2) 2 4 in der größtmöglichen Definitionsmenge

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 009 Mathematik 13 Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Gegeben ist die Funktion f( x) ln ( x ) 4 in der größtmöglichen Definitionsmenge D f IR. Ihr Graph wird mit G f bezeichnet. Teilaufgabe 1.1 (4 BE) Bestimmen Sie D f, untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen und bestimmen Sie ihr Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge. Definitionsmenge: ( x ) 4 0 erfüllt für alle x IR Nullstellen: ( x ) 4 1 besitzt keine Lösung, also keine Nullstellen x ln ( x ) 4 x ln ( x ) 4 Teilaufgabe 1. (5 BE) Untersuchen Sie G f auf Punkte mit horizontaler Tangente (Koordinaten und Art). [ Teilergebnis: f' ( x) 4x 8 ] 4x 8 1. Ableitung: f' ( x) ( x ) 4 ( x ) 4x ( ) 4x 4 4 4( x ) 4x 8 Horizontale Tangenten: x E 4( x ) 0 auflösen x x E Zähler neg pos Nenner pos pos f '(x) neg pos G f smf sms Tiefpunkt Monotonieverhalten wechselt von streng monoton fallend (smf) zu streng monotonsteigend (sms) Extremum ist Tiefpunkt ln 4 f x E ( ) TP( ln ( 4) ) Seite 1 von 6

2 Teilaufgabe 1.3 (9 BE) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte von G f und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente in dem Wendepunkt, der auf der y-achse liegt.. Ableitung: f'' ( x) 4 4x 8 4x 4x 8 ( 8) ( x 4) 4x 16x 3 8x 4x 8 16x 16x 3 vereinfacht: f'' ( x) 4 16x 4x 8 Wendepunktsbedingung: x W 4 16x 0 auflösen x 0 4 einfache Nullstellen 1. Wendepunkt: x W1 4 y W1 ln ( 8) WP 1 ( 4 ln ( 8) ). Wendepunkt: x W 0 y W ln ( 8) WP ( 0 ln( 8) ) liegt auf der y-achse Steigung der Wendetangente: Wendetangente: tx ( ) f' x W f' x W 1 x x W fx W tx ( ) x ln( 8) Teilaufgabe 1.4 (5 BE) Zeichnen Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse für 8 x 4 in ein kartesisches Koordinatensystem. Tragen Sie auch die Wendetangente aus Aufgabe 1.3 in Ihre Zeichnung ein. 10 G f 8 6 y-achse WP 1 4 WP G t x-achse Seite von 6

3 Teilaufgabe.0 4x 8 Wir betrachten nun die Funktion gx ( ) f' ( x) mit D g D f (siehe Aufgabe 1.). 4x 8 Ihr Graph wird mit G g bezeichnet. Teilaufgabe.1 (6 BE) Ermitteln Sie - unter Verwendung der Ergebnisse von Aufgabe 1 - die Nullstellen von g und die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G g. gx ( ) 4x 8 4x 8 Die Extremstellen von f(x) sind die Nullstellen von g, die Wendestellen von f(x) sind die Extremstellen von g. gx ( ) 0 f' ( x) 0 x 0 g' ( x) 0 f'' ( x) 0 x x 1 4 bei G f Wechsel von rechtsgekrümmt (< 0) nach linksgekrümmt (> 0), also Tiefpunkt von G g y 1 gx 1 y 1 1 TP g ( 4 1) 0 bei G f Wechsel von linksgekrümmt (> 0) nach rechtsgekrümmt (< 0), also Hochpunkt von G g y g y 1 HP g ( 01) Teilaufgabe. (5 BE) Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von G g und zeichnen Sie G g unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse für 8 x 4 in das Koordinatensystem von Aufgabe 1.4. x 4x 8 4x 8 0 x 4x 8 4x 8 0 Zählergrad von g kleiner Nennergrad von g: horizontale Asymptote y 0 0 Zeichnung siehe.3 mit Fläche Seite 3 von 6

4 Teilaufgabe.3 (5 BE) Berechnen Sie in Abhängigkeit von c den Inhalt Ac ( ) der Fläche, die G g mit der x-achse und der Geraden mit der Gleichung x c c einschließt, und untersuchen Sie, ob Ac ( ) für c endlich ist. Wählen Sie c: 8 7 c y-achse c.4 Ac ( ) c Ac ( ) 3.5 gx ( ) dx x-achse Gaph von f Wendetangente Wendepunkt 1 Wendepunkt Fläche Graph von g Tiefpunkt von g Hochpunkt von g Horizontale Asymptote von g Fläche: Ac ( ) c gx ( ) dx f ist Stammfunktion von g: Ac ( ) f( c) f( ) ln ( c ) 4 ln ( 4) c ln ( c ) 4 ln ( 4) Die Fläche Ac ( ) ist also nicht endlich. Seite 4 von 6

5 Teilaufgabe 3.0 Eine bayerische Gemeinde gab 006 im Vorfeld der Fortschreibung des Flächennutzungsplanes auf die kommenden Jahre eine Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl in Auftrag. Das beauftragte Institut sollte aus folgendem Datensatz als mathematisches Modell eine reelle Funktion Nt () aufstellen, die die Einwohnerzahl N in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren seit 1995 annähernd beschreibt und deren Wert für die weitere Entwicklung der Einwohnerzahl ab 005 zugrunde gelegt werden sollen. Für den wird t 0gesetzt. Auf die Mitführung von Einheiten kann im Folgenden verzichtet werden. "Jahr (Stand am 1.1.)" "Einwohnerzahl" Teilaufgabe 3.1 (4 BE) Um einen geeigneten Ansatz zu finden, sind folgende Fragen zu beantworten. Die Antworten sind kurz zu begründen. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Näherungsfunktion zu jedem Zeitpunkt die Eigenschaften hat, die sich aus den Werten der Tabelle ergeben. A) Sollte die 1. Ableitung stets positiv oder negativ sein? B) Sollte der Graph der Näherungsfunktion stets rechts- oder linksgekrümmt sein? C) Hat die gesuchte Funktionsgleichung die Form y mx b? A) Die Enwohnerzahl steigt, also sollte die 1. Ableitung positiv sein. B) Die Änderungsrate (siehe unten) wird kleiner, deshalb sollte der Graph rechtsgekrümmt sein C) Nein, denn die. Ableitung der Geraden wäre Null, also nicht rechtsgekrümmt. Teilaufgabe 3. (5 BE) Die Erkenntnisse von 3.1 legen nahe, den Ansatz für eine beschränkte Wachstumsfunktion der Form Nt () C ae kt mit C, a, k IR + zu wählen. Bestimmen Sie aus den Einwohnerzahlen der Jahre 000 und 005 die Werte für a und k, wenn gilt: C 0000 [ Ergebnis: Nt () e t ] Nt ( ak) 0000 ae kt N5 ( ak) ae 5k ( 1) N10 ( ak) ae 10k 1686 ( ) Gleichung (1) 4554 ae 5k Gleichung () 3714 ae 10k ( 1) ( ) Logarithmieren: In (1) e 5k 5k ln k ln a 4554 e 5k a a k ln k Seite 5 von 6

6 Teilaufgabe 3.3 (3 BE) Überprüfen Sie, ob das Modell die Einwohnerzahl von 003 richtig angibt und prognostizieren Sie mit Hilfe des Modells die Einwohnerzahl für 030. Gegeben: Jahr 003: Nt () e t N8 ( ) Tabelle: N geringe Abweichung, Modell stimmt Jahr 030: N35 ( ) Teilaufgabe 3.4 ( BE) Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes von C im Sachzusammenhang. Nach sehr langer Zeit: t Nt () C 0000 ist also die Obergrenze für die Einwohnerzahl. Teilaufgabe 3.5 (3 BE) Berechnen Sie den Wert der 1. Ableitung Bedeutung. d Nt () dt an der Stelle t 14und interpretieren Sie dessen 1. Ableitung: N' () t d Nt () dt 7.7e t Zeitpunkt t 14: N' ( 14) gerundet: N' ( 14) 19 Das ist die lokale Änderungsrate am , die Zuwachsrate in diesem Jahr beträgt durchschnittlich 19. Teilaufgabe 3.6 (4 BE) Die Kanalisation der Gemeinde ist für ca Einwohner ausgelegt. Berechnen Sie, wann gemäß dem Modell mit einer Überschreitung dieser Einwohnerzahl zu rechnen ist. Nt () e t Auflösen: t 0 Nt () Nach 4 Jahren, also im Jahr 037 wird die Einwohnerzahl voraussichtlich überschritten. Seite 6 von 6