Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Erläuternder Text wird wie üblich erwartet. Aufgabe 1 A (Analysis): Logistisches Wachstum

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1 Aufgabe A (Analysis): Logistisches Wachstum Eine Population Taufliegen wird am Tag null mit 00 Tieren angesetzt. Einen Tag später werden bereits 40 Tiere gezählt. a) Angenommen, die Population wächst exponentiell. Stellen Sie eine Funktionsgleichung n (t) auf, die dieses Wachstum beschreibt und ermitteln Sie die Verdopplungszeit. b) Berechnen Sie, an welchem Tag die Population die Anzahl von 000 Tieren überschreitet. Aufgrund des begrenzten Lebensraumes und Nahrungsvorrats wird geschätzt, dass die Population auf maximal 500 Fliegen anwachsen kann. c) Bestimmen Sie die Werte der Parameter A, B und k in der sich aus dieser Annahme und A den beiden Anfangsdaten ergebenden logistischen Wachstumsfunktion f() t =. kt + B e 500 Verwenden Sie für die weitere Bearbeitung nun die Funktion f() t = 0,t 6,5 e. + d) Stellen Sie den Graphen der Funktion nt ( ) im Intervall I n = [0;7] und den Graphen der Funktion f ( t ) im Intervall I f = [0;40] dar. Vervollständigen Sie dazu die Wertetabelle auf der zweiten Seite und benutzen Sie das vorbereitete Koordinatensystem. e) Berechnen Sie, an welchem Tag gemäß der Funktion f die Population die Anzahl 000 überschreitet. f) Die an einem Tag t benötigte Futtermenge hängt von der an diesem Tag vorhandenen Population ab. Daher kann die in einem bestimmten Zeitraum notwendige Futtermenge durch Integration über die Funktion, welche die Population beschreibt, berechnet werden. 0,t Weisen Sie nach, dass F ( t) = 7500 ln(e + ) eine Stammfunktion zu f ( t ) ist. Berechnen Sie den Futterbedarf in Mengeneinheiten vom Tag null an bis einschließlich zum 0. Tag. g) Gesucht ist das Maximum der momentanen Wachstumsrate des logistischen Wachstums. Beschreiben Sie den Rechenweg zur Bestimmung des Maximums. Eine konkrete Berechnung ist nicht erforderlich. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) g) Summe BE ma_lk_a.doc Seite von 0

2 Aufgabe A (Analysis): Logistisches Wachstum Wertetabelle und Koordinatensystem zum Aufgabenteil (d): t nt () 0 56 t f () t ma_lk_a.doc Seite von 0

3 Aufgabe B (Analytische Geometrie): Steilhang An einem Steilhang wird ein Beobachtungsturm errichtet. Dieser Turm kann als ein von einer Ebene geschnittener Quader mit aufgesetzter gerader Pyramide aufgefasst werden. Die Höhe der aufgesetzten Pyramide beträgt 4 m. Aus der Zeichnung sind die Koordinaten der folgenden Punkte bekannt: A(4 0 0), B(4 4 0), D(0 0 ), F(4 4 0) und H(0 0 0) (Koordinateneinheit m). a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C, E, G und S. Der Steilhang liegt in der Ebene, die durch die Punkte A, B, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene auf Kontrollergebnis z. B. E : x r = 0 + r + s 0, r, s IR 0 0 b) Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen dem Steilhang und der horizontalen x-y-ebene. r c) Ein Sonnenstrahl in Richtung a = erzeugt auf dem Hang im Punkt S den Schatten- punkt der Turmspitze S. Ermitteln Sie die Koordinaten von S. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Sonnenstrahl auf den Hang trifft. d) In der Turmspitze S soll ein Pendel so angebracht werden, dass der Pendelkörper P von allen Eckpunkten der Pyramide den gleichen Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P. e) Zu Stabilisierungszwecken soll der Turm am Eckpunkt H durch ein Stahlseil auf kürzestem Weg mit dem Berghang verbunden werden. Bestimmen Sie die Länge des Stahlseils sowie die Koordinaten des entsprechenden Ankerpunktes H auf dem Steilhang. f) Ermitteln Sie, ob man vom Punkt Q(6 9) des Steilhangs die Spitze S der Turmes sehen kann. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE ma_lk_a.doc Seite von 0

4 Aufgabe C (Stochastik): Auswahltest Im Jahr 006 betrug unter allen Bewerbern für das Referendariat im Justizdienst der Frauenanteil 60 %, von denen 5 % den Test im Auswahlverfahren nicht bestanden. 50 % der im Auswahlverfahren gescheiterten Bewerber waren männlich. a) Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie, welcher Anteil an männlichen Bewerbern im Auswahltest nicht erfolgreich war. Zur Kontrolle: Dieser Anteil beträgt 7,5 %. b) Ein Kandidat war im Auswahltest erfolgreich. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich um einen männlichen Kandidaten handelte. c) Im Auswahltest sind erfahrungsgemäß 0 % aller Bewerber nicht erfolgreich. Berechnen Sie, wie viele Testbögen unter dieser Voraussetzung im Testverfahren mindestens ausgewertet werden müssen, damit man mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Bewerber findet, der den Auswahltest nicht bestanden hat. d) Im Jahr 006 standen 75 Stellen zur Verfügung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 00 Bewerbungen nicht alle Teilnehmer übernommen werden, die den Auswahltest bestanden. e) Der Anbieter eines Vorbereitungskurses bereitet eine Auswertung vor. Der Frauenanteil des Kurses betrug 60 %, 85 der 00 Kursteilnehmer bestanden den Test im Auswahlverfahren. Berechnen Sie, wie viele männliche und wie viele weibliche Teilnehmer den Auswahltest bestanden bzw. nicht bestanden, unter der Voraussetzung, dass nach dem Vorbereitungskurs das Testresultat unabhängig vom Geschlecht der Testperson ist. Erläutern Sie Ihre Lösung, z. B. mit Hilfe einer Vierfeldertafel. f) Von den weiblichen Bewerbern besuchen 50 % einen Vorbereitungskurs. Sowohl von den männlichen als auch von den weiblichen Teilnehmern des Vorbereitungskurses bestehen 85 % den Auswahltest. Ohne Vorbereitungskurs seien die Durchfallquoten wie am Anfang angegeben bzw. in Aufgabenteil a) berechnet. Berechnen Sie, wie groß der Anteil der männlichen Bewerber am Vorbereitungskurs sein muss, damit mindestens 77 % aller Bewerber den Auswahltest bestehen. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE ma_lk_a.doc Seite 4 von 0

5 n 00 p k ,05 0, n k 0,95 0,90 ma_lk_a.doc Seite 5 von ,0 0,5 0, SenBWF Zentralabitur Aufgabe c (Stochastik): Auswahltest Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,. Alle freien Plätze bzw. weggelassenen k-werte links unten enthalten,0000, rechts oben 0,0000. Wird die Tabelle von unten gelesen (p > 0,5), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) 5 6 0,80 0,75 0, ,40 0,45 0,50 k ,60 0,55 0, k p

6 Aufgabe A (Analysis): Schar von Logarithmusfunktionen x + t Durch f t ( x) = ln, t RI, t > 0 ist eine Schar von Funktionen gegeben. 4 a) Geben Sie den Definitionsbereich an. Untersuchen Sie die Graphen von f t auf Symmetrie und auf Nullstellen. b) Untersuchen Sie die Graphen von f t auf relative Extremalpunkte. Bestimmen Sie Art und Lage dieser Punkte. Wenn Sie hier die zweite Ableitung verwenden: siehe Kontrollangabe unter c). c) Jeder Graph G f t besitzt genau zwei Wendepunkte. Bestimmen Sie deren Koordinaten nur mit Hilfe der notwendigen Bedingung. 4t x Zur Kontrolle Ihrer Berechnung der zweiten Ableitung: f t ''( x) =. ( x + t) d) In dem vorgegebenen Koordinatensystem ist bereits der Graph der Funktion f e für t = e eingezeichnet. Kennzeichnen Sie die oben berechneten charakteristischen Punkte. Zeichnen Sie für t = den Graphen G für 4 < x < 4 in dasselbe Koordinatensystem. f e) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für t = e die Wendetangenten durch den Koordinatenursprung verlaufen. f) Die Fläche zwischen den beiden Graphen G f und G f e erzeugt beim Drehen um die y-achse einen schalenförmigen Rotationskörper. Dieser wird durch horizontale, also senkrecht zur y-achse stehende Ebenen geschnitten ( y > ln 0, 5). Nennen Sie die unterschiedlichen Formen der Schnittflächen und beschreiben Sie deren Lage. Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Flächeninhalt des größten Kreises mit den Flächeninhalten A eines jeden Kreisrings übereinstimmt. y Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE ma_lk_a.doc Seite 6 von 0

7 Aufgabe A (Analysis): Schar von Logarithmusfunktionen Arbeitsblatt zu Aufgabenteil d) ma_lk_a.doc Seite 7 von 0

8 Aufgabe B (Analysis): Das Volumen einer Birne Gegeben ist eine Funktion f mit f ( x) = 4 x e, x 0 a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extrempunkte und deren Art. Der Graph von f besitzt genau einen Wendepunkt: Bestimmen Sie die Koordinaten nur mit dem notwendigen Kriterium auf eine Nachkommastelle genau. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: f '( x) x e, x > 0 x =. x b) Zeichnen Sie auf der Grundlage Ihrer Ergebnisse den Graphen von f für 0 x < 8 ( LE = cm). c) Der Graph von f rotiert über dem Intervall [0;4] um die x-achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. d) Nebenstehende Skizze zeigt das Profil einer längs durchgeschnittenen Birne. Der oberhalb der x-achse gelegene Teil des Randes soll durch Funktionsgraphen modelliert werden. Für 0 x 4 wird der Graph von f verwendet. Für x 4 soll der Graph von g mit g ( x) = ax + b verwendet werden. Nennen Sie zwei Eigenschaften, die für eine geeignete Modellierung der Profillinie der Birne erfüllt werden müssen. Geben Sie die zwei entsprechenden Bedingungsgleichungen an. Bestimmen Sie mit deren Hilfe die Werte für a und b. e) Berechnen Sie das Volumen der Birne. Wenn Sie Teil d) nicht lösen konnten, dürfen Sie ohne Nachweis verwenden: 4 g( x) = 6 x. e x. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE ma_lk_a.doc Seite 8 von 0

9 Aufgabe A (Analytische Geometrie): Geradenschar und Kugel Durch g t : t r x = + λ 4, λ,t IR, ist eine Schar von Geraden gegeben. Eine Ebene E verläuft durch die Punkte A( ), B( ) und C( 0). a) Geben Sie für E eine Gleichung in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung in Normalenform. b) Untersuchen Sie die Lagebeziehungen der Geraden g t zu der Ebene E in Abhängigkeit von t und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. c) Ermitteln Sie den Wert für t, so dass g t und E einen Schnittpunkt S mit drei identischen Koordinaten besitzen. Zur Kontrolle: t =. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels, unter dem diese spezielle Gerade die Ebene E schneidet. d) Bestimmen Sie für den Fall, dass E und g t parallel liegen, den Abstand d ( E, gt ). Zur Kontrolle: d ( E, g 0 ) = 6. e) Der in c) ermittelte Punkt S(7 7 7) sei nun Mittelpunkt einer Kugel K. Die Länge des Radius ist gleich dem Quadrat des in d) errechneten Abstands. - Geben Sie eine Kugelgleichung für K an. - Zeigen Sie, dass die zur Ebene E parallele Gerade der Schar g t eine Tangente für die Kugel ist und bestimmen Sie den Berührpunkt B. f) Erläutern Sie, wie sich die Lage der Geraden g t ändert, wenn t verändert wird. Geben Sie eine vektorielle Gleichung für die Schnittmenge der Ebene E mit der Geradenschar an. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE ma_lk_a.doc Seite 9 von 0

10 Aufgabe B (Analytische Geometrie): Geraden Gegeben sind zwei Geraden g und h durch g: x r = 0 + r 4, r RI und h: x r = + s, s RI. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und h und die Größe ihres Schnittwinkels. Die Ebene, die g und h enthält, wird mit E bezeichnet. Entwickeln Sie eine Gleichung für E in Normalenform und bestimmen Sie den Abstand von E zum Koordinatenursprung. b) Erläutern Sie anhand einer geeigneten Skizze ein Verfahren zur Berechnung des Abstandes einer Geraden vom Ursprung und berechnen Sie anschließend mit diesem Verfahren den Abstand der Geraden h vom Ursprung auf zwei Nachkommastellen genau. Erläutern Sie, warum dieser Abstand größer ist als der in a) errechnete. c) Gesucht ist eine Gerade p mit folgender Eigenschaft: p verläuft parallel zu h und hat zu h den Abstand LE. Erläutern Sie, warum die Gerade p nicht eindeutig bestimmt ist und entwickeln Sie für eine dieser Geraden p eine Gleichung. d) Für t = ist g eine spezielle Schargerade der folgenden Geradenschar g t mit t RI : g t : x r = 0 + r 4 t, r RI. t 5 Untersuchen Sie, wie die Schargeraden g t relativ zur Geraden h verlaufen. Unterscheiden Sie dabei parallele, identische, sich schneidende und windschiefe Geraden. (Die dabei auftretenden Schnittpunkte und Abstände brauchen nicht berechnet zu werden.) Aufgabenteil a) b) c) d) Summe BE ma_lk_a.doc Seite 0 von 0