Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote.

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Hartmut Langenberg
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1 G13-2 KLAUSUR Pflichtteil (1) (2 VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e2x 1 e x und vereinfachen Sie gegebenenfalls. (2) (2 VP) Geben Sie für die Funktion f(x) = (5 + 3 ) 4 2 x eine Stammfunktion an. (3) (3 VP) Lösen Sie die Gleichung 5x 5 2x 3 3x = 0. (4) (4 VP) Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 4 + 6e 0,5x. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote an. Zeigen Sie, dass f streng monoton fallend ist. Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. 1

2 2 Mathematik (5) (5 VP) Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. Sind folgende Aussagen über die Funktion f wahr, falsch, oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. 1) An der Stelle (0 0) hat das Schaubild von f einen Hochpunkt. 2) Für 0 x 2 ist f(x) 0. 3) Das Schaubild von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 4) An der Stelle x = 2 hat das Schaubild von f einen Wendepunkt. (6) (3 VP) Lösen Sie das Gleichungssystem 2x 1 3x 2 + x 3 = 2 3x 1 5x 2 2x 3 = 1 und interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (7) (4 VP) Gegeben sind drei Punkte A(2 1 2), B(1 1 0) und C(3 3 1). Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. (8) (3 VP) Die Gerade g geht durch A(4 2 3) und B(2 2 1). Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der x 1 x 2 -Ebene. Begründen Sie, dass S zwischen A und B liegt.

3 Mathematik 3 2. Analysis I Ein Pharmaunternehmen produziert ein Medikament in unterschiedlichen Wirkstoffdosierungen, das in Tablettenform verabreicht wird. Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten kann in den ersten 24 Stunden nach der Einnahme einer Tablette näherungsweise durch die Funktionenschar f a (t) = a t e 0,25t (0 t 24, a > 0) beschrieben werden. Dabei wird die Zeit in Stunden seit der Einnahme und die Wirkstoffkonzentration f a (t) im Blut in Milligramm pro Liter (mg/l) gemessen; weiter hängt a von der Höhe der Wirkstoffdosierung ab. a) (6 VP) Zeigen Sie, dass das Maximum der Wirkstoffkonzentration unabhängig von a nach 4 Stunden eintritt. Um eine schädliche Wirkung des Medikaments zu vermeiden, darf eine Wirkstoffkonzentration von 20 mg/l nicht überschritten werden. Ermitteln Sie die Dosishöhe a, ab der eine schädliche Wirkung des Medikaments eintritt. b) (8 VP) Vier Stunden nach der Einnahme der Tablette hat die Wirkstoffkonzentration bei einem Patienten den Wert 13, 25 mg/l. Berechnen Sie den Parameter a. In welchem Zeitraum liegt die Wirkstoffkonzentration oberhalb von 4 mg/l? Wann nimmt die Wirkstoffkonzentration am stärksten ab? Wie groß ist die mittlere Wirkstoffkonzentration während der ersten 12 Stunden? c) (4 VP) Sei jetzt a = 11. Für t > 24 wird die Wirkstoffkonzentration durch eine Gerade beschrieben, die zum Zeitpunkt t = 24 den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung wie f 11 (t) haben soll. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, sowie den Zeitpunkt, an dem das Medikament im Blut abgebaut ist.

4 4 Mathematik (Nachschreibetermin) 3. Analysis II Eine Hochspannungsleitung hängt zwischen zwei vertikalen Masten mit dem Abstand 200 m. In einem Koordinatensystem werden die Masten symmetrisch zur y-achse dargestellt. Die Höhe der Leitung über dem ebenen Boden wird durch das Schubild einer Funktion f c mit f c (x) = 100(e cx + e cx ) 180 (c > 0; x und f c (x) in Meter) modelliert. a) (8 VP) Zunächst ist c = 0, 002. Skizziere das Schaubild von f 0,002 (x). In welcher Höhe ist die Leitung am rechten Mast befestigt? Welchen Winkel bildet die Leitung dort mit dem Mast? Wie hoch über dem Boden ist die Leitung an ihrer tiefsten Stelle? In welchem Bereich verläuft die Leitung mindestens 21 m über dem Boden? b) Sei nun c > 0 beliebig. Zeigen Sie, dass die Leitung symmetrisch zur y-achse verläuft. Weisen Sie nach, dass der Tiefpunkt des Schaubilds von f c unabhängig von c ist. Der Durchhang der Leitung ist die Höhendifferenz zwischen einem Aufhängepunkt und dem tiefsten Punkt. Für welchen Wert von c beträgt der Durchhang 5 m? c) Im Folgenden ist c = 0, Die Länge L des von einer Funktion f beschriebenen Kurvenstücks im Intervall [a, b] berechnet sich nach der Formel b L = 1 + (f (x)) 2 dx. a Berechnen Sie damit die Länge der Leitung zwischen den beiden Masten.

5 Mathematik 5 4. Analytische Geometrie In einem Koordinatensystem werden die Flugbahnen zweier mit jeweils konstanter Geschwindigkeit fliegender Flugzeuge F 1 und F 2 durch Geraden beschrieben. Die Bahn von F 1 wird beschrieben durch f 1 : x = 6 6, 8 + t , 4 (Längenangaben in km, Zeit t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Das Flugzeug F 2 befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt R(1, 3 2 8) und zum Zeitpunkt t = 1 im Punkt S(9, ). a) (8 VP) Wo befindet sich das Flugzeug F 1 nach 20 Sekunden? Bestimmen Sie eine Gleichung für die Flugbahn von F 2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Flugzeug F 2 in km/h. Wann befinden sich die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe? Wie weit sind die Flugzeuge dann voneinander entfernt? b) (8 VP) Um eine zu starke Annäherung an F 1 zu vermeiden, beginnt F 2 zum Zeitpunkt t = 2 auf eine Flughöhe von 5 km zu wechseln. Es behält seine Horizontalgeschwindigkeit bei und sinkt zusätzlich um 500 m pro Minute. Das Flugzeug F 1 behält seine Flugbahn bei. Wie lange dauert der Sinkflug von F 2? Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem F 2 die neue Flughöhe erreicht. Wie nahe kommen sich die beiden Flugzeuge in der Sinkphase von F 2?

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