Hinweise für den Prüfling

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1 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Gymnasium Hinweise für den Prüfling Auswahl der Aufgaben 1. Wählen Sie eine der Analysis-Aufgaben 1A oder 1B aus.. Wählen Sie einen der Aufgabenblöcke A oder B aus. Beide Blöcke bestehen aus je einer Aufgabe zur Analytischen Geometrie und einer zur Stochastik. a. Block A hat den Schwerpunkt Stochastik b. Block B hat den Schwerpunkt Geometrie. Sie müssen insgesamt eine Analysis-Aufgabe und einen Aufgabenblock bearbeiten. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Hilfsmittel 1. Von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung. Zeichenmittel 3. Duden und Fremdwörterleikon 4. Eingeführter Rechnertyp wie im Kopf der Aufgabe beschrieben. Niedersächsisches Kultusministerium 1 von 11

2 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Auf einer Landkarte sind zwei Eisenbahnlinien zu sehen, deren Verläufe durch die Graphen der e + beiden Funktionen f und g mit f( ) = e und 4 g( ) = in guter Näherung e + beschrieben werden können (siehe Anlage 1). a) Nennen Sie drei wesentliche Eigenschaften beider Graphen. Jemand behauptet, dass die beiden Eisenbahnlinien weitgehend die gleiche Form haben. Beurteilen Sie diese Behauptung. Weiter wird behauptet, dass sich beide Eisenbahnlinien rechtwinklig kreuzen. Untersuchen Sie diese Behauptung. Hinweis: Benutzen Sie zur Bestimmung von Ableitungswerten den GTR. b) In P(0-1) soll eine neue Abzweigung zur anderen Eisenbahnlinie gebaut werden, die in Q( 0) in die andere Linie einmündet. Die neue Verbindung soll in den Endpunkten krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) in die alten Eisenbahnlinien übergehen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Modellierungsfunktion p, deren Graph dies vollständig leistet. Skizzieren Sie den Graphen Ihrer Funktion in das Koordinatensystem in der Anlage. Hinweis 1: Es empfiehlt sich, zur Bestimmung von Tangentensteigungen den Rechner zu nutzen. Runden Sie gegebenenfalls sinnvoll. Hinweis : P und Q sind Wendepunkte der betreffenden Graphen Zwischenergebnis: p( ) = c) Durch die neu entstandene Trasse muss Land dazu gekauft werden, und zwar das Land, das zwischen neuer und alter Trasse liegt. Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche. d) Zur Ermittlung der Kosten der neuen Trasse benötigt man die Länge. Berechnen Sie näherungsweise die Länge der neuen Trasse, indem Sie diese durch vier lineare Teilstücke annähern. Erläutern Sie, wie man von diesem Ansatz ausgehend die Trassenlänge berechnen kann. Die Berechnung der so genannten Bogenlänge des Teilgraphen einer Funktion f im Intervall von =a bis =b erfolgt mit dem Integral 1 + ( f '( )) d. Berechnen Sie damit die Länge der neuen Trasse und bewerten Sie die Qualität der Näherung mit den vier linearen Teilstücken. e) Anlage zeigt den Graphen der Krümmungsfunktion zur Funktion p. Bestimmen Sie mit Hilfe dieses Graphen für die neue Trasse mit Begründung die Stelle, an der der Zug am langsamsten fahren muss. b a Niedersächsisches Kultusministerium von 11

3 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A Material: Anlage 1: Anlage : Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 11

4 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Gegeben ist die Funktionenschar f k mit ( ) = k f e 1 mit k k IN \{ } 0;1 und ID = IR. a) Untersuchen und beschreiben Sie die Funktionenschar; gehen Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Abhängigkeit vom Parameter k ein; von der Untersuchung von Nullstellen ist dabei abzusehen. Skizzieren Sie jeweils drei typische Vertreter (k gerade beziehungsweise k ungerade). Belegen Sie Ihre Aussagen zum Verhalten im Unendlichen, zu den Etremstellen sowie zu gemeinsamen Punkten der Scharkurven durch entsprechende Berechnungen. k f ''( ) = + k + k k e. Sie können dabei benutzen, dass gilt: ( ) k b) Für einzelne Funktionen der Schar f k wurden folgende Stammfunktionen gefunden: f ( ) d = + e + c ( ) 3 ( ) 4 3 ( ) ( ) f ( ) d = e + c f ( ) d = e + c f ( ) d = e + c, c IR Beschreiben Sie Gesetzmäßigkeiten und erläutern Sie diese für k=6. c) Die Kurve zu f 4 stelle eine Straße dar (siehe Anlage). Diese soll zwischen = - 6 und =0 durch eine neue Straße ersetzt werden, die an den Endstellen krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) in die alte Straße übergeht. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion p, deren Graph diese Straße modelliert. Skizzieren Sie den Graphen in das Koordinatensystem in der Anlage. Falls Sie keine Funktion ermitteln können, nehmen Sie p( ) = 0, , , d) Ein Teil der entstandenen Freifläche zwischen der alten und der neuen Straße muss von der Stadt begrünt werden. Ermitteln Sie die Größe dieses Flächenstücks zwischen = - 6 und = - 1. Eine Parallele zur y-achse schneidet aus dieser Fläche eine Strecke heraus. Berechnen Sie die Stelle, wo die Strecke am längsten ist. Geben Sie die maimale Länge an. e) Es soll ein Glaspokal gestiftet werden, dessen Querschnittsform an die Gestalt der Grünfläche erinnern soll: Dazu werden zwei neue Funktionen g und h mit den Gleichungen g()=f 4 ()+ und h()=p()+1 kreiert. Deren Graphen rotieren um die -Achse und umranden zwischen = - 6 und =0 den Pokal. Berechnen Sie das Volumen des benötigten Glases ( 1 LE = ˆ 5cm ). Ermitteln Sie, wie viel Flüssigkeit der Pokal fasst (gleicher Maßstab). Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 11

5 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1B Material: Anlage: Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 11

6 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Ein Pyramidenstumpf wird zum Würfeln benutzt. In der Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 1 bis 6 angegeben. Ergebnis Wahrscheinlichkeit 0,30 0,15 0,15 0,15 0,15 0,10 a) Dieser Würfel wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: E 1 : Es erscheinen drei ungerade Zahlen. E : Die Augensumme ist 5. E 3 : Lässt man von den drei geworfenen Zahlen irgendeine weg, so ergibt sich die Ziffernfolge 34. b) Das dreimalige Werfen soll 30 Mal simuliert werden. Beschreiben Sie die Simulation nachvollziehbar, führen Sie sie durch, notieren Sie die Resultate und markieren Sie die zum Ereignis E gehörenden Ergebnisse. Bestimmen Sie die relative Häufigkeit von E, vergleichen Sie sie mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. c) Ein aus Holz gefertigter Pyramidenstumpf hat einen Asteinschluss. Dadurch könnte sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung verändert haben. Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 1 soll überprüft werden. Entwickeln Sie ein Testverfahren mit n = 100 und α = 5%. Wenden Sie anschließend das von Ihnen entwickelte Testverfahren auf die folgende Stichprobe an und entscheiden Sie, ob der Verdacht berechtigt erscheint. 1,5,1,,,6,1,1,1,5,4,1,6,1,5,,1,3,1,1,5,1,6,1,3,5,1,1,,5,3,,1,4,3,1,1,,1,5,6,3,4,1,1,,3,1,5 1,1,3,4,1,,1,5,3,6,1,,1,4,1,,3,4,1,1,3,1,,3,4,6,6,4,1,4,1,3,5,4,3,,4,4,1,3,1,3,6,3,4,1,,3, 3,5 Material 1. Tabelle mit Zufallsziffern Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 11

7 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Fortsetzung Aufgabe 1. Binomialverteilung n=100, p=0.3 k P(X = k) P(X k) k = P(X k) P(X k) 0 0,0000 0, ,0613 0,44 1 0,0000 0, ,070 0,964 0,0000 0, ,0804 0, ,0000 0, ,0856 0, ,0000 0, ,0868 0, ,0000 0, ,0840 0, ,0000 0, ,0776 0, ,0000 0, ,0685 0, ,0000 0, ,0579 0, ,0000 0, ,0468 0, ,0000 0, ,036 0, ,0000 0, ,068 0, ,0000 0, ,0191 0, ,0000 0, ,0130 0, ,0001 0, ,0085 0, ,000 0, ,0053 0, ,0006 0, ,003 0, ,001 0, ,0019 0, ,004 0, ,0010 0, ,0044 0, ,0005 0, ,0076 0, ,0003 0, ,014 0, ,0001 0,9999 0,0190 0, ,0001 0, ,077 0, ,0000 1, ,0380 0, ,0000 1, ,0496 0, ,0000 1,0000 Weitere Werte für k verändern die Wahrscheinlichkeiten nicht mehr. Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 11

8 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe Gegeben ist ein Viereck ABCD durch seine Eckpunkte A(1 1 1), B(0 3 3), C( 5) und D(3 0 3). a) Zeigen Sie, dass das Viereck ein ebenes Viereck ist und untersuchen Sie, um welche besondere Art von Viereck es sich handelt. Begründen Sie, dass die Spitzen S k von senkrechten Pyramiden mit der Grundfläche 1,5 ABCD auf einer Geraden g mit der Gleichung = 1,5 + k liegen. 3 1 b) S k sei eine Pyramidenspitze auf der Geraden g aus Aufgabenteil a). Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide ABCDS k in Abhängigkeit von k. Erläutern Sie, ob es zu jeder Pyramide ABCDS k eine Kugel K k gibt, auf der sowohl die Eckpunkte der Grundfläche als auch die Spitze S k der Pyramide liegen. Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 11

9 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A(3-4), B(-1 1-1) und C( 5 4) sowie die Ursprungsgerade 0 g: = t 1. 1 a) Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C in Parameter und Koordinatenform (mögliche Lösung: 7 + y 5z = -1 ). b) Untersuchen Sie, ob die Gerade g die Ebene E schneidet, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. Untersuchen Sie, ob es eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1-3) gibt, die die Ebene E berührt. Gegebenenfalls bestimmen Sie ihren Radius. c) Ein Punkt P bewegt sich auf der Ursprungsgeraden g aus Teil a). D(1 ) sei ein fester Punkt. Jeder Punkt P auf der Geraden g hat zum Punkt D einen bestimmten Abstand d(t). Geben Sie einen Term für d(t) an und stellen Sie den Abstand d(t) in Abhängigkeit von t grafisch dar. Interpretieren Sie den Graphen. Niedersächsisches Kultusministerium 9 von 11

10 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe In einer Fabrik werden Nägel von cm Normlänge produziert. Die Länge der Nägel ist dabei als Zufallsgröße X näherungsweise normalverteilt mit den Kenngrößen µ = cm und σ = 0, cm. X X a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein produzierter Nagel länger als,4 cm ist. Nägel, deren Längen um mehr als 0,4 cm von der Norm abweichen, werden aussortiert und nicht verkauft. Sie werden als fehlerhaft eingestuft. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nagel fehlerhaft ist (mögliches Ergebnis: 4,56% ). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Paket mit 30 Nägeln höchstens fehlerhaft sind. Bestimmen Sie, wie viele Nägel gezogen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,9% mindestens ein fehlerhafter Nagel dabei ist. Material 1. Tabelle der Binomialverteilung n=30, p= p=0,0456 p=0,0456 k P(X=k) kumuliert 0 0,4655 0, , ,6000 0,4483 0, , , ,0351 0, , , , , ,0009 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Niedersächsisches Kultusministerium 10 von 11

11 Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Fortsetzung Aufgabe. Tabelle der Normalverteilung Φ() Φ() Φ() Φ() Φ() Φ() 0 0, ,5 0, , ,5 0, ,9775,5 0, ,01 0, ,51 0, ,01 0, ,51 0,93448,01 0,97778,51 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0,93574,0 0,97831,5 0, ,03 0, ,53 0, ,03 0, ,53 0,93699,03 0,9788,53 0, ,04 0, ,54 0, ,04 0, ,54 0,938,04 0,9793,54 0, ,05 0, ,55 0, ,05 0, ,55 0,93943,05 0,9798,55 0, ,06 0,539 0,56 0,716 1,06 0, ,56 0,9406,06 0,98030,56 0, ,07 0,5790 0,57 0, ,07 0, ,57 0,94179,07 0,98077,57 0,9949 0,08 0, ,58 0, ,08 0, ,58 0,9495,08 0,9814,58 0, ,09 0, ,59 0,740 1,09 0,8614 1,59 0,94408,09 0,98169,59 0,9950 0,1 0, ,6 0,7575 1,1 0, ,6 0,9450,1 0,9814,6 0, ,11 0, ,61 0,7907 1,11 0, ,61 0,94630,11 0,9857,61 0, ,1 0, ,6 0,7337 1,1 0, ,6 0,94738,1 0,98300,6 0, ,13 0,5517 0,63 0, ,13 0, ,63 0,94845,13 0,98341,63 0, ,14 0, ,64 0, ,14 0,8786 1,64 0,94950,14 0,9838,64 0, ,15 0,5596 0,65 0,7415 1,15 0, ,65 0,95053,15 0,984,65 0, ,16 0, ,66 0, ,16 0, ,66 0,95154,16 0,98461,66 0, ,17 0, ,67 0, ,17 0, ,67 0,9554,17 0,98500,67 0,9961 0,18 0,5714 0,68 0, ,18 0, ,68 0,9535,18 0,98537,68 0,9963 0,19 0, ,69 0, ,19 0,8898 1,69 0,95449,19 0,98574,69 0, , 0,5796 0,7 0, , 0, ,7 0,95543, 0,98610,7 0, ,1 0, ,71 0, ,1 0, ,71 0,95637,1 0,98645,71 0, , 0, ,7 0,7644 1, 0, ,7 0,9578, 0,98679,7 0, ,3 0, ,73 0, ,3 0, ,73 0,95818,3 0,98713,73 0, ,4 0, ,74 0, ,4 0,8951 1,74 0,95907,4 0,98745,74 0, ,5 0, ,75 0, ,5 0, ,75 0,95994,5 0,98778,75 0,9970 0,6 0,6057 0,76 0, ,6 0, ,76 0,96080,6 0,98809,76 0, ,7 0,6064 0,77 0, ,7 0, ,77 0,96164,7 0,98840,77 0,9970 0,8 0,6106 0,78 0,7830 1,8 0, ,78 0,9646,8 0,98870,78 0,9978 0,9 0, ,79 0,7854 1,9 0, ,79 0,9637,9 0,98899,79 0, ,3 0, ,8 0, ,3 0,9030 1,8 0,96407,3 0,9898,8 0, ,31 0,617 0,81 0, ,31 0, ,81 0,96485,31 0,98956,81 0,9975 0,3 0,655 0,8 0, ,3 0, ,8 0,9656,3 0,98983,8 0, ,33 0,6930 0,83 0, ,33 0,9084 1,83 0,96638,33 0,99010,83 0, ,34 0, ,84 0, ,34 0, ,84 0,9671,34 0,99036,84 0, ,35 0, ,85 0,8034 1,35 0, ,85 0,96784,35 0,99061,85 0, ,36 0, ,86 0, ,36 0, ,86 0,96856,36 0,99086,86 0, ,37 0, ,87 0, ,37 0, ,87 0,9696,37 0,99111,87 0, ,38 0, ,88 0, ,38 0,9161 1,88 0,96995,38 0,99134,88 0, ,39 0, ,89 0,8137 1,39 0, ,89 0,9706,39 0,99158,89 0, ,4 0,6554 0,9 0, ,4 0,9194 1,9 0,9718,4 0,99180,9 0, ,41 0, ,91 0, ,41 0,9073 1,91 0,97193,41 0,990,91 0, ,4 0,6676 0,9 0,811 1,4 0,90 1,9 0,9757,4 0,994,9 0,9985 0,43 0, ,93 0,8381 1,43 0,9364 1,93 0,9730,43 0,9945,93 0, ,44 0, ,94 0,8639 1,44 0,9507 1,94 0,97381,44 0,9966,94 0, ,45 0, ,95 0,8894 1,45 0,9647 1,95 0,97441,45 0,9986,95 0, ,46 0,6774 0,96 0, ,46 0,9785 1,96 0,97500,46 0,99305,96 0, ,47 0,6808 0,97 0, ,47 0,99 1,97 0,97558,47 0,9934,97 0, ,48 0, ,98 0, ,48 0, ,98 0,97615,48 0,99343,98 0, ,49 0, ,99 0, ,49 0, ,99 0,97670,49 0,99361,99 0,99861 Normalverteilung Niedersächsisches Kultusministerium 11 von 11

12 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Gymnasium Hinweise für den Prüfling Auswahl der Aufgaben 1. Wählen Sie eine der Analysis-Aufgaben 1A oder 1B aus.. Wählen Sie einen der Aufgabenblöcke A oder B aus. Beide Blöcke bestehen aus je einer Aufgabe zur Analytischen Geometrie und einer zur Stochastik. a. Block A hat den Schwerpunkt Stochastik b. Block B hat den Schwerpunkt Geometrie. Sie müssen insgesamt eine Analysis-Aufgabe und einen Aufgabenblock bearbeiten. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Hilfsmittel 1. Von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung. Zeichenmittel 3. Duden und Fremdwörterleikon 4. Eingeführter Rechnertyp wie im Kopf der Aufgabe beschrieben. Niedersächsisches Kultusministerium 1 von 10

13 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Um ein kreisförmiges Dorf mit dem Radius r= km führt eine Straße herum, die durch den Graph der Funktion f mit ( ) = ( 0,1 + 3) 3 0,1 f e beschrieben wird. Die -Achse beschreibt einen geradlinig verlaufenden Kanal (siehe Anlage 1). a) In =4 soll eine Abzweigung neu gebaut werden (, die in etwa nach Südosten verlaufen soll). Bestimmen Sie für diese Abzweigung eine ganzrationale Modellierungsfunktion, deren Graph in =4 krümmungsruckfrei (d.h. ohne Krümmungssprung) von der vorhandenen Straße abzweigt. Hinweis: Zur Bestimmung der Ableitungswerte an der Stelle =4 sollte der GTR benutzt werden. Skizzieren Sie den Graphen der Modellierungsfunktion in das Koordinatensystem in der Anlage 1. Falls Sie keine Lösung finden können, nehmen Sie folgende Ersatzfunktion p: p( ) = 0, ,3747 +,467 b) Der Stadtplaner überlegt, ob er mit der Parabel p mit p( ) = 0, ,3747 +,467 nicht nur für 4 die Straße modellieren könnte, sondern auch für < 4. Jemand behauptet, dass dann die kreisförmige Stadtmauer im nordwestlichen Teil teilweise weichen müsste, weil die parabelförmige Straße dort entlang führe. Zeigen Sie, dass dies nicht stimmt. Bestimmen Sie den kürzesten Abstand dieser neuen Straße vom Zentrum (0 0) der Stadt und berechnen Sie, wie nahe sich Straße und Stadtmauer kommen. c) Die Fläche zwischen der Senkrechten mit =4, der alten Trasse und dem Kanal muss bis =8 neu dazu gekauft werden. (i) Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche. (ii) Bei der Flächeninhaltsbestimmung ohne Rechnerhilfe stellt sich das Problem, dass für 3 0,1 = + 3 0,1 = 0,1 f( ) 0,1 3 e 0,1 e + 3e für den zweiten die Randfunktion f mit ( ) Summanden kein integralfreier Term der Stammfunktion angegeben werden kann. Der Stadtplaner verwendet stattdessen die Näherungsfunktion g mit 3 0,1 0,4 g( ) = 0,1 e + 3e. Zeigen Sie, dass die Funktion G mit G() ( 0,5 5)e 7,5e von g ist. Berechnen Sie ohne Rechnereinsatz das Integral 0,1 0,4 = eine Stammfunktion ,1 0,4 (0,1 e + 3 e ) d und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem vom Rechner unter (i) ermittelten Wert. Bewerten Sie damit die Qualität der Näherungsfunktion. d) In der Anlage ist der Graph der Krümmungsfunktion der Funktion f zu sehen. Interpretieren Sie die Bedeutung der Nullstellen der Krümmungsfunktion für den Verlauf des Graphen von f. Ermitteln Sie aus der Zeichnung diejenigen Stellen, in denen der zugehörige Radius des Krümmungskreises den Wert hat. Eine dieser Stellen ist 4,71: Beschreiben Sie einen Lösungsweg, wie man die Koordinaten des Mittelpunkts des zugehörigen Krümmungskreises berechnen kann (siehe Anlage 3). f ''( ) Hinweis: Allgemeiner Term der Krümmungsfunktion: K( ) = 1,5 1 + ( f '( )) ( ) Niedersächsisches Kultusministerium von 10

14 N Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1A Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1A Material Anlage 1: y + y = 4 Anlage : Anlage 3: Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 10

15 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B Gegeben ist die Funktionenschar f k mit k 0,5 fk ( ) = e mit k { 1,,3,4,5... }, ID = IR. a) Skizzieren Sie vier typische Vertreter der Graphen der Funktionenschar. Beschreiben Sie ohne Rechnung drei wesentliche Eigenschaften dieser Graphen. Gehen Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Hinblick auf den Parameter k ein. Klassifizieren Sie die Funktionenschar bezüglich der Etremstellen. Begründen Sie Ihre Klassifizierung durch eine entsprechende Rechnung. Zwischenergebnisse, die gegebenenfalls genutzt werden können: ,5 '( ) = ( k k ) k fk k e, k ( ) f ''( ) = 1+ k k k e 0,5 b) Untersuchen Sie, für welche Werte a die Graphen der Funktionenschar g a mit der 3 Gleichung g ( a ) = a mit a IR den Graphen der Funktion f 3 außerhalb des Koordinatenursprungs schneiden. Bestimmen Sie die Berührstellen aller Tangenten an die Kurve der Funktion f 3, die durch den Koordinatenursprung gehen. 0,5 c) Weisen Sie nach, dass F 1 mit F1( ) = e eine Stammfunktion von f 1 ist. Der Graph der Funktion f 1 schließt mit der -Achse eine (nach links und rechts offene) Fläche ein. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. Der nebenstehende Graph stellt die Entwicklung des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f 1 und der Achse mit der unteren Grenze = -3 dar. Erläutern Sie, ausgehend von dem Graphen von f 1, wesentliche Eigenschaften dieses Graphen. d) Von zwei geradlinig verlaufenden Straßen führt eine durch die Punkte Q 1 (- 1) und P(0 ), die andere durch die Punkte Q ( 1) und P(0 ). Um den Verkehrsfluss zu verbessern, sollen die Straßen im Intervall [-;] eine Verbindung erhalten, welche durch den Graphen einer Funktion h beschrieben wird. Der Übergang an den Stellen 1 = - und = soll krümmungsruckfrei (also ohne Krümmungssprung) erfolgen. Begründen Sie, dass man für eine der geraden Straßen die Gleichung y=0,5+ verwenden kann. 1 1 Untersuchen Sie, ob der Graph von h mit h() = e 8 + einen geeigneten Ansatz für die Verbindungsstraße darstellt. Ermitteln Sie den maimalen Krümmungswert 1 von h. 1 Allgemeiner Term der Krümmungsfunktion: K( ) = f ''( ) ( 1 + ( f '( )) ) 1,5 Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 10

16 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Die Kaffeemarke Gute Mischung besteht aus den zwei Kaffeesorten A und B, die schon im Herkunftsland vom Lieferanten gemischt werden. Das Mischungsverhältnis muss genau 1:4 betragen, sonst geht das besondere Aroma des Kaffees verloren und der Ruf der Marke leidet. Der Lieferant und der Händler vereinbaren folgende Qualitätskontrolle: Aus einem Sack der Lieferung wird eine Stichprobe von 150 Kaffeebohnen entnommen. Befinden sich darin 5 35 Bohnen der Sorte A, wird angenommen, dass die Mischung in Ordnung ist. Andernfalls wird sie nicht verarbeitet und der Lieferant muss sie zurücknehmen. Gehen Sie bei den folgenden Berechnungen davon aus, dass das Mischungsverhältnis von A:B in dem untersuchten Sack tatsächlich eakt 1:4 beträgt. a) Berechnen Sie für die Zufallsgröße X: Anzahl der Bohnen der Sorte A Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bei der vorliegenden Stichprobe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die 1σ-, σ- und 3σ- Umgebungen um den Erwartungswert. Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Graphen der Verteilung und markieren Sie den Annahmebereich der Hypothese. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine korrekte Lieferung auf Grund der Untersuchung akzeptiert wird. Berechnen Sie den Fehler 1. Art und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Erläutern Sie, wie sich eine Veränderung dieses Testverfahrens (n=150 und eine Verringerung des Fehlers 1. Art) für Lieferant und Händler auswirken würde. c) Der Lieferant beschließt, den Anteil der teureren Sorte A heimlich zu halbieren, also den Händler zu betrügen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrug des Lieferanten bei dem gleichen Prüfverfahren unentdeckt bleibt. Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 10

17 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Fortsetzung Aufgabe 1 Materialien 1. Tabelle der Binomialverteilung mit n=150 und p=0,. Tabelle der Binomialverteilung mit n=150 und p=0,1 Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 10

18 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe Gegeben sind die Gerade g und die Schar der Ebenen E a durch g: = r 8 0 und E a : 1 1 a =, a IR. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E 0 der Schar (a=0). Der Punkt P(-1 1 7) liegt auf der Geraden g. Der Punkt Q sei der Schnittpunkt einer Ebene E a der Schar mit der Geraden g. Untersuchen Sie, ob es Ebenen E a gibt, so dass die Punkte P und Q 5 LE voneinander entfernt sind. Gegebenenfalls bestimmen Sie die Parameter a. b) Untersuchen Sie, ob es Ebenen E a gibt, die von der Geraden g unter einem Schnittwinkel von α = 30 geschnitten werden. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Parameter a. Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 10

19 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe 1 In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird zum Zeitpunkt null im Punkt P(4 30 0) ein Flugzeug A wahrgenommen, dessen geradlinige Flugbahn durch den Punkt Q(6 1 18) führt. Ein Flugzeug B befindet sich zum Zeitpunkt null im Punkt R( ). Seine geradlinige Flugbahn führt durch den Punkt T(8 8 10). a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugkörper schneiden, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes (Zur Kontrolle: S(1 4 1)). b) In einer Zeiteinheit legt Flugzeug A die Wegstrecke von P nach Q zurück, Flugzeug B den dritten Teil der Wegstrecke von R nach T. Untersuchen Sie, in welchen Positionen sich jeweils Flugzeug A und Flugzeug B nach einer halben Zeiteinheit befinden. c) Zeigen Sie, dass sich die jeweilige Entfernung der Flugzeuge A und B in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben lässt durch die Funktion d mit d(t) = 3 90t 174t Bestimmen Sie den jeweiligen Ort und Zeitpunkt, zu dem die Flugzeuge A und B die geringste Entfernung zueinander besitzen. Untersuchen Sie, zu welchen Zeitpunkten die Flugzeuge jeweils den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen passieren. Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 10

20 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe Ein Metall verarbeitender Betrieb fräst aus Aluminiumblöcken Teile aus, die bei der Montage von Autositzen Verwendung finden. Aus Erfahrung weiß man, dass eine ältere Fräsmaschine eine Ausschussquote von durchschnittlich 10 % besitzt. a) Der laufenden Produktion der Maschine werden zufällig 8 Teile entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass davon höchstens eines unbrauchbar ist. Ein Kunde benötigt 000 Teile. Da er weiß, dass durchschnittlich 10 % der gelieferten Teile unbrauchbar sind, bestellt er vorsichtshalber 50 Teile. Begründen Sie, dass die Anzahl brauchbarer Teile näherungsweise normalverteilt ist und berechnen Sie mit der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass diese Lieferung genügend brauchbare Teile enthält. b) In der Formelsammlung findet man für eine normalverteilte Zufallsvariable X die Gleichung: P ( X µ c) = Φ ( c σ ) - 1 Veranschaulichen Sie diese Gleichung in einer Skizze und leiten Sie diese Beziehung mit Hilfe der folgenden Gleichung her. µ P (X ) = Φ ( ) σ Niedersächsisches Kultusministerium 9 von 10

21 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Schülermaterial Rechnertyp: GTR Leistungskurs Block B Gymnasium Block B Fortsetzung Aufgabe Material Normalverteilung Φ () Φ () Φ () Φ () Φ () Φ () 0 0, ,5 0, , ,5 0, ,9775,5 0, ,01 0, ,51 0, ,01 0, ,51 0,93448,01 0,97778,51 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0,93574,0 0,97831,5 0, ,03 0, ,53 0, ,03 0, ,53 0,93699,03 0,9788,53 0, ,04 0, ,54 0, ,04 0, ,54 0,938,04 0,9793,54 0, ,05 0, ,55 0, ,05 0, ,55 0,93943,05 0,9798,55 0, ,06 0,539 0,56 0,716 1,06 0, ,56 0,9406,06 0,98030,56 0, ,07 0,5790 0,57 0, ,07 0, ,57 0,94179,07 0,98077,57 0,9949 0,08 0, ,58 0, ,08 0, ,58 0,9495,08 0,9814,58 0, ,09 0, ,59 0,740 1,09 0,8614 1,59 0,94408,09 0,98169,59 0,9950 0,1 0, ,6 0,7575 1,1 0, ,6 0,9450,1 0,9814,6 0, ,11 0, ,61 0,7907 1,11 0, ,61 0,94630,11 0,9857,61 0, ,1 0, ,6 0,7337 1,1 0, ,6 0,94738,1 0,98300,6 0, ,13 0,5517 0,63 0, ,13 0, ,63 0,94845,13 0,98341,63 0, ,14 0, ,64 0, ,14 0,8786 1,64 0,94950,14 0,9838,64 0, ,15 0,5596 0,65 0,7415 1,15 0, ,65 0,95053,15 0,984,65 0, ,16 0, ,66 0, ,16 0, ,66 0,95154,16 0,98461,66 0, ,17 0, ,67 0, ,17 0, ,67 0,9554,17 0,98500,67 0,9961 0,18 0,5714 0,68 0, ,18 0, ,68 0,9535,18 0,98537,68 0,9963 0,19 0, ,69 0, ,19 0,8898 1,69 0,95449,19 0,98574,69 0, , 0,5796 0,7 0, , 0, ,7 0,95543, 0,98610,7 0, ,1 0, ,71 0, ,1 0, ,71 0,95637,1 0,98645,71 0, , 0, ,7 0,7644 1, 0, ,7 0,9578, 0,98679,7 0, ,3 0, ,73 0, ,3 0, ,73 0,95818,3 0,98713,73 0, ,4 0, ,74 0, ,4 0,8951 1,74 0,95907,4 0,98745,74 0, ,5 0, ,75 0, ,5 0, ,75 0,95994,5 0,98778,75 0,9970 0,6 0,6057 0,76 0, ,6 0, ,76 0,96080,6 0,98809,76 0, ,7 0,6064 0,77 0, ,7 0, ,77 0,96164,7 0,98840,77 0,9970 0,8 0,6106 0,78 0,7830 1,8 0, ,78 0,9646,8 0,98870,78 0,9978 0,9 0, ,79 0,7854 1,9 0, ,79 0,9637,9 0,98899,79 0, ,3 0, ,8 0, ,3 0,9030 1,8 0,96407,3 0,9898,8 0, ,31 0,617 0,81 0, ,31 0, ,81 0,96485,31 0,98956,81 0,9975 0,3 0,655 0,8 0, ,3 0, ,8 0,9656,3 0,98983,8 0, ,33 0,6930 0,83 0, ,33 0,9084 1,83 0,96638,33 0,99010,83 0, ,34 0, ,84 0, ,34 0, ,84 0,9671,34 0,99036,84 0, ,35 0, ,85 0,8034 1,35 0, ,85 0,96784,35 0,99061,85 0, ,36 0, ,86 0, ,36 0, ,86 0,96856,36 0,99086,86 0, ,37 0, ,87 0, ,37 0, ,87 0,9696,37 0,99111,87 0, ,38 0, ,88 0, ,38 0,9161 1,88 0,96995,38 0,99134,88 0, ,39 0, ,89 0,8137 1,39 0, ,89 0,9706,39 0,99158,89 0, ,4 0,6554 0,9 0, ,4 0,9194 1,9 0,9718,4 0,99180,9 0, ,41 0, ,91 0, ,41 0,9073 1,91 0,97193,41 0,990,91 0, ,4 0,6676 0,9 0,811 1,4 0,90 1,9 0,9757,4 0,994,9 0,9985 0,43 0, ,93 0,8381 1,43 0,9364 1,93 0,9730,43 0,9945,93 0, ,44 0, ,94 0,8639 1,44 0,9507 1,94 0,97381,44 0,9966,94 0, ,45 0, ,95 0,8894 1,45 0,9647 1,95 0,97441,45 0,9986,95 0, ,46 0,6774 0,96 0, ,46 0,9785 1,96 0,97500,46 0,99305,96 0, ,47 0,6808 0,97 0, ,47 0,99 1,97 0,97558,47 0,9934,97 0, ,48 0, ,98 0, ,48 0, ,98 0,97615,48 0,99343,98 0, ,49 0, ,99 0, ,49 0, ,99 0,97670,49 0,99361,99 0,99861 Niedersächsisches Kultusministerium 10 von 10