Aufgabe 1 Eine erste Modellierung des erschnis der Tunnelwand verwendet die Funktion : mit Definitionsbereich =[-5; 5].

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1 Lösung ab Seite 113 Analysis, 16, Teil B, Aufgabengruppe Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschni, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den erschni der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der erschni des Tunnelbodens liegt dabei auf der -Achse, sein Mielpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschni sollen folgende Bedingungen gelten: (I) Breite des Tunnelbodens: = 1 m (II) Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: = 5 m (III) Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch. M Aufgabe 1 Eine erste Modellierung des erschnis der Tunnelwand verwendet die Funktion : - +5mit Definitionsbereich =[-5; 5]. a) Zeigen Sie, dass die Bedingungen (I) und (II) in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trit. (6 BE) Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand () der Graphenpunkte P x ( ()) vom Ursprung des Koordinatensystems. b) Zeigen Sie, dass () = gilt. (3 BE) c) Es gibt Punkte des erschnis der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die -Koordinaten der Punkte P x, für die () minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Aufgabe Eine zweite Modellierung des erschnis der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ : 5 cos( ) mit R und Definitionsbereich =[-5; 5], bei der oensichtlich Bedingung (II) erfüllt ist. a) Bestimmen Sie so, dass auch Bedingung (I) erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der erschnisfläche des Tunnels. zur Kontrolle: = 1 1, Inhalt der erschnisfläche: m (5 BE) b) Zeigen Sie, dass Bedingung (III) weder bei einer Modellierung mit aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit erfüllt ist. ( BE) Video-Lösungen aller Aufgaben auf abiturma.de/abituraufgaben

2 Lösung ab Seite Aufgabe 3 Eine drie Modellierung des erschnis der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen (I) und (II) erfüllt sind, verwendet die Funktion : 5 - mit Definitionsbereich =[-5; 5]. a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des erschnis der Tunnelwand von der Bodenmie M den Abstand 5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: -5 9, -1 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung (III) erfüllt ist. (5 BE) Betrachtet wird nun die Integralfunktion F : F =[-5; 5]. ()d mit Definitionsbereich b) Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5) = 5 4 gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. Analysis 16 B C -5 5 A (5 BE) c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der erschnisfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit von dem in Aufgabe a berechneten Wert abweicht. ( BE) Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten erschni wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade mit der Gleichung = modelliert. d) Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt R(4 (4)) parallel zu verläu. Zeichnen Sie und in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE) e) Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten erschni vom Hangprofil den kleinsten Abstand in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schrie eines Verfahrens zur rechnerischen Ermilung von. (3 BE) abiturma - Dein Mathe-Abi-Kurs. 5 Tage, 139. Anmeldung auf abiturma.de

3 Aufgabenstellung siehe Seite 113 Lösungen zu Analysis, 16, Teil B, Aufgabengruppe Lösung zu Aufgabe 1 a) Nachweis, dass Bedingung (I) erfüllt ist Die Funktion ist im Intervall [-5; 5] definiert und es gelten: (5) =- 5 +5= (-5) =- (-5) +5= und Die Breite des Tunnelbodens entspricht dem Abstand der beiden Nullstellen von. Dieser ist in diesem Modell 1 Längeneinheiten lang. Die Breite des Tunnelbodens beträgt also wie in Bedingung (I) gefordert 1 m. Nachweis, dass Bedingung (II) erfüllt ist Die höchste Stelle des Tunnels entspricht dem Funktionswert des Maximums von. Hierzu wird die Ableitung der Funktion bestimmt: () =-4 Die Nullstelle der Funktion ist damit gegeben durch =. Wegen () =-4 < besitzt der Graph von an der Stelle = ein Maximum. Es gilt () =5 und damit ist Bedingung (II) erfüllt. + Alternative: Der Graph der Funktion ist eine nach unten geönete, zur -Achse symmetrische Parabel. Damit hat der Graph von im Punkt ( ()) ein Maximum. Es gilt () =5 und damit ist Bedingung (II) erfüllt. Bestimmung des Winkels, den die linke Tunnelwand mit dem Boden einschließt Der gesuchte Winkel zwischen linker Tunnelwand und Boden entspricht dem Winkel, den die Tangente an den Graphen von im linken Schnipunkt mit der -Achse und die -Achse einschließen. Hierzu wird zunächst die Steigung der Tangente an der Stelle = -5 bestimmt: () =-4 = (-5) = Für den eingeschlossenen Winkel α gilt dann: α = tan Die Größe des Winkels, den die linke Tunnelwand mit dem Tunnelboden einschließt, beträgt ungefähr Lösungen b) Der Abstand () des Punktes P x ( ()) vom Ursprung kann nach dem Satz des Pythagoras wie folgt berechnet werden: () = (() -) + ( -) = (- +5) + = = abiturma - Dein Mathe-Abi-Kurs. 5 Tage, 139. Anmeldung auf abiturma.de

4 114 Aufgabenstellung siehe Seite c) Der Mielpunkt M liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Der Abstand eines Punktes P x ( ()) der Tunnelwand zum Punkt M enstpricht also dem Abstand von P x vom Ursprung. Dieser Abstand () wurde in Aufgabenteil b) bestimmt und es gilt: () = Die so definierte Funktion ist dabei definiert für D =[-5; 5]. Gesucht ist nun der kleinste dieser Abstände. Hierzu wird mithilfe der Keenregel die Ableitung der Funktion bestimmt: () = Die Nullstellen der Ableitung sind dann gegeben durch die Nullstellen des Zählers. Es gilt nach dem Satz vom Nullprodukt: = (16 -)= 1 = oder 16 -= Es gelten: 1 = = 15 3 = - 15 () = = 5 ( 15) = = und (- 15) = = Die Funktion hat also an der Stelle 1 = ein lokales Maximum und an den Stellen = 15 und 3 = - 15 jeweils ein lokales Minimum. Die Funktionswerte dieser lokalen Minima müssen nun noch mit den Randwerten verglichen werden. Es gelten: (-5) = 4 (-5) 4 - (-5) + 5 = 5 (5) = = 5 Es gelten ( 15) =(- 15) 433 und (-5) =() =(5) Damit sind die -Koordinaten der Punkte P x der Tunnelwand, für die der Abstand zum Mielpunkt M minimal ist, gegeben durch: = 15 und 3 = - 15 Der Abstand beträgt ungefähr 433 m. Lösung zu Aufgabe a) Damit die Bedingung (I) erfüllt ist, muss gelten (5) =, wobei es im Intervall [; 5[ keine weiteren Nullstellen gibt. Es muss also gelten: (5) =5 cos( ) = = 5 = = 1 Video-Lösungen aller Aufgaben auf abiturma.de/abituraufgaben

5 Aufgabenstellung siehe Seite 115 Der Inhalt A der erschnisfläche bei einer Modellierung des Tunnels durch die Funktion ist gegeben durch: A = = ()d 5 cos 1 d = sin 1-5 = 5 sin = 5 sin - 5 sin - sin 1 (-5) = = 1 Die erschnisfläche des Tunnels hat also einen Inhalt von 1 m. b) Die Graphen der Funktionen und sind beide achsensymmetrisch zur -Achse, denn es gelten: (-) =- (-) +5= - +5= () und (-) =5 cos 1 (-) = 5 cos 1 = () Die Bedingung (III) ist für die Funktion beziehungsweise für die Funktion also genau dann erfüllt, wenn gilt: (3) 4 beziehungsweise (3) 4 Es gelten: (3) =- 3 +5= 3 < 4 und (3) =5 cos < 4 Damit erfüllt weder die Modellierung miels Funktion noch die Modellierung miels Funktion Bedingung (III). Lösungen Lösung zu Aufgabe 3 a) Für alle Punkte des Graphen von gilt: + = () + = = = 5 = 5 Der Graph von beschreibt einen Halbkreis um den Mielpunkt M und Radius = 5. Dabei verläu der Graph nur oberhalb der -Achse. In diesem Modell besitzt also jeder Punkt des Tunnelquerschnis den selben Abstand zu M. Dieser beträgt 5 m. abiturma - Dein Mathe-Abi-Kurs. 5 Tage, 139. Anmeldung auf abiturma.de

6 116 Aufgabenstellung siehe Seite G b) Bestimmung von F(5) Die Integralfunktion F ist definiert als: F() = ()d Der Wert F(5) entspricht damit der Fläche unterhalb des Graphen von im Intervall [; 5]. Weil der Graph einen Halbkreis mit Radius = 5 um den Ursprung beschreibt, ist F(5) folglich die Fläche eines Viertelkreises mit Radius = 5. Es gilt also: F(5) = = 5 4 Zuordnung der Schaubilder Es soll entschieden werden, welcher der folgenden drei Graphen der Graph von F ist. B C -5 5 A Die Integralfunktion F ist definiert als F() = ()d Der Graph von verläu oberhalb der -Achse. Damit hat der Graph der Funktion F eine Nullstelle für = und ist im Intervall [; 5] monoton steigend. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt: (-) = 5 - (-) = 5 - = () Video-Lösungen aller Aufgaben auf abiturma.de/abituraufgaben

7 Aufgabenstellung siehe Seite 117 Damit gilt für [-5; ], dass F() = ()d = - ()d = - - ()d = -F(-) Der Graph der Funktion F muss also punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Die in Graph B skizzierte Funktion gehört somit nicht zum Graphen von F. Die Funktion hat bei = 5 eine Nullstelle. Es gilt: F () =() und damit F (5) =(5) = Der Graph der Funktion F muss also an der Stelle = 5 eine waagrechte Tangente haben. Die in Graph C skizzierte Funktion gehört somit auch nicht zum Graphen von F. Die in Graph A skizzierte Funktion gehört somit zum Graphen von F. c) Die erschnisfläche A des Tunnels ist in diesem Modell gegeben durch: A = F(5) = 5 4 = 5 Die erschnisfläche A des Tunnels bei Modellierung mit Funktion wurde in Aufgabe a) bestimmt und es gilt: A = 1 Die prozentuale Abweichung des Wertes A von A kann dann wie folgt berechnet werden: = A - A = A 5-1= A A 1-1= Die erschnisfläche der Modellierung mit Funktion weicht ungefähr 34 % von der erschnisfläche der Modellierung mit Funktion ab. d) Zwei Geraden verlaufen parallel, wenn sie dieselbe Steigung besitzen. Die Steigung der Gerade kann aus der Geradengleichung abgelesen werden. Es gilt: Lösungen = Zu zeigen ist also, dass für die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt P(4 (4)) gilt: = Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt P(4 (4)) entspricht dem Wert der Ableitung von an dieser Stelle. Daher wird zunächst mithilfe der Keenregel die Ableitung der Funktion bestimmt. Es gilt: - () = 5 - = und damit -4 (4) = = Die Tangente und die Gerade haben also dieselbe Steigung und sind damit parallel. Der Graph G, die Tangente und die Gerade sind im nachfolgenden Schaubild skizziert. abiturma - Dein Mathe-Abi-Kurs. 5 Tage, 139. Anmeldung auf abiturma.de

8 118 Aufgabenstellung siehe Seite G e) Der Punkt R(4 (4)) ist laut Aufgabenstellung derjenige Punkt der Tunnelwand, der den kleinsten Abstand zum Hangprofil besitzt. Nun wird auf derjenige Punkt S des Hangprofils gesucht, welcher den kleinsten Abstand zu R besitzt. G Der Punkt S liegt sowohl auf der Geraden als auch auf der Normalen zum Graphen von im Punkt R. Zu bestimmen ist also der Schnipunkt S der Geraden mit der Normalen von im Punkt R. Der Abstand dieser beiden Punkte R und S kann dann mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden und entspricht dem Abstand. R S Video-Lösungen aller Aufgaben auf abiturma.de/abituraufgaben