Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch:

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Birgit Gerstle
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1 Aufgabe 1 Führen Sie eine ausführliche Funtionsuntersuchung für folgende Funtion durch: 1 2 f ( x) x 0,5x 2 Aufgabe 2 Führen Sie eine ausführliche Funtionsuntersuchung für folgende Funtion durch: 1 3 f ( x) x 1,5 x 1

2 Aufgabe 3 Führen Sie eine ausführliche Funtionsuntersuchung für folgende Funtion durch: f ( x) x 1,5 x x Aufgabe a) Untersuchen Sie die Funtion 2 f x x 6x 8. b) Bestimmen Sie die Steigungen in den Nullstellen von f und bestätigen Sie, dass die Summe dieser Steigungen null ergibt. c) Begründen Sie das Ergebnis aus b) mithilfe der Symmetrieeigenschaften von f. d) Sind die Steigungen der Tangenten nach oben bzw. unten beschränt? e) Die Extrempunte von f bestimmen ein Dreiec. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt und Umfang. f) Ermitteln Sie den Schnittpunt der Wendetangenten.

3 Aufgabe Gegeben ist die Funtion f x x x 3x 6 3 a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Achsenschnittpunte, Extremwerte und Wendepunte. Zeichnen Sie den Funtionsgraphen. b) Vom Ursprung aus werde eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente und geben Sie die Koordinaten des Berührungspuntes an. Zeigen Sie, dass die Tangente den Graphen von f in O (0; 0) orthogonal schneidet c) Für ist f x x x 3x. Zeigen Sie, dass f zur Funtionenschar f gehört und untersuchen Sie allgemein die Lage des Graphen in Bezug zur Gerade 1 y x. 3 Aufgabe Gegeben ist die Funtion f x x x 20 3 a) Begründen Sie, dass der Funtionsgraph symmetrisch zum Koordinatenursprung ist. b) Bestimmen Sie die Schnittpunte des Graphen mit der 1. Achse sowie die Extrem- und Sattelpunte. Zeichnen Sie den Graphen für 3 x c) Für ist f x x x. 3 Untersuchen Sie den Graphen von f in Abhängigeit von auf Extrempunte. Bestimmen Sie die Ortslinie der Kurvenschar. (Zeichnet man alle Funtionen der Kurvenschar f, so liegen die Extrempunte dieser Schar auf einer Funtion, die man als Ortslinie bezeichnet. Sie finden Hinweise dazu im Lehrbuch auf Seite 229.) d) Begründen Sie, dass unabhängig von jede Funtion f aus c) stets mindestens einen Extrempunt hat.

4 Aufgabe 7 Ein Bauunternehmen baut an Schienenstrecen Lärmschutzwälle, die die angrenzenden Wohngebiete vor Fahrgeräuschen schützen sollen. Das Profil eines solchen Walls und des sich anschließenden Abflussgrabens ist im Intervall [0; 7] nach der Funtionsgleichung g x x x x (x in Metern) geformt, wobei die x-achse das waagrechte Gelände darstellt. Bestimmen Sie die Höhe und Breite des Lärmschutzwalls sowie die Tiefe und Breite des rechts neben dem Wall liegenden Abflussgrabens und sizzieren Sie dann das Gesamtprofil in einem Koordinatensystem (alle Endergebnisse sind in der Einheit m, auf cm genau anzugeben). Aufgabe 8 Gegeben ist eine ganzrationale Funtion f dritten Grades mit dem Definitionsbereich. Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f. a) Bestimmen Sie mithilfe von G f die Funtionsgleichung von f, indem Sie geeignete Punte vom Graphen ablesen. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Hoch- und des Wendepuntes. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t(x) an G f im Schnittpunt mit der y-achse. In welchem Punt S schneidet die Tangente G f? Zeichnen Sie die Tangente in die Abbildung ein. Zuatzaufgabe: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von der in Teilaufgabe c bestimmten Tangente t und G f eingeschlossen wird. Hinweis: Die Fläche unter einer Kurve wird mittels Integrale bestimmt x 1 dx x x

5 Aufgabe 9 Die Flugweite eines geworfenen oder gestoßenen Gegenstandes hängt von der Anfangsgeschwindigeit, dem Abwurfwinel und der Abwurfhöhe ab. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, dann lässt sich die Flugbahn einer Kugel näherungsweise durch eine Parabel beschreiben. Dabei soll gelten: - Die Abwurfhöhe h 0 betragt 2,20 m. - Der höchste Punt der Flugbahn wird nach 8 m erreicht. - Die Kugel landet bei 19,5 m. a) Bestimmen Sie eine Funtion 2. Grades f (x) = ax2 + bx + c, welche die Flugbahn näherungsweise beschreibt. b) Berechnen Sie den Abwurfwinel und den Aufprallwinel. Aufgabe 10 Eine Funtion dritten Grades verläuft durch den Koordinatenursprung und hat bei 2 und +6 Extremstellen. Ermitteln Sie die Gleichungen aller Funtionen, die diese Bedingungen erfüllen. Lösung: f x x 2x 3 x, Abbildung für = 2:

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