sie, dass man für eine der geraden Straßen die Gleichung y=0,5+ verwenden kann. 1 1 Untersuchen Sie, ob der Graph von h mit h() = e 8 + einen geeigneten Ansatz für die Verbindungsstraße darstellt. Ermitteln Sie den maimalen Krümmungswert 1 von h. 1 Allgemeiner Term der Krümmungsfunktion: K( ) = f ''( ) ( 1 + ( f '( )) ) 1,5 Niedersächsisches Kultusministerium von 10

16 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Erwartungshorizont a) b) c) d) Erwartete Schülerleistungen Bedingungen: f()=p() und f ()=p () und k bezüglich f ()= k bezüglich p () Da auch gefordert ist: f ()=p (); lässt sich die Bedingung k bezüglich f ()= k bezüglich p () reduzieren zu: f ()=p () Fazit: f()=p() und f ()=p () und f ()=p () Ansatz mit p()=a +b+c; Ableitungen und Ableitungswerte ermitteln die von f mit Hilfe des GTR (siehe unten); LGS lösen: a=-0,1158, b=0,771, c=,67 Graph in die Anlage skizzieren Nachweis, dass sich Parabel und Kreis nicht treffen (Halbkreisgleichung aufstellen; z.b. Differenzfunktion betrachten, die immer positiv ist) Kürzester Abstand der Parabel von (0 0) (Distanzfunktion/ Etremstelle numerisch oder Normale durch (0 0)); Ergebnis: d=,0 km. Also kein Treffen oder Berühren, sondern minimaler Abstand von 0,0 km bzw. 0 Meter. (i) Wert des bestimmten Integrals mit Hilfe des Rechners ermitteln: etwa,18 FE (ii) G ableiten (Produkt- und Kettenregel), um den Term für g zu erhalten 8 ( ) 0,1 e + e d = ( 0,5 5) e 7,5e 0,1 0, 0,1 0,, 6, 1,6 = + 7,5e 7e 0,5e,77 Da der Graph von g für > oberhalb des Graphen von f verläuft, ist der Flächeninhalt unter G g größer als der unter G f. Die Abweichung beträgt 18,6%, die Näherung ist schlecht. Alle Nullstellen dieser Krümmungsfunktion sind Nullstellen mit VZW und deshalb Wendestellen der Funktion f. Ansatz r() = K()= 0,5 oder K()= - 0,5; Ablesen folgender Stellen aus dem Graphen: -,8 oder -,7oder -0,8 oder 0, M muss auf der Normalen liegen, LE von ( r y r ) entfernt Lösung z.b. mithilfe der Vektorrechnung: Erläuterung folgenden Ansatzes 1 r + 1 (Lösung M(-,6 1,19)) 1 yr 1 + '( ) ( '( )) f r f r 8 Anforderungsbereiche Bewertung I II III Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 8

17 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Erwartungshorizont a) Skizzierung für k=1 bis k=: Erwartete Schülerleistungen Anforderungsbereiche Bewertung I II III b) Beschreibung, Gemeinsamkeiten, Unterschiede Etrempunkte: f '( ) ( ) ; ''( ) ( ) 1 k = k e fk = k k k + e = 0; f ''(0) = 0, daher andere Begründung; k k 1 k + 1) 0,5 k 0,5 zum Beispiel die Vielfachheit der Nullstellen für k =,,6... ist P(0 0) lokaler Tiefpunkt ( ggf. Flachpunkt) für k = 1,, 5... ist P(0 0) Wendepunkt ( ggf. Sattelpunkt) k 0,5k ( ± ( ± ) ) / 0,5 ( ) k k = ± k für k 0; f ''( ± k ) = ( ± k ) k 1 k 1 + k e... 0 für k > 0 k Also k k e Hochpunkt Tiefpunkt 0,5 a = e ( = ± ln( a) = 0) ; für 0 < a < 1 eistiert Schnittpunkt 8 5 c) d) 0,5 0,5 ( ) = ; '( ) = ( ) f e f e P 5 ( P P ) ( P P ) 0,5 0,5P t : y = e + + e 5 (0 0) t : P + P = 0 P ( + P ) = 0 = ± Berührstellen Die -Achse als Tangente zum Sattelpunkt S(0 0) muss nicht berücksichtigt werden. Nachweis durch Ableiten von F 1 oder mit Hilfe der Substitutionsregel 0,5 0,5 = = 0,5 = = A e d lim e lim( e ) ( 1) 0 Die Interpretation setzt Vorüberlegungen zur Integralfunktion auf zwei Teilintervallen voraus. An der Stelle 0 wird ein Flächeninhalt von 0,99 erreicht. Symmetriebetrachtungen können sich anschließen. Es sind Aussagen zu den Wendepunkten (Sattelpunkt in besonderer Weise) der Flächeninhaltsfunktion bezogen auf das Anwachsen der Fläche unter der Kurve der Ausgangsfunktion zu treffen und die Gegebenheiten an diesen Stellen zu berücksichtigen. Begründung der Geradengleichung (z.b. Nachrechnen) Unter Ausnutzung der Symmetrie ist zu bestätigen: h() = 1 ; h () = - 0,5 ; h () = 0 6 Ma. Krümmung durch Zeichnung der ermittelten Krümmungsfunktion, bei =0 muss ma. Krümmung vorliegen: k ma =0,1 6 Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 8

18 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen a) 1: bedeutet: P(A)=0, Binomialverteilung mit n=150 und p=0, µ =0, V(X)=, σ =,90 P(6 X ) = 6,18% P( 1 X 9) = 9,8% P( 16 X ) = 99,69% Skizze b) P(5 X 5) =7,89% α =6,11% Interpretation des Ergebnisses Erläuterung des veränderten Testverfahrens, Auswirkungen für Lieferant und Händler c) P(5 X 5) (p=0,1)=0,76% Es ist also fast ausgeschlossen, dass der Betrug unentdeckt bleibt. Anforderungsbereiche Bewertung I II III Summe: 1 5 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

19 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A In der Abbildung der Anlage wird der Stromverbrauch pro Jahr in Deutschland für den angegebenen Zeitraum näherungsweise beschrieben. a) Ermitteln Sie eine (natürliche) Eponentialfunktion f, die dieses leistet. Skizzieren Sie deren Graph in das Koordinatensystem der Anlage. 500 Auch die Funktion g mit g() = soll den Stromverbrauch beschreiben (mit in 0,1 7,5 1 + e + Jahren ab 1900). Führen Sie die weiteren Berechnungen ohne Berücksichtigung der Dimensionen durch. Begründen Sie, dass langfristig die Funktion g den jährlichen Stromverbrauch aller Voraussicht nach besser beschreibt als Ihre oben ermittelte Funktion f. Weisen Sie anhand des Graphen der ersten Ableitung nach, dass =75 die einzige Wendestelle der Funktion g ist. Berechnen Sie algebraisch die y-koordinate des Wendepunktes. b) Ermitteln Sie unter der Modellannahme von g den Gesamtstromverbrauch von 1900 bis ,1 7,5 G() = ln 1+ e + eine Stammfunktion der ( ) Weisen Sie nach, dass ( ) Funktion g ist und begründen Sie, dass langfristig gesehen der Gesamtstromverbrauch näherungsweise linear mit der Zeit wachsen wird. c) Zeigen Sie, dass obige Funktion g zu der Funktionenschar g a mit 500 g a() = mit IR und a IR a ( 75) 1+ e gehört. Skizzieren Sie die Graphen für vier verschiedene Parameterwerte in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschreiben Sie den Kurvenverlauf in Abhängigkeit von a. Weisen Sie nach, dass alle Kurven einen Punkt gemeinsam haben. Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes an und begründen Sie, um was für einen bestimmten Punkt es sich hier handeln muss. Material Anlage : TWh heißt Terawattstunde (10 1 Wh) Niedersächsisches Kultusministerium von 8

20 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Gegeben ist die Funktion f mit f() = e. 5 a) Bestimmen Sie ohne Rechnereinsatz die Schnittpunkte mit der Achse sowie die Etrem- und Wendestelle der Funktion (bei der Wendestelle reicht die notwendige Bedingung). Skizzieren Sie den Graphen für 0 10 ( 1 LE entspricht 1 cm). b) Geißeltierchen bewegen sich bei Belichtung zunächst auf die Lichtquelle zu. Die Ansammlungsdichte ist bei konstanter Beleuchtungsstärke abhängig von der Zeit. In der Anlage ist das Ergebnis einer Messung wiedergegeben. Die Funktion f aus a) beschreibt diesen Zusammenhang. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion g dritten Grades, die den in der Tabelle dargestellten Zusammenhang beschreibt. Verwenden Sie dazu die Messwerte nach 0,,, und 8 Minuten. [Ergebnis: g()= 0,075³-0,765² +,5 ] Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Unterschied zwischen den mit f und g ermittelten Ansammlungsdichten in diesem Bereich am größten ist. c) Geben Sie mit Begründung die Funktion an, mit der die momentane Änderungsrate der durch f beschriebenen Ansammlungsdichte ermittelt werden kann und skizzieren Sie deren Graph für 0 10 in das bereits vorhandene Koordinatensystem. Ermitteln Sie ferner, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Ansammlungsdichte am kleinsten und zu welchem Zeitpunkt sie am größten ist. d) Weisen Sie nach, dass ( ) 10 8 F() = + 10 e eine Stammfunktion von f ist. 9 Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von der - Achse, dem Graphen von f und der Geraden mit der Gleichung = 10 begrenzt wird. Material Anlage: Zeit in min Ansammlungsdichte 0,17,5,8,76 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

21 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Erwartungshorizont a) b) Erwartete Schülerleistungen Möglicher Ansatz über ausgewählte Punkte: b ln(19) 10 f ( ) = a e ; P1 (0 10) und P (70 190) : b = 0,076; a = 1,0988 0, e Die Werte können direkt oder mit GTR - Unterstützung, zum Beispiel auch mit dem Regressionsmodul ermittelt werden. Skizze Graph von f steigt weiter eponentiell an, Graph von g hat Wendepunkt, d.h. der Stromverbrauch nimmt ab diesem Zeitpunkt weniger stark zu und nähert sich dem Grenzwert 500. Wegen der Knappheit der Energieressourcen damit Verteuerung der Energiekosten, sowie einer Neuorientierung in der Umweltpolitik ist dies eher zu erwarten. Grafischer Nachweis durch Zeichnen des Graphen der ersten Ableitungsfunktion (z.b. mittels Modulen des GTR oder mittels Term der Ableitungsfunktion) und der Argumentation, dass nur bei =75 ein lokales Maimum vorliegt, was maimale Tangentensteigung bedeutet. g(75)=50 Der Gesamtverbrauch ist als bestimmtes Integral zu bestimmen [ ] 80 g( ) d = G( ) 867,6 ist direkt oder mit Hilfe des GTR ermittelbar. 0 Nachweis für G ()=g(). Das uneigentliches Integral aufstellen und abschätzen: b 0 b b + [ ] 0 ( ( )) 0,1 7,5 7,5 g( ) d = G( ) = 500 b + 10 ln 1+ e 5000 ln(1 + e ) 500 b 750,76 Da der Summand mit dem ln-term für große b gegen Null strebt, kann das Integral wie angegeben abgeschätzt werden. Der Gesamtverbrauch nimmt also, wie behauptet, näherungsweise linear zu. Bemerkung: Es kann auch mit der waagerechten Asymptote y=500 entsprechend argumentiert werden. Das Grenzwertverhalten lässt den Schluss zu, dass ab einem Zeitpunkt G der Wert des Integrals näherungsweise nur noch linear wächst. Anforderungsbereiche Bewertung I II III c) g gehört mit a=-0,1 zur Kurvenschar. Damit liegt es nahe, Kurven mit Parameterwerten im Bereich von -0,1 zu zeichnen: Beschreibung: (i) Alle Graphen sind streng monoton steigend. (ii) W(75 50) ist Punktsymmetriezentrum und Wendepunkt (siehe a). (iii) g a (75)=50. (iv) W muss Zentrum der Punktsymmetrie sein, weil z.b. die Ableitungskurve für a= - 0,1 achsensymmetrisch zu =75 verläuft. Ein formaler Beweis wird hier nicht erwartet. (v) y=0 und y=500 sind waagerechte Asymptoten. (vi) Die Kurven unterscheiden sich in der Steilheit zwischen den Asymptoten. Skizze von vier Kurven. 1 9 Summe: 15 6 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

22 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen a) Nullstelle N =0, N(0 0) f '( ) = e (1 ); f ''( ) = e f '( E ) = 0 E = ; f ''( ) < 0; Hochpunkt H(,6598) 0 0 f ''( W ) = 0 W =, W(,85) Anforderungsbereiche Bewertung I II III Skizze: 8 b) Polynomansatz: g()=a ³+b ²+c +d Einsetzen der Koordinaten; Gleichungssystem mit Hilfe des GTR lösen (Matri zum Lösen des LGS oder kubische Regression): g()=0,075-0,765²+,5 Zur Beurteilung der Differenz ist es sinnvoll, die Wertepaare zumindest im Rechner darzustellen (oder in das KS mit einzuzeichnen). 7 Das Maimum der Differenzfunktion (ggf. ist die Funktion der Absolutdifferenz zu betrachten) ist zu ermitteln, was numerisch bzw. grafisch geschehen kann. 7 c) d) Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung von f bestimmt. Der Graph kann mittels Ableitungsterm oder mit den Modulen des GTR erstellt werden. Skizze Benötigt werden die Etremstellen der ersten Ableitung, also die Wendestellen von f: Diese sind ggf. auch numerisch/grafisch bestimmbar. Zu w =0/ mit f ( w )>0 gehört ein Minimum: nach 6 / Minuten ist die minimale momentane Änderungsrate vorhanden, und zwar mit etwa -0,51 Einheiten pro Minute. Bei der maimalen momentanen Änderungsrate handelt es sich um ein Randetremum bei =0 (siehe Graph von f ): Bei =0 ist die Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) mit,8 Einheiten pro Minuten am größten. Nachweis von F () = f() Produkt- und Kettenregel beim Ableiten von F anwenden Integral numerisch lösen: A=,81 [FE] Summe: 15 6 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

23 Zentralabitur 007 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Unten ist eine Skizze einer Brücke in Seitenansicht dargestellt: Die Seilbefestigungen in den Punkten B und D liegen jeweils 15 m höher als die Fahrbahn; sie haben einen Abstand von 180 m voneinander. Die Verankerungsseile der beiden Masten durch B und D sind in den Fußpunkten A und E befestigt, die einen Abstand von 7 m von den Fußpunkten der Masten haben, das Seil berührt die Fahrbahn im Punkt C. a) Modellieren Sie mithilfe von ganzrationalen Funktionen möglichst niedrigen Grades den Verlauf der Spanndrahtseile durch Funktionen f 1, f, f (1) von A nach B, () von B über C nach D, () von D nach E. Skizzieren Sie die Graphen der Modellierungsfunktionen [ Achse: 1cm 100m, y - Achse: 1cm 5m, DIN-A quer]. b) Gegeben ist die Funktionenschar k u mit u u k () = u e + e, u > 0. Nebenstehend sind drei Graphen der Schar gezeichnet. Bestimmen Sie Parameterwerte für u zu (I), (II), (III). Entnehmen Sie der Zeichnung Vermutungen über das Verhalten der Graphen von k u für große Werte von, Symmetrie, Nullstellen und Etrempunkte. Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters u auf die Graphen. Weisen Sie ihre Vermutungen bzgl. der Nullstellen, Etrempunkte und des Verhaltens für große Werte von algebraisch nach. Niedersächsisches Kultusministerium von 10

24 Zentralabitur 007 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A c) Modellieren Sie den Seilverlauf von B über C nach D mit Hilfe einer Funktion aus der Funktionenschar g a,b mit a,b b b g () = a + e + e ; a < 0,b > 0. Erläutern Sie den Einfluss der beiden Parameter a und b für die Modellierung des Seilverlaufs. Bestimmen Sie den Wert von a. Geben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von b und ein mögliches Lösungsverfahren an. Weisen Sie nach, dass b 0,00787 ist. Skizzieren Sie den Graphen der neuen Modellierungsfunktion in das Koordinatensystem aus a) und beschreiben Sie qualitativ den augenscheinlichen Unterschied der beiden Modellierungen. d) Gehen Sie von der vereinfachten Modellierungsfunktion g mit 0, ,00785 g() = e + e, für B D im Bereich zwischen B und D aus. In dem Bereich zwischen C und D soll auf der einen Brückenseite eine rechteckige Werbefläche vermietet werden. Die Fläche soll parallel zu AE (i) am Pfeiler, der in D endet, (ii) an einem 1 m hohen Brückengeländer und (iii) am Drahtseil verankert werden. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Fläche mit maimalem Inhalt. Bestimmen Sie die Höhe der zu erwartenden Einnahme der Betreibergesellschaft pro Jahr für diese Werbefläche, wenn pro m² Fläche 00 pro Jahr veranschlagt werden. Bestimmen Sie, wie groß der durch diese Werbefläche nicht verdeckte Flächenteil zwischen den beiden Pfeilern unterhalb des Seiles ist. Niedersächsisches Kultusministerium von 10

25 Zentralabitur 007 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Bestimmte Wachstumsvorgänge werden beschrieben durch Funktionen f k mit 100 f k(t) =, k 0 k t 79 e >, wobei f k (t) den Bestand zu einem Zeitpunkt t ( t 0 ) angibt. + 1 a) Berechnen Sie einen Wert für k so, dass f k (15) 5 ist. Skizzieren Sie den Graphen zu f 0,5. Bestimmen Sie für k = 0,5 den Zeitpunkt t, ab dem der Bestand 99% des maimalen Bestandes überschreitet. Bestimmen Sie die erste Ableitungsfunktion von f k. Untersuchen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit dieser Vorgänge: Bestimmen Sie die Bereiche, in denen sie zu- bzw. abnimmt, sowie die maimale Wachstumsgeschwindigkeit. Zur Kontrolle: k t / 7900 k e k = k t f (t) (79 e + 1) Ohne Nachweis können Sie verwenden: k t k t // k = k t f (t) 7900 k e (1 79e ) (79 e + 1) b) Bestimmen Sie eine Funktion g so, dass die Differentialgleichung g'(t) = a g(t) für ein a IR gilt und für t = 0 und t = 15 die Funktionswerte g(t)und f 0,5 (t) übereinstimmen. Bestimmen Sie eine Funktion h so, dass die Differentialgleichung h'(t) = b (100 h(t)) für ein b IR gilt und für t = 0 und t = 5 die Funktionswerte h(t) und f 0,5 (t) übereinstimmen. / 1 Für die Funktion f 0,5 gilt: f 0,5(t) = 0,5 f 0,5(t) (100 f 0,5(t)). 100 Deuten Sie aufgrund dieser Aussage den Verlauf des Graphen von f 0,5. c) Bei einem Wachstumsprozess wird der Bestand gemessen. Man erhält folgende Daten: Zeit in Stunden Bestand in Mengeneinheiten (ME) Zur Beschreibung des Bestandes wird die Funktion z vorgeschlagen mit 0, t 1,5 e für 0 t 15 z(t) = 6,05 t 55,75 für 15 < t < 0. 0, t e für t 0 Skizzieren Sie den Graphen von z. Beschreiben Sie die einzelnen Teile des Graphen unter dem Aspekt Wachstum. Geben Sie begründet ein mögliches Kriterium an, um zu entscheiden, welche der beiden Funktionen z oder f 0,5 die Daten besser beschreibt. Entscheiden Sie sich anhand dieses Kriteriums für eine der beiden Funktionen. d) Bestimmen Sie jeweils den Flächeninhalt der Fläche zwischen der t - Achse und dem Graphen zu z bzw. zu f 0,5 für 0 t 5. Nehmen Sie begründet Stellung zu der Aussage: Wenn für zwei Funktionen die Flächeninhalte der Flächen zwischen der t - Achse und dem jeweiligen Graphen in einem Intervall näherungsweise gleich sind, dann ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen in diesem Intervall näherungsweise null. Niedersächsisches Kultusministerium von 10

26 Zentralabitur 007 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen BE AFB a) Erläuterte Herleitung der Modellierung mittels linearen Funktionen und Parabel, Ausnutzung von Symmetrien: 15 f () = ( + 60) + 15, 977 < f () = ², ² f () = ( 60) + 15, 60 < Skizze b) Bestimmung von Parametern: u I =5, u II =1, u III 0,1. Aussagen (mit Nachweis zu Grenzwertverhalten, Nullstellen, Etrempunkten) Grenzwertverhalten: k u() + ± Symmetrie: Achsensymmetrie nur für u=1 Nullstellen: nicht vorhanden Etrempunkte: Tiefpunkt T(0 u+1) für alle u Einfluss des Parameters: der Parameter beeinflusst den y-wert des Tiefpunkts und die Steigung des Graphen, damit die Geschwindigkeit im Grenzwertverhalten. Z.B. ist für u=0,1 der linke Ast sehr viel flacher als der rechte. 7 I / II 15 I / II c) Erläuterung: Einfluss der Parameter auf die Funktionsgraphen, z.b. a: Verankerung bei (0 0), b: Verankerung der Aufhängung an den Pfeilerköpfen (±60 15) Bestimmung a=- Die Bestimmungsgleichung für b aufstellen: g a,b (60)=15 = - + e 60b + e -60b Angabe eines Lösungsverfahrens (numerisch, grafisch, algebraisch mit Substitution z= e 60b ) Der Nachweis für b lässt sich auch z.b. durch Einsetzen durchführen. Ergänzung der Skizze durch die Kettenlinie. Vergleich von Parabel und Kettenlinie: Die Kettenlinie hängt deutlich ausgeprägter durch. 15 II / III d) Der Inhalt des Rechtecks kann durch folgende Funktion beschrieben werden: 0, ,00785 A() = (60 ) (e + e ) (60 ) 1 = + 0, ,00785 (60 ) (e e 1) Das Geländer muss hierbei als Begrenzung beachtet werden. Die Bestimmung des Maimums führt auf eine Gleichung, die hier nur grafisch oder numerisch gelöst werden kann. Eckpunkte (51,77 1), (51,77 56,90), (60 1), (60 56,90) ma 51,77 [m] ; A ma 7000 [m²] ; Preis [ ] Nicht verdeckte Fläche aus Gesamtseitenfläche und Plakatfläche: 60 A = g() d A 179 [m²] Rest 0 ma Der Wert des Integrals kann auch grafisch bestimmt werden. 18 II / III Summe: 60 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

27 Zentralabitur 007 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen BE AFB a) Bestimmungsgleichung 100 = 5 lösen. k 0,5 k e + 1 Graph Algebraisch/numerisch/grafisch: Nach ln(781) bzw. ca. 5,9 Zeiteinheiten sind mehr als 99% des maimalen Bestandes vorhanden. Ableitungsfunktion ln(79) Zunehmend für 0 t, abnehmend für ln(79) t k k / ln(79) Maimale Wachstumsgeschwindigkeit: f k ( ) = 5k k b) Lösen der Differentialgleichungen, für g z.b. unter Rückgriff auf den bekannten Zusammenhang zur entsprechenden Wachstumsfunktion: ln(8) t 15 0, t =. g(t) 1,5 e 1,5 e Für h z.b. über die Betrachtung der Hilfsfunktion l mit l(t) = 100 h(t), wobei sich über l'(t) Wege, wie Umformung zu = b l(t) ein weiteres Vorgehen wie für g ergibt. Andere h'(t) b = und Übergang zur Stammfunktion, 100 h(t) 0, t sind gleichwertig. Man erhält z.b. h(t) e, bei Rechnung mit Näherungen ähnliche, gleichwertige Ergebnisse. Bezug zwischen den Faktoren f 0,5 (t), 100 f 0,5(t) und dem Graphen für entsprechende Teilbereiche, Erläuterungen c) Graph, Beschreibung unter Bezug auf die drei Teilfunktionen (eponentielles, lineares, beschränktes Wachstum) I / II 1 I / II 6 II 6 Mögliche Kriterien sind hier z.b.: Gesamtabstand, mittlerer Abstand, Mittel der Abstandsquadrate, auch maimaler Abstand bei entsprechendem Bezug zur Gesamtdarstellung, jeweils bezogen auf die funktionale Beschreibung und die gegebenen Daten. Eine rein visuelle Entscheidung ist unvollständig. Begründung. In der Regel führen die Kriterien dazu, dass die Funktion z besser geeignet ist. 8 d) Az 1751,9 [FE], Af 0,5 175, [FE] Die Aussage ist falsch, die Argumentation kann z.b. über das verwendete Beispiel, aber auch anhand anderer einfacher Beispiele erfolgen. 6 Summe: 60 II II / III II II / III Niedersächsisches Kultusministerium von 8

28 Zentralabitur 007 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Erwartungshorizont Erwartete Schülerleistungen BE AFB a) P(6;6) = = Es liegt eine Binomialverteilung mit n=700 und P(E)= P(15 k 0) 0,8 b) 175 µ = 19, und σ,5 9 NORMALVERTEILUNG: Die Bedingung n p q > 9 ist erfüllt. c) 1 p = vor ,5 19, 15 0,5 19, P(E) Φ( ) Φ ( ),5,5 P(E) Φ(0,) Φ( 1,1) 0,677 Benutzt ein Prüfling die Normalverteilung ohne Korrekturglied (Ergebnis P(E) 0,979), so ergibt sich ein erheblicher Fehler, der in der geforderten Beurteilung der Qualität der Ergebnisse durch den Prüfling deutlich gewürdigt werden muss. Erfolgt ein Hinweis auf das fehlende Korrekturglied, so ist die Lösung als richtig, sonst als eingeschränkt richtig zu bewerten. POISSONVERTEILUNG: 0 k 19, 19, P(E)= e 0,801 k= 15 k! Mögliches Kriterium: n>100 und p<0,1 ist erfüllt. absolute Abweichungen: 0,0166, bzw. 0,00 (relative Abweichungen:,% bzw. 0,87%) Durch Rundungen kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen. Bedingungen: f k () 0 und f ()d 1 k = Die erste Bedingung ist erfüllt, weil k>0 gilt f k()d = k 0,00 5 = = 0 k 196 I II Laut Aufgabenstellung soll nur die Randkurve unter Beibehaltung der Integrationsgrenzen verändert werden. P(E) = 0, f ()d 0,18 (mit Korrekturglied) 0,00 1,1 Die Abweichung vom Wert aus a) ist erheblich und beträgt etwa 0,07 bzw. 15%. Durch Rundungen oder genauere Rechnerwerte kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen. Interpretiert ein Prüfling die Aufgabenstellung so, dass neue Integrationsgrenzen zu ermitteln sind, so kann er dies über die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung durchführen. 1 II / III Summe: 0 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

29 Zentralabitur 007 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe Erwartungshorizont a) λ = µ + λ = µ Erwartete Schülerleistungen BE AFB Das Gleichungssystem hat die Lösungen λ = 11 6, µ = λ = + k µ Für k = gibt es einen Schnittpunkt S( ). Sonst sind die Geraden windschief zueinander, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind. Für k = spannen die beiden Geraden die Ebene E: 117 =7 auf. 60 Der Abstand zum Ursprung beträgt ca. 0,8 LE. b) Gesucht sind die beiden Lotfußpunkte für die Bestimmung des Abstandes windschiefer Geraden. 9 λ - 8 µ = 1 8 λ - 17 µ = 11 Über das Gleichungssystem erhält man die Lösungen λ = 1 und µ = 1 sowie die Punkte A( -) und B( 1 ). 1 f() = = ( 5) + ( 5) + ( + ) 6 I / II Die Funktion f mit f() = hat bei = 1 ein Minimum mit dem Funktionswert 7. Der Wert 7 gibt den Abstand der beiden windschiefen Geraden an und ist identisch mit der Länge des Vektors AB. II / III Summe: 0 Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 8

30 Zentralabitur 007 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A In Niedersachsen wächst die Anbaufläche für Mais kontinuierlich. Jährlich entstehen neue Züchtungen, die auf Versuchsfeldern angebaut und kontrolliert werden. Zur Untersuchung des Höhenwachstums bei gleich bleibend guten Bedingungen wurde bei der Sorte ANGELA die folgende Messwerttabelle aufgenommen. Zeit t in Wochen Höhe H(t) in Metern 0,19 0,5 0,90 1,8,11,5,9,8 Maispflanzen dieser Sorte können höchstens,50 m groß werden. a) Gehen Sie vom Modell des beschränkten Wachstums aus und lösen Sie die entsprechende Differentialgleichung h (t) = a (,5 h(t)). Bestimmen Sie eine Funktion, die das Höhenwachstum entsprechend dieser Modellannahme beschreibt. Sollten Sie zu keinem Ergebnis kommen, so können Sie im Folgenden mit der Funktion h 0, t mit h(t) =,5,1 e arbeiten. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion h in das vorgegebene Diagramm (Anlage). Begründen Sie anhand der Skizze, dass sich das gewählte Modell nicht gut eignet. b) Jetzt wird logistisches Wachstum als Modellannahme zugrunde gelegt. Begründen Sie, dass das vorgegebene Diagramm diese Annahme nahe legt. Dieses logistische Wachstum kann durch die Differentialgleichung f (t) = 0, (,5 f(t)) f(t) beschrieben werden. Weisen Sie nach, dass die Funktion f mit f(t) = 0,5t,5 e diese Differentialgleichung löst. 0,5t e + 1 c) Bestimmen Sie algebraisch den Grenzwert der Funktion f für t. 5 Weisen Sie nach, dass W( ln(1) ) Wendepunkt des Graphen von f ist beim Nachweis kann auf die Überprüfung mit Hilfe der. Ableitung verzichtet werden. 0,5t 0,5t 7,5e (e 1) Zur Kontrolle: f ''(t) =. 0,5t (e + 1) Interpretieren Sie die Ergebnisse für die Höhe und für die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f in das vorgegebene Diagramm. Berechnen Sie die durchschnittliche Abweichung der Funktionswerte f(t) von den gemessenen Höhen. d) Gehen Sie davon aus, dass Mais geerntet werden sollte, wenn er eine Höhe von etwa,5 m erreicht hat. Zur Beschleunigung des Wachstums wurde genmanipulierter Mais gezüchtet, dessen Höhe,5 e annähernd durch eine Funktion der Schar f k mit f k(t) = beschrieben wird (siehe b). kt e + 1 Dieser genmanipulierte Mais kann etwa zwei Wochen früher als die Sorte ANGELA geerntet werden. Bestimmen Sie k. Bestimmen Sie den allgemeinen Zusammenhang von Parameter k und Erntezeitpunkt. kt Niedersächsisches Kultusministerium von 9