Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2009/2010

Transkript

1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 009/00 Mathematik (A) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 5. Mai 00 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Formelsammlung, nichtprogrammierbarer und nichtgrafikfähiger Taschenrechner Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Spezielle Arbeitshinweise Der Aufgabensatz besteht aus 4 Aufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt. Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Blätter Aufgabe Nr.: Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Soll Punkte Summe: 00 Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 00, (Mathematik) /40 Der symmetrische Querschnitt einer Hügelkette lässt sich näherungsweise durch den Graphen der nachfolgenden Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( x) x x beschreiben. Die Talsohle liegt im Koordinatenursprung. 4 = + ; mit x Df (Hierbei gilt: Einheit m) grobe Skizze: y x. Untersuchen Sie, um welches Symmetrieverhalten es sich bei dem zugehörigen Graphen handelt und begründen Sie ihre Aussage. /. Bestimmen Sie die maximale Höhe der Hügelkette bezogen auf die Talsohle. /9. Bestimmen Sie die Gesamtbreite der Hügelkette auf Höhe der Talsohle. /7.4 Nach der Schneeschmelze füllt sich das Tal mit Wasser bis zu einer Höhe von 0 m. Wie breit ist der so entstandene Fluss? /9.5 Zeichnen Sie den gesamten Verlauf der Hügelkette in ein Koordinatensystem unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte und schraffieren Sie den entstandenen Flussquerschnitt. Betrachten Sie hierbei nur den Verlauf oberhalb der Talsohle (x- Achse). /4.6 Bestimmen Sie die Gesamtwassermenge, die man bei einer Stauhöhe von 0 m aufstauen könnte, wenn die Hügelkette eine Gesamtlänge von km hätte. Hinweis: Die Querschnittsfläche der Hügelkette ändert sich über diese Gesamtlänge nicht. /9 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

3 00, (Mathematik) /5 Der zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Graph einer Funktion f fünften Grades besitzt den Wendepunkt W ( ). Der Anstieg der Wendetangente t in diesem Punkt beträgt 9.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. /. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Wendetangente t. / Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. 5a + 9b + c d = 9 0a 6b c = 8 a + b + c = 5 0a + b = 0 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

4 00, (Mathematik) / Eine Haltevorrichtung für Müllsäcke wird aus zwei kreisförmigen Ringen und zwei geraden Verbindungsstreben aus Stahlband zusammengeschweißt, so dass die Form eines geraden Kreiszylinders angedeutet wird (siehe Skizze). Insgesamt werden 4m Stahlband verarbeitet. Die Höhe h und der Radius r sollen so optimiert werden, dass der angedeutete Zylinder maximales Volumen hat.. Weisen Sie nach, dass V() r = πr π r die Funktionsgleichung der gesuchten Zielfunktion ist (Längeneinheit: m).. Für welche Maße r und h nimmt der Zylinder maximales Volumen an? Wie groß ist das maximale Volumen? /4 /8 00, (Mathematik) Aufgaben Seite von 4

5 00, (Mathematik) 4 / Eine Holzfigur (Elefant) soll gemäß der Skizze aus einem Holzblock mit den Maßen 4 cm x 0 cm x 4 cm (Breite x Höhe x Tiefe) herausgesägt werden. Die Augen, die Ohren und der Rüssel werden nachträglich aufgemalt. Hersteller und Mathematiker haben sich geeinigt, dass das Koordinatensystem wie in nebenstehender Abbildung angelegt werden soll und der Umriss der Figur durch die Funktionsgleichung 4 f( x) = x + x + 6; mit x Df 8 6 beschrieben werden kann. 4. Berechnen Sie die Breite der Holzfigur unter der Voraussetzung, dass die erste Nullstelle der Funktion f bei x = 4 liegt. /6 Die zweite Nullstelle bestimmen Sie durch ein geeignetes Näherungsverfahren auf vier Nachkommastellen genau. Brechen Sie Ihre Berechnung nach drei Iterationsschritten oder bei einem Fehlerquotienten von f( x) 0,0 ab. Hinweis: Sollten Sie die zweite Nullstelle nicht berechnen können, rechnen Sie mit dem Wert x = 9,500 weiter. 4. Für eine exakte Herstellung des Produktes muss auch die Lage der Wendepunkte /6 bekannt sein. Berechnen Sie diese. 4. Welches Volumen hat der Elefant? /8 4.4 Angenommen, der Rüssel des Elefanten soll bereits während der Herstellung herausgesägt werden, wie würde sich das Volumen der Figur verändern? Der Umriss des zusätzlich auszusägenden Stückes (Parabel in der Skizze dargestellt) lässt sich durch die Funktionsgleichung px ( ) = x + x beschreiben. 4.5 Mit wie viel Prozent Abfall muss der Produzent in diesem Fall rechnen? /9 /4 00, (Mathematik) Aufgaben Seite 4 von 4

6 00 (Mathematik) für Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. f ( x) = f( x) oder die Exponenten von x sind gerade, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse.. Höhe der Hügelkette: 4 f( x) = x + x 4 f ( x) = x + x f ( x) = x f ( x) = 0 4 x + x= 0 4 x( x + ) = 0 xe = 0( Talsohle) 4 x + = 0 xe / ± 600 =± 60m f ( xe ) = 0,8< 0; Maximum f ( xe) = 0,8< 0; Maximum ( alternativ : Begründung über Verlauf des Graphen) f( xe) = f( xe) = 60m. Nullstellen von f : f( x) = 0 4 x + x = 0 x ( x + ) = 0 xn/ = 0( Talsohle) x + = xn /4 =± 5 =± 7000 ± 84,85 m Gesamtbreite : b = 84,85m = 69,7m BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung A 00, (Mathematik) Seite von 7

7 00 (Mathematik) für.4 4 f( x) = x + x = 0 4 x + x 0 = 0 z= x z + z 0 = z z = z/ = ± x =± z ± 8,94m / x/4 =± z ±,8m Breite des Flusses : b = x x = 4,76m.5 grafische Darstellung: 4 A 00, (Mathematik) Seite von 7

8 00 (Mathematik) für.6 Ansatz:,8 V = 000 ((0 f( x)) dx ( Symmetrie beachten) 0, ((0 ( ) 0,8 4 = x + x dx = 6000 (0 + x x ) dx 0,8 5 = x+ x x ,8,8 = , ,m Summe 4 mögliche BE 40 erreichte BE Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. Ansatz: Da der Graph der Funktion f punktsymmetrisch, hat sie nur ungerade Exponenten 5 f ( x) = ax + bx + cx 4 f ( x) = 5ax + bx + c f ( x) = 0ax + 6bx BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Bedingungsgefüge:. f () = Punkt W ( ). f ''() = 0 Wendepunkt bei x =. f '() = 9 Anstieg Wendetangente gleich 9 Gleichungssystem: I: a + b + c = II: 0a + 6b = 0 III: 5a + b + c = 9 Lösen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) Lösungen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) a= ; b= 0; c= 6; Funktionsgleichung: 5 f ( x) = x + 0x 6x A 00, (Mathematik) 4 Seite von 7

9 00 (Mathematik) für. Funktionsgleichung der Wendetangente t: lineare Funktion tx ( ) = mx+ n mit Anstieg m= f '() = 9 und Punkt W ( ) = 9*+ n n = 8 tx ( ) = 9x 8 Summe 5 9 mögliche BE 5 erreichte BE Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. Hauptbedingung: V(, r h) = π r h soll maximal sein Nebenbedingung: π r+ h= 4 h= π r Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen Zielfunktion: V() r = π r ( πr) = πr π r. Ableitungen: V '( r) = 4π r 6 π r V"( r) = 4π π r Notw. Bed.: V '( r) = 0 4πr 6π r = 0 r(4π 6 π r) = 0 Lösungen: r = 0 ist nicht sinnvoll r = 0, ist sinnvoll π Hinreichende Bedingung V"( r ) < 0 prüfen V "(0, ) =,54 < 0 Max. Optimale Höhe berechnen hmax = π = 0, 667 π Maximales Volumen berechnen Vmax π 0, 0, 667 = 0, 094 BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Antwortsatz mit Maßeinheiten Summe 4 7 mögliche BE erreichte BE A 00, (Mathematik) Seite 4 von 7

10 00 (Mathematik) für Teilaufgaben 4. Erwartete Teilleistung Newtonsches Näherungsverfahren : x = n+ x n f( xn ) f '( x ) f x = x + x f '( x) = x + x 6 4 ( ) 6 Startwert : f (8) = 6 f (9) = 0,047 Startwert f (0) = 9, 65 n BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung 0,047 x = 9 + = 9, 040 7,598 f( x ) = 0, 008 < 0, 0 Abbruch bereits hier möglich, da Fehlerquotient unter 0,0 liegt. Die zweite Nullstelle liegt bei ca. 9,040, deshalb beträgt die Breite der Figur,04 cm. (Alternativ sind auch Ragula falsi oder das Halbierungsverfahren zur Berechnung der. Nullstelle möglich.) 4. Ansatz für Wendepunkte: f ''( x ) = 0 ; f '''( x) 0 f '( x) = x + x 6 f ''( x) = x + x 8 f '''( x) = x x = 0 f(0) = 6 x = 4 f(4) = 8 0 = x + x= x( x+ ) A 00, (Mathematik) Seite 5 von 7

11 00 (Mathematik) für f '''(0) = 0 8 f '''(4) = 0 8 Die Wendepunkte der Funktion liegen bei P (0 / 6) und P (4 /8). w w 4. Ansatz für Flächeninhalt: 9,040 9,040 A ( ) ( 4 f = f x dx= x + x + 6) dx Stammfunktion : F( x) = x5 + x4 + 6x A = F(9, 040) F( 4) = 64, 576 ( 8, 4) f = 8, 6576cm Volumen: V = A * Tiefe= 8, 6576 cm * 4cm= 0, 604cm f Das Volumen der Holzfigur beträgt 4.4 Ansatz für neuen Flächeninhalt: a) Nullstellen von p : p( x) = 0 x + x = 0 pq, Formel xn = 4 x = 8 N b) Fläche zwischen p und x-achse : p 8 8 ( ) ( ) 4 4 A = p x dx= x + x dx Stammfunktion : F( x) = x + 6x x Ap = F(8) F(4) = 4, 6667 ( 5,) = 0, 6666cm 0,604cm. A 00, (Mathematik) Seite 6 von 7

12 00 (Mathematik) für neues Volumen: V = ( Af Ap)* Tiefe = (8, 6576cm 0, 6667)* 4cm = 87,966cm Das Volumen der Holzfigur beträgt jetzt 87,966cm und ist demzufolge um 4,6668 cm kleiner. 4.5 V = 4 cm * 0 cm * 4 cm = 560 cm Quader V = 560cm - 87,966 cm =7,064cm Abfall 560cm 7, 064cm = 00% x% x = 48,5779% Der Abfall beträgt 48,5779 %. Summe 7 mögliche BE erreichte BE A 00, (Mathematik) Seite 7 von 7