K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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Mona Bayer
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1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl (max) Notenpunkte PT P. (max) WT Ana A.1a) b) c) Summe P. (max) WT Geo G.a) b) c) S Summe P. (max) GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden. 1

2 Pflichtteil (1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = (5 x 2 )e 3x. (2) Berechnen Sie das Integral 2 4 2x 1 dx. (3) Lösen Sie die Gleichung 1 x 4 4x 2 = 5. (4) Gegeben sind die Funktion f und g mit f(x) = 3 x 2 +5e x und g(x) = 2x + 5e x. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen werden. (5) Eine Funktion f hat folgende Eigenschaften: (1) f(0) = 2 (2) f (0) = 0, f (0) < 0 (3) f( x) = f(x) (4) f(x) = f(x + 2π) Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen. (6) Gegeben sind die beiden Ebenen E 1 : 2x 1 2x 2 + x 3 = 1 und die Ebene E 2 durch die A(1 2 3), B(6 4 4) und C(0 0 2). (a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E 2. (b) Bestimmen Sie die Schnittgerade von E 1 und E 2. (c) Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die zu E 1 parallel ist, aber von E 1 verschieden ist.

3 (7) Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei dreimal die gleiche Augenzahl? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Augenzahl größer als 4 zu werfen? c) Notiert man die Ziffern in der gewürfelten Reihenfolge von links nach rechts, erhält man eine dreistellige Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl kleiner als 661? (8) Das nebenstehende Schaubild zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitung von f in einem geeigneten Schaubild. b) Geben Sie einen Wert für a an, für den die Gleichung f(x) = a drei Lösungen hat. (9) Lösen Sie die Gleichung e sin x = 0.

4 Wahlteil Analysis Ein quaderförmiges Wasserbecken mit 3m Länge, 2m Breite und 2m Höhe hat einen Wasserzulauf und einen Wasserablauf. Die Funktion f mit f(t) = 0, 2 t 3 2, 1 t 2 + 5t, 0 t 8, beschreibt modellhaft die Änderungsrate der Wassermenge in diesem Becken. Dabei wird t in Stunden und f(t) in Kubikmetern pro Stunde angegeben. Zu Beginn ist das Becken leer. a) Skizzieren Sie das Schaubild von f in einem geeigneten Koordinatensystem. Berechnen Sie die Änderungsrate nach 2 Stunden. Berechnen Sie 2 0 f(t) dt exakt (also ohne GTR). Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. b) Begründen Sie nur anhand des Schaubilds, dass sich nur zu Beginn kein Wasser im Becken befindet. In welchem Zeitabschnitt während der ersten 8 Stunden nimmt die Wassermenge im Becken ab? c) Geben Sie einen Term für die Funktion V (t) an, welche den Inhalt des Beckens nach t Stunden angibt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an welchem das Becken zum zweiten Mal halb voll ist. Ermitteln Sie die maximale Höhe des Wasserstands im Becken während der ersten 8 Stunden.

5 Wahlteil Geometrie / Stochastik Aufgabe B 1.1. Die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide liegt in der Ebene E und hat die Eckpunkte A(0 1 1), B(2 4 5), C( ) und D. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist, und bestimmen Sie D so, dass ABCD ein Quadrat ist. (Mögliches Teilergebnis: E : 6x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5; D( 3 7 3)) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS, wenn die Spitze S gegeben ist durch S(9 9 4). b) Die Spitze S der Pyramide liege nun auf der Geraden g, die durch ) ( ) 13 g : x = + s ( gegeben ist. Die Spitze S kann dabei so gewählt werden, dass die vier von der Grundfläche zu S verlaufenden Pyramidenkanten gleich lang sind. Wo liegen alle, die von den vier Ecken A, B, C, D des Quadrats denselben Abstand besitzen? Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze S. c) Die Pyramidenspitze S kann auf der Geraden g auch so gewählt werden, dass die Seitenfläche ABS orthogonal zur Grundfläche ABCD ist. Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze S für diesen Fall. Aufgabe B 1.2. Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3 % defekt sind. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden. Als Nullhypothese wird die Behauptung des Unternehmers gewählt, die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5 % betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich und geben Sie die dazugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit an. 17

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