MATHEMATIK mit CAS. Fachabiturprüfung 2014 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

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1 Fachabiturprüfung 2014 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK mit CAS Ausbildungsrichtung Technik Mittwoch, 28. Mai 2014, Uhr Die Schülerinnen und Schüler haben je eine Aufgabe aus den Aufgabengruppen A und B zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule.

2 Aufgabengruppe A: Analysis -2- Al BE Gegeben ist die reelle Funktion f : x H _!_ ln ( x~ - 4 x + 4 J mit der maximalen Defini- 4 x +4x+4 tionsmenge Df. Der Graph von f wird mit Gr bezeichnet. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge Dr. Berechnen Sie ohne CAS die Nullstelle von f. Zeigen Sie ohne CAS, dass Gr punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. Bestimmen Sie das Verhalten von f(x) bei Annäherung von x an die Definitionslücken. Bestimmen Sie ohne CAS das Verhalten von f(x) für I x I~ oo. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von f. [mögliches Teilergebnis: f 1 2 (x) = 2 ] X -4 Bestimmen Sie ohne CAS die maximalen Krümmungsintervalle von f und die Koordinaten des Wendepunktes von G f. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von G f an und zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswette den Graphen von f zusammen mit seinen Asymptoten für -5 ~ x ~ 5 in ein kattesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm Im vierten Quadranten schließt Gr zusammen mit der x-achse und der senkrechten Geraden g mit der Gleichung x = u mit 0 < u < 2 ein Flächenstück ein Ergänzen Sie in der Zeichnung aus 1.8 die Gerade g für u = 1 und markieren Sie das beschriebene Flächenstück Gegeben ist die Funktion F : x H -ln(2-x) -ln(2+ x) + x,_!_ ln(x~ - 4 x + 4 ] mit 4 x +4x+4 DF = [0; 2[. Zeigen Sie ohne CAS, dass F für x E DF eine Stammfunktion von f ist Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion F die Flächenmaßzahl A (u) des Flächenstücks aus in Abhängigkeit von u und bestimmen Sie auf zwei Nachkommastellen gerundet den Wert des Parameters u so, dass A(u) = 1 ist. Fortsetzung siehe nächste Seite

3 - 3- BE Fortsetzung A 1: 2.0 In einem Fluss nimmt das Wasser beim Fließen Sauerstoff aus der Luft auf. Außerdem wird im Wasser Sauerstoff durch bestimmte Alten von Algen in Abhängigkeit von der Sonnenlichteinstrahlung produzie1i. Gleichzeitig wird während des ganzen Tages Sauerstoffvon allen Organismen im Wasser verbraucht. An einer bestimmten Messstelle ändert sich die Sauerstoffl(onzentration k(t) in mg f des Flusswassers im Verlauf eines Tages sinusförmig mit derperiodendauert = 24 h. Der Verlauf kann näherungsweise durch k(t) = a sin(b t + c) + d beschrieben werden, wobei t mit 0 ~ t ~ 24 die seit 0 Uhr verstrichene Zeit in Stunden beschreibt. Kontinuierliche Messungen über einen ganzen Tag hinweg ergaben das Minimum der Sauerstoffkonzentration im Wasser von 4, 20 mg um 4.00 Uhr morgens und das Maf ximum von 11,8 mg um Uhr am Nachmittag. f Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden Geben Sie mit Begründung einen geeigneten Funktionsterm k(t) an und zeichnen Sie das Schaubild dazu. [Mögliches Teilergebnis: k(t) = 3,8 sin(~t -~)+8 ] Bestimmen Sie die Uhrzeit, zu der die Abnahme der Sauerstoffkonzentration am größten war. Auf eine Untersuchung an den Rändern des Beobachtungszeitraums kann dabei verzichtet werden. Berechnen Sie ohne CAS mittels Integration die mittlere Sauerstoffkonzentration des Flusswassers für den Zeitraum von 0.00 Uhr bis Uhr auf eine Nachkommastelle genau. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens soll näherungsweise der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem die Sauerstoffkonzentration erstmals 10,0 mg eneicht. Benutzen Sie als f Startwert t = 10, führen Sie zwei Näherungsschritte durch und geben Sie das Ergebnis mit 5 Nachkommastellen an Berechnen Sie nun den exakten Zeitpunkt, zu dem die Sauerstofflwnzentration erstmals 10,0 mg eneicht. Geben Sie außerdem den Unterschied zwischen der Nähe R rungslösung aus 2.4 und dem exakten Wert mit 5 Nachkommastellen an. 70

4 BE Aufgabengruppe A: Analysis All (l-a) x+a 2 Gegeben sind mit a E lr die reellen Funktionen fa : x H 1- x 2 +(1-a) x jeweils größtmöglichen Definitionsmenge Df = lr \ { 0; a -1}. a in der Zeigen Sie ohne CAS, dass gilt: fa (x) = (x + a) (x -a). x (x+1-a) Begründen Sie, warum der Graph von fa für a E IR\ { 1} nicht symmetrisch zum Koordinatensystem sein kann, und untersuchen Sie für a = 1 den Graphen von f 1 auf Symmetrie zum Koordinatensystem. Bestimmen Sie Lage und Art der Definitionslücken von fa in Abhängigkeit von a Für a = 3 erhält man die Funktion f 3, die im Folgenden mit f bezeichnet wird, d.h. f(x)=f 3 (x)= x x -2x Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für lxl ~ oo und in der Nähe der Definitionslücken von f. Geben Sie auch die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f an Untersuchen Sie ohne CAS das Monotonieverhalten der Funktion f und ermitteln Sie damit Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von f. Runden Sie dabei die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. 2. [ mög. h T. 1 1c es e1 1 erge b ms:. f / ( x ) = -2x + 18x (x -2x) Geben Sie die Nullstellen von f an und zeichnen Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse und geeigneter, zusätzlich berechneter Funktionswerte den Graphen der Funktion f mit seinen Asymptoten für -5.::;; x.::;; 10 in ein kmiesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm Gegeben ist die Funktion F:x H x-2,5 ln(2-x)+4,5 ln(-x) mit DF =]-oo;o(. Zeigen Sie ohne CAS, dass für x < 0 die Funktion F eine Stammfunktion von f ist. Fortsetzung siehe nächste Seite

5 - 5- BE Fortsetzung A 11: Der Graph von f schneidet die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten im Punkt P. Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens näherungsweise die Koordinaten des Punktes P so genau, dass sich seine X-Koordinate xp um weniger als 10-4 vom Funktionswelt f(xp) unterscheidet. Beginnen Sie mit dem Stattwert x 0 = -1,5. [ Ergebnis: P( -1,4260 J-1,4260) ] Der Graph der Funktion f, die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten und die x-achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück im Schaubild der Aufgabe und berechnen Sie seine auf vier Nachkommastellen gerundete Flächenmaßzahl mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe Der Verlauf einer Hochspannungsleitung zwischen den Punkten Q und R wird für x E [ -110; 110] näherungsweise durch die Gleichung x-50 x-50 y =333 ( e e )-658 beschrieben (siehe Skizze rechts). Der Hang wird in der Skizze durch die Gerade OE mit der Gleichung y = -0, 1x -150 begrenzt. R X Auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind auf eine Nachkommastelle zu runden, sofern nicht anders angegeben Berechnen Sie die Masthöhen EQ und FR Berechnen Sie die Größe des Winkels <p, den die Hochspannungleitung mit dem Mast im Punkt Q einschließt. x-50 x-50 [ mögliches Teilergebnis: / (x) = _!_. e _!_. e Der PunktS ist de1jenige Punkt der Leitung, der die geringste Entfernung vom Hang hat. Die Leitung hat dort die gleiche Steigung wie der Hang (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie den exakten Wert der X-Koordinate von S. x-50 [ Hinweis: Benutzen Sie die Substitution u = e 666 ] S hat die X-Koordinate xs ~ -16,5 (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die geringste Entfernung des Punkts S vom Hang. Aufgabengruppe B: Lineare Algebra und analytische Geometrie

6 - 6 - BI BE In einem kartesischen Koordinatensystem des IR 3 mit dem Ursprung 0 sind der Punkt P( ) und die Ebenen E, F und Gk mit k E IR gegeben: E: -4x 1 -x 2 +x 3 +18=0; F: 2x 1 +x 2-12=0; Gk: x2 +x 3 +k=0. Ermitteln Sie ohne CAS eine Gleichung m der Schnittgeraden s der Ebenen E und F. [ Mögliches Ergebnis: s : X ~ + A [ ~ i} A E IR ] Bestimmen Sie die Koordinaten des Punlctes R, der durch Spiegelung des Ursprungs 0 an der Geraden s hervorgeht. Bestimmen Sie ohne CAS alle Werte von k, für die die drei Ebenen E, F und Gk jeweils keinen gemeinsamen Punlct haben. Zusätzlich sind die Gerade h : X ~ ( ~ J + ~ ( J 1 J mit ~ E IR und der Punkt Q( 41412) gegeben. Bestimmen Sie ohne CAS die Koordinaten der Punlcte S1 und S2 auf der Geraden h so, dass das Volumen der jeweiligen Pyramide OPQS 1 bzw. OPQS2 die Maßzahl 27 hat. 2.0 Ein Fluglotse beobachtet zwei Flugzeuge gleichzeitig, deren jeweilige Positionen F 1 bzw. F 2 sich in einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem des IR 3 in einem bestimmten Zeitraum durch folgende Gleichungen beschreiben lassen: - (-5,6] (0,6] - (-7,8] (0,4] OFl = -5,8 +tj. 0,8 ' tl E [0;30]; OF2 = 0,8 +t2. 0,1 ' t2 E [0;30] 1,8 0,2 4,0 0 Die Koordinaten von OF 1 und OF 2 haben die Einheit km, die Parameter t1 und t2 beschreiben jeweils die nach dem gleichzeitigen Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Minuten. Auf das Mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen schneiden und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunlcts T beider Flughalmen an. Zeigen Sie weiterhin, dass es trotzdem zu keiner Kollision kommt. Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunlct t ab Beobachtungsbeginn für den Abstand d(t) zwischen beiden Flugzeugen gilt: d(t) = )o,57t 2-9,24t+53,24. Bestimmen Sie außerdem den Zeitpunlct tmin (gerundet auf eine Nachlwmmastelle), zu dem der quadrierte Abstand (also d(t) 2 ) am geringsten ist. Geben Sie zusätzlich den Abstand zum Zeitpunlct tmin an. 30

7 - 7- Aufgabengruppe B: Lineare Algebra und analytische Geometrie BI! BE 1.0 In einem kartesischen Koordinatensystem des IR 3 mit dem Ursprung 0 sind die Punkte A(113l-2), Bk(kl011) mit keir und C(-11610) sowie die Ebene E: 5x 1 +2x 2 +2x 3 = 4 gegeben Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten X, Y und Z. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide OXYZ. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P, der durch Spiegelung des Punktes C an der Ebene E hervorgeht Bestimmen Sie den Wert für k so, dass die Vektoren ABk und AC orthogonal zueinander sind. Berechnen Sie den Wert des Parameters k so, dass der Flächeninhalt F(k) des Dreiecks ABkC minimal wird. Hinweis: Es genügt, den Term unter der Wurzel zu betrachten. [ Mögliches Teilergebnis: F(k) = _!_ ~13k 2-3 8k Untersuchen Sie, ob der Punkt Bk auf der Geraden AC liegen kann Die Ebene Hk enthält das Dreieck ABkC und wird beschrieben durch die Gleichung Hk : -15x 1 -(2k + 4)x 2 + (3k -9)x 3 = -12k -9 (Nachweis nicht erforderlich) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E und Hk in Abhängigkeit vom Parameter k Bestimmen Sie den Wert für k so, dass Hk den Ursprung enthält. Untersuchen Sie anschließend, ob in diesem Fall der Ursprung 0 im Inneren des Dreiecks ABkC liegt Bestimmen Sie die Länge der kleinsten Seite des Dreiecks ABkC. 30