Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr 2009/2010

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr 009/00 Fach Mathematik (A) Prüfungstag. Mai 00 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil; Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (Duden) Die Reinschriften und ntwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus-Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Aus den fünf Aufgaben müssen Sie drei auswählen. Die Aufgabe (ponentialfunktionen) ist eine Pflichtaufgabe. Sie muss von allen bearbeitet werden! Spezielle Arbeitshinweise Zwischen Aufgabe (Gebrochenrationale Funktionen) und Aufgabe (Trigonometrische Funktionen) müssen Sie wählen. Auch zwischen Aufgabe (Analytische Geometrie) und Aufgabe (Stochastik) müssen Sie wählen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch inrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchstrichene Lösung zählt. Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte Aufgabe Nr. Soll % oder oder Summe: 00 Ist Ist (Zweitkorrektur) Notenpunkte / Punkte / Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt Punkte Punkte Datum, Unterschrift:

2 00 Mathematik ponentialfunktionen / Die Sicherheitsbehörden eines Landes erwarten in nächster Zukunft einen schweren Angriff durch ein Computervirus. Die Anzahl der infizierten Computer (in Millionen) während der Virusattacke soll durch die Funktionen f und g modelliert werden. Die Funktion f habe die Funktionsgleichung f ( t) 0, t = t e, t 0 (t in Stunden). Für die Ableitungen gilt: f '( t) 0,t 0,t = ( 0,t) e und f ''( t) = ( 0, + 0,0t) e Die Stammfunktion lautet: F( t) = ( 0t 00) e 0,t. Zeigen Sie, dass gilt: f '( t) 0,t = ( 0,t) e /. Zu welchem Zeitpunkt ist mit der maimalen Anzahl infizierter Computer zu rechnen? Wie viele infizierte Computer werden dann erwartet?. Zu welchem Zeitpunkt wird die Anzahl der infizierten Computer am schnellsten zurückgehen? [Auf einen Nachweis mithilfe der. Ableitung kann verzichtet werden.] Wie groß ist die momentane Änderung der Anzahl der infizierten Computer zu diesem Zeitpunkt? /6 /. Vervollständigen Sie die folgende Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ 0;60] mithilfe der berechneten rgebnisse in das Koordinatensystem auf der nächsten Seite. t (in h) /9 f ( t) (in Mio.). Wie groß ist die durchschnittliche Anzahl infizierter Computer in den ersten 60 Stunden? / Fortsetzung auf der nächsten Seite 00, Mathematik Seite /6 Seiten

3 00 Mathematik ponentialfunktionen (Fortsetzung) Im zweiten Szenario, das durch die Funktion g beschrieben wird, geht man davon aus, dass die Anzahl der infizierten Computer ihr Maimum von 6 Millionen nach genau 0 Stunden erreichen wird. Die zugehörige Funktion g lässt sich ebenfalls durch eine Funktionsgleichung vom Typ b t g( t) = a t e, a > 0 und b 0, beschreiben..6 Weisen Sie nach, dass die erste Ableitung von g die Funktionsgleichung b t ( + bt) e g' ( t) = a besitzt. /.7 Stellen Sie die Funktionsgleichung für g auf. rmitteln Sie dafür die Parameter a und b H 0 6 hat. so, dass g den Hochpunkt ( ) / 00, Mathematik Seite /6 Seiten

4 00 Mathematik Gebrochenrationale Funktionen / + + =. Die Funktion f sei gegeben mit f ( ). Geben Sie den maimalen Definitionsbereich D f von f an. /. Untersuchen Sie die Art der Definitionslücke und das Verhalten der Funktion in deren Umgebung. /. rmitteln Sie die Gleichung der Asymptote a. /. Der Graph von f besitzt genau einen Schnittpunkt mit der -Achse. Geben Sie diesen an. / f. Zeigen Sie entweder, dass '( ) = oder dass f '( ).6 Bestimmen Sie den trempunkt von f. = gilt. / 6 f = ] [Verwenden Sie: ''( ) /.7 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und die Asymptote a unter Verwendung der berechneten Werte für,, in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie dafür auch die fehlenden Funktionswerte:, 0, 0,,, ( ) f, 6,00, /6.8 Die Gerade ( ) = + t ist Tangente an den Graphen von f. Weisen Sie dies nach. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes B..9 Die Graphen von f und t haben einen weiteren gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie auch die Koordinaten dieses Punktes. /6 /6 00, Mathematik Seite /6 Seiten

5 00 Mathematik Trigonometrische Funktionen / Zum Bau eines Grabens wurden auf einer m breiten Grundplatte zwei m breite Platten als Uferbefestigung errichtet. Der Böschungswinkel dieser Platten beträgt 60.. Berechnen Sie die Querschnittsfläche A des Grabens. / Für die weiterführenden Berechnungen wird der Winkel im Bogenmaß betrachtet. Um den Durchfluss durch den Graben zu erhöhen, überlegt man, ob es bezüglich des Böschungswinkels ein Optimum gibt.. rstellen Sie eine Funktionsgleichung für die Querschnittsfläche A in Abhängigkeit vom Böschungswinkel. [Zur Kontrolle: A( ) 6sin + sin cos = ] /7. Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Wertetabelle. 0 π 9 π 9 π 7 π 8 π 9 A,,8 6,9 π /8 Zeichnen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen Böschungswinkel und Querschnittsfläche. Lesen Sie aus dieser Zeichnung den ungefähren Wert für den Böschungswinkel ab, bei dem die Querschnittsfläche maimal wird.. Weisen Sie nach, dass '( ) = 8cos + 6cos A. /7. Bestimmen Sie den unter. geschätzten Winkel rechnerisch. [Auf den Nachweis mithilfe von A' ' kann verzichtet werden.] Geben Sie diesen Winkel auch im Gradmaß an. Berechnen Sie den Inhalt der maimalen Querschnittsfläche. /7 00, Mathematik Seite /6 Seiten

6 00 Mathematik Analytische Geometrie / Der Turm einer Burg hat die Form eines geraden quadratischen Prismas mit aufgesetzter Pyramide (siehe Skizze Angaben in m).. Bestimmen Sie eine benengleichung für die Dachfläche LMT in Normalenform. [Zum Vergleich: Koordinatenform : + z = 6 ] Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Dachboden KLMN und der Dachfläche LMT.. Auf dem Dachboden KLMN beginnt im Punkt A eine m lange Antenne. Sie steht senkrecht und endet im Punkt A ( 9). Im Punkt Q durchstößt sie die Dachfläche LMT. Berechnen Sie die Koordinaten von Q. Wie lang ist das außerhalb des Daches befindliche Antennenstück?. Im Burghof steht im Punkt F ( 0) ein m hoher Fahnenmast. Von der Spitze F des Mastes geht ein Seil geradlinig zur Turmspitze T. Zeigen Sie, dass das Seil die Antenne nicht berührt. Wie lang ist das Seil?. Zur Stabilisierung soll die Antenne von A aus an der Dachfläche LMT so verankert werden, dass das Verankerungsseil minimale Länge hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes auf der Dachfläche. /0 /7 /0 /6 00, Mathematik Seite /6 Seiten

7 00 Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung / Auf einer fernen Insel darf die Fahrprüfung bei Nichtbestehen zweimal wiederholt werden. Sie darf daher insgesamt dreimal abgelegt werden. Die Durchfallquoten betragen im ersten q q Durchgang q, in der ersten Wiederholung und in der zweiten Wiederholung, wobei 0 < q < gilt. ine bestandene Prüfung darf nicht wiederholt werden.. rstellen Sie ein Baumdiagramm und bestimmen Sie die folgenden fünf Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von q : Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht eine zufällig gewählte Person die Prüfung im ersten Anlauf, erst im zweiten Anlauf, erst im dritten Anlauf, gar nicht? Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie in den Genuss eines Führerscheins?. Wie groß darf q maimal sein, damit eine zufällig gewählte Person die Fahrprüfung egal in welchem der drei Durchgänge mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % besteht? /0 / In Wirklichkeit haben lediglich 80 % der rwachsenen einen Führerschein, die anderen sind auf Bus, Bahn, Fahrrad und Chauffeure angewiesen.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von zwölf zufällig ausgewählten rwachsenen genau zehn einen Führerschein?. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von zwölf zufällig ausgewählten rwachsenen mindestens zehn einen Führerschein?. Wie viele rwachsene müssen zufällig ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,9 % zumindest einer einen Führerschein besitzt? / / /.6 Auf einer Party langweilen sich elf Personen, von denen sieben einen Führerschein haben. Drei der elf halten es nicht mehr aus, suchen sich eine ruhige cke und holen die Skatkarten heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau zwei von diesen drei Personen einen Führerschein? /.7 In einer groß angelegten Untersuchung soll herausgefunden werden, ob es einen stochastischen Zusammenhang zwischen der Haarfarbe und dem Bestehen der Fahrprüfung im ersten Anlauf gibt. Dazu werden Personen, die zumindest einmal an der Fahrprüfung teilgenommen haben, befragt. von ihnen sind blond. Von den Nichtblonden haben 760 die Fahrprüfung gleich beim ersten Mal bestanden; insgesamt haben 906 die Fahrprüfung gleich beim ersten Mal bestanden. Sind Haarfarbe und Prüfungserfolg stochastisch abhängig? /6 00, Mathematik Seite 6/6 Seiten

8 00 Mathematik rwartungshorizont für Teil- rwartete Teilleistung aufgaben. f '( t) 0,t 0,t e + t ( 0,)e 0,t = ( 0,t)e.. B in AB I II III = 0,t f '( t ) = ( 0,t )e = 0; 0,t = 0 t = 0 f ''(0) = 0,e 0,07 < 0 ; f hat bei t = 0 ein lokales Maimum. f (0) = 0e 7,6 Nach 0 Stunden ist mit einem Maimum von ca. 7,6 Millionen infizierten Computern zu rechnen. Der schnellste Rückgang tritt im Wendepunkt ein. 0,tW f ''( t ) = ( 0, + 0,0t )e = 0; 0, + 0,0t = 0 W W t = 0 W W. f '(0) = e 0,7 Der stärkste Rückgang wird nach 0 Stunden erwartet. r beträgt ca infizierte Computer weniger pro Stunde. t f(t) 0,,7 0, ,t N = ( )d = [( 0 00)e ] 60, f t t t 60 0 Die durchschnittliche Anzahl infizierter Computer in den ersten 60 Stunden beträgt ca.,7 Millionen..6 b t b t b t b t g' ( t) = a e + at be = ( a + abt)e = a ( + bt) e.7 0b g'(0) = a ( + 0b)e = 0; + 0b = 0; b = 0, 0 g(0) = 0ae g( t) = 0,8t e 0,0t 0,0t = 0ae = 6; a = e 0 0,8 Summe (Aufgabe ) Mögliche B rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite /7 Seiten

9 00 Mathematik rwartungshorizont für Teil- rwartete Teilleistung aufgaben. D f = IR \ { }. = 0 0 ; Z ( 0) = 0 ; N ( 0 ) = 0 ; Untersuchung der Umgebung; P = 0 ist Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.. Zerlegung ergibt f ( ) + + ( ) = +. + = 0; durch Probieren: = B in AB I II III =. a N + N ( 0) ; N S f ' ( ) ( 6 + ) ( + + ) = = oder f '( ) = = 0 ; = f ''( ) = 6 > 0 ; ( ) T, 0, 0,,, ( ) f, 6, 00 6,00, 6,6 für f B für a B.8.9 t B '( B ) = f '( B ); B ( ) = t( ) = 0 ( 0) = ; = B f ; t ist Tangente an f. B S + S f ( S ) = t( S ); S = S + + S + S = 0 ; B = (doppelte Lösung, bekannt aus.8), S = 0, (lässt sich ohne Polynomdivision finden!) P 0, 6 ( ) Summe (Aufgabe ) Mögliche B rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite /7 Seiten

10 00 Mathematik rwartungshorizont für Teilaufgaben... ( + cos60 ) B in AB I II III + Trapez: A = sin 60 6,9, inheit m a + c Mit a =, h = sin und c = + cos ergibt sich für A = h : A A ( ) + = ( + cos ) sin ( ) = 6sin + sin cos 7 0 π π π π π π A 0,,8 6,9 6,9 6,9 6,00.. Der abgelesene Winkel S beträgt S,. A' = 6cos + cos cos sin sin A' A' A' ( ) ( ) ( ) = 6cos + ( cos sin ) ( ) = 6cos + ( cos ) ( ) = 8cos + 6cos ( ) 8cos + 6cos = 0 A' = Substitution z = cos liefert eine quadratische Gleichung mit ± z =. 8 z 0, liefert,, also α 6, 8. z,7 liefert wegen cos keine Lösung. (,) 6, 97 A, inheit m Summe (Aufgabe ) Mögliche B rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite /7 Seiten

11 00 Mathematik rwartungshorizont für Teilaufgaben... rwartete Teilleistung B in AB I II III L ( 6 0 ); M ( 6 6 ); T ( 0) : a + b y + c z = d insetzen der Koordinaten: L 6a + c = d ( ) ( M ) 6a + 6b + c = ( T ) a + b + 0c = d liefert z. B.: : + z = 6 d und damit z. B: 6 r : 0 0 = 0 0 Normalenvektor KLMN : n r = 0 ; Normalenvektor LMT : n r = 0 r r n n cosα = r r ; cosα = 0, 7 ; α 6, n n ( ) A OQ = OA + λ ( OA OA) = + λ Q ; + + λ = 6; λ = 0, Q ( ) ( 6) ( Q, A ) = d( 6 ), ( 9 ) = ( ) d Die Länge beträgt m. F + µ r Gerade durch T und g : = OT + µ OF OT = ; µ 0 7 µ + µ 6 Schnittpunkt: = ; µ = ; λ = > ; 0 7 µ + λ Schnittpunkt liegt oberhalb von A. d F : ( ) ( T, F ) = d( 0 ), ( ) = + 7, Die Länge beträgt, m. IR Zwischensumme (Aufgabe ) rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite /7 Seiten

12 00 Mathematik rwartungshorizont für Teilaufgaben rwartete Teilleistung B in AB I II III Übertrag (Aufgabe ) Gerade durch A senkrecht zu : + κ r r h : = OA + κ n = ; ( + κ ) + ( 9 + κ ) = 6; κ 9 + κ 9 9 Verankerungspunkt V = Summe (Aufgabe ) Mögliche B 6 rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite /7 Seiten

13 00 Mathematik rwartungshorizont für Teilaufgaben. rwartete Teilleistung b q q d q/ b q/ q/ d q/ b d B in AB I II III.. b: Fahrprüfung bestanden d: Fahrprüfung nicht bestanden P P P ({ im. Anlauf bestanden} ) = q ({ im. Anlauf bestanden} ) ({ im. Anlauf bestanden} ) q = q q q = 8 ({ in keinem der drei Anläufe bestanden} ) q P = 8 q P( { in einem der drei Anläufe bestanden} ) = 8 Gesucht ist das größte q, so dass q 0, 9 8 q 0, q 0,8 q 0,8 0,98. 8 Sei X die Anzahl der Personen mit Führerschein. X ist binomialverteilt mit n =, p = 0, 8 und k = 0, K,. 0 P( { X = 0} ) = 0,8 0, 0,8 0 P( X 0 ) = P( { X = 0} ) + P( { X = } ) + P( { X = } ) 0,8 + 0,06 + 0,0687 0,8. { }. Gesucht ist das kleinste n, so dass ({ X } ) = P( { X = 0} ) 0, 999 s folgt 0,00 n 0,8 0 P. 0 n, also, 9 0, lg 0,00 n, also n =. lg0, Zwischensumme (Aufgabe ) rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite 6/7 Seiten

14 00 Mathematik rwartungshorizont für Teilaufgaben.6.7 rwartete Teilleistung B in AB I II III Übertrag (Aufgabe ) Sei Y die Anzahl der Führerscheinbesitzer. Y ist hypergeometrisch verteilt mit N =, K = 7, n = und k = 0, L,. 7 P( { Y = } ) = 0, 09 Mit den Abkürzungen blond: Die Haarfarbe ist blond und b : hat die Fahrprüfung im ersten Anlauf bestanden gelten 906 P( b) = 0, 7700 und P blond ( b) = 0,899 0, Daher sind Prüfungserfolg und Haarfarbe stochastisch abhängig. Summe (Aufgabe ) Mögliche B rwartungshorizont Vorschlag A 00, Mathematik Seite 7/7 Seiten