Arbeitsblätter Förderplan EF

Transkript

1 Arbeitsblätter Förderplan EF I.1 Nullstellen bestimmen Lösungen I.2 Parabeln: Nullstellen, Scheitelpunkte,Transformationen Lösungen I.3 Graphen und Funktionsterme zuordnen Lösungen II.1 Transformationen Lösungen III.1 Symmetrie Lösungen IV.1 Funktionen ableiten Lösungen V.1 Parabeln: Tangenten, Sekanten, Passanten Lösungen VI.1 Graph von Funktion und 1. / 2. Ableitung 1 Lösungen VI.2 Graph von Funktion und 1. / 2. Ableitung 2 Lösungen VII.1 Kurvendiskussion: zwei Beispiele VII.2 3 Kurvendiskussionen Lösungen A. 1, 2 Lösungen A. 3

2 Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele: (x 2 4)(x+5)=0 x 2 4=0 v x+5 = 0 x = 2 v x= 2 v x = 5 x 3 +2x 2 = 0 x 2 (x+2)=0 x=0 v x = 2 a) (x 5)(2x+4)=0 b) (x 2 +9) (x+9)=0 c) (x+3)(3x+1)=0 d) x 3 +6x 2 = 0 e) (2x 5)(5x+2) = 0 f) x 6 8x 3 = 0 g) (4 x 2 )(2+x 4 )=0 h) x 5 4x 4 =0 E 0; 1,25 L 3; 1 3 N 0; 2 I 2,5; 0,4 V 0; 6 S 0 E 9 H 5; 2 F 3; 9 B 5; 0,5 S 8; 6 K 2; 2 I 0; 4 K 2,5; 0,4 I 3; 3; 9 L 2; 2; 0,5 S 0; 6 R 0; 1; 1 In der Tabelle sind die richtigen Lösungsmengen zu finden. Die zugehörigen Buchstaben ergeben eine europäische Großstadt. Aufgabe 2 Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen: a) f 1 (x) = x 2 +x b) f 2 (x) = 4x 4 2x 2 c) f 3 (x) = 5x 2 +8x 2 d) f 4 (x) = x 4 3x 2 e) f 5 (x) = 2x 3 6x 2 f) f 6 (x) = 8x 9 +9x 8 g) f 7 (x) = 2x 3 6x 2 +2x h) f 8 (x) = x 3 x 4 Aufgabe 3 Ermittle die Nullstellen a) f(x)= x(2x 3)(x+4) b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= 3x 2 6x+9 d) f(x) = 3 (x 2 +2)(x-3)(x 3-1) Aufgabe 4 Ermittle die Nullstellen (ggf. auch mit TR) und den y Achsenabschnitt: a) f(x)= (x 2 +2)(2x 3) x b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= 3x 2 6x+9 d) f(x) = e) f(x) = 4x 2 12x+2 1 x 3 x 2 4 6

3 Lösungen Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 HELSINKI Lösungen Aufgabe 2 a) x 2 +x = 0 x(x+1)=0 x=0 v x = 1 e) 2x 3 6x 2 = 0 2x 2 (x 3)=0 x=0 v x = 3 b) 4x 4 2x 2 = 0 x 2 (4x 2 2)=0 x=0 v 4x 2 2 = 0 x=0 v x 2 = 2 x=0 v x= 2 1,41 v x = 2 1,41 f) 8x 9 +9x 8 = 0 x 8 (8x+9) = 0 x=0 v x = 9 8 c) 5x 2 +8x 2 = 0 /:( 5) x 2 1,6x+0,4 = 0 x = 0,8 ± x = 0,8 + 0,24 2 0,8 0,4 v x = 0,8 0,24 x 1,29 v x 0,31 g) 2x 3 6x 2 +2x = 0 x=0 v x 2,62 v x 0,38 (TR a=2; b= 6; c=2; d=0) d) x 4 3x 2 = 0 x 2 (x 2 3)=0 x=0 v x = ± 3 x=0 v x ±1,73 h) x 3 x 4 = 0 x 3 (1 x) = 0 x=0 v x = 1 Aufgabe 3 a) x(2x 3)(x+4)=0 x=0 v 2x-3=0 v x+4=0 x=0 v x=1,5 v x= 4 b) x 2 +8=0 x 2 =-8 x = ± -8 Es gibt keine Nullstellen. c) 3x 2 6x+9=0 x 2 2x+3 = 0 x = 1 ± 1 3 = 1 ± 2 Es gibt keine Nullstellen. d) 3 (x 2 +2)(x-3)(x 3-1) = 0 x 2 +2 = 0 v x 3 = 0 v x 3 1 = 0 x = 3 v x = 1 e) f(x)=0 (TR: a= 4; b= -12; c=2) x 2,82 v x 0,18; f(0)= 2; S y (0 2) Aufgabe 4 a) Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. (x 2 +2)(2x-3) x = 0 x 2 +2 =0 v 2x 3= 0 v x=0 x=1,5 v x =0 (da x 2 +2=0 keine Lösung hat.) b) x 2 +8=0 x 2 = -8 keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. c) 3x 2-6x +9 =0 x 2-2x +3 = 0 x = 1 ± 1-3 ; keine Lösung (siehe 1b)) d) 1 6 x3 x 2 +4 = 0 x -1,76 v x 5,06 v x 2,69 (TR: a = 1 6 ; b= 1; c=0; d=4) y-achsenabschnitte: f(0) berechnen! a) f(0)=0; b) f(0) = 8; c) f(0) = 9; d) f(0) = 4

4 Arbeitsblatt I.2 Nullstellen, Scheitelpunkte quadratischer Funktionen, Transformationen der Normalparabel Hier ist Einiges durcheinander geraten. Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt und die richtigen Nullstellen zu. Berechne fehlende Nullstellen und Scheitelpunkte und gib an, durch welche geometrischen Transformationen der Graph aus dem Graphen der Normalparabel entsteht. Funktion Scheitel punkt Nullstellen y = x S(0 1) Nullstellen: x 1 = 1 ; x 2 = 1 y = x 2 + 2x 1 S(3 4) Nullstellen: x 1 = 0 ; x 2 = y = (x 3) 2 4 S(1 0) keine Nullstellen y = (x 1) 2 S( 2 1) Nullstellen: x = y = x(x + 2) y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 + 2x y = (x + 2) S(0 1) Entstehung aus der Normalparabel (E. = Einheit) Verschiebung um 1 E. nach links und 1 E. nach unten. Verschiebung um 1 E. nach rechts, dann Spiegelung an der x Achse Aufgabe 2 Lies die Koordinaten der Scheitelpunkte rechts ab und ermittle die Funtionsgleichung. Achte auf eine mögiche Streckung der Parabel. a) S( ) y = b) S( ) y = a b c c) S( ) y = d) S( ) y = e) S( ) y = Aufgabe 3 Wie lautet die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem der Normalparabel entsteht, indem man diesen a) um 7 Einheiten nach unten verschiebt? f(x) = b) um 2,5 Einheiten nach links verschiebt? f(x) = c) um 2 5 Einheiten nach links und um 1 Einheiten nach 3 oben verschiebt? f(x) = d e d) an der x Achse spiegelt, und der die x Achse nur bei x = 4,2 berührt? f(x) = Aufgabe 4 Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung: a) 1 4 x2 25 = 0 b) 2x 2 + 4x = 0 c) x 2 + 3x 10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = d) 6(x 4)(x + 4) = 0 e) 1 2 x2 4x + 8 = 0 f) 1 3 x2 + 2x +10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 =

5 Lösungen Arbeitsblatt I.2 Nullstellen, Scheitelpunkte quadratischer Funktionen, Transformationen der Normalparabel Funktion Scheitel punkt Nullstellen y = x S(0 1) Nullstellen: x 1 = 1 ; x 2 = 1 y = x 2 + 2x 1 S(1 0) Nullstellen: x 1 = 1 y = (x 3) 2 4 S(3 4) Nullstellen: x 1 = 1; x 2 = 5 y = (x 1) 2 S(1 0) Nullstellen: x 1 = 1 y = x(x + 2) S( 1 1) Nullstellen: x 1 = 2; x 2 = 0 y = x 2 + 4x + 5 S( 2 1) keine Nullstellen y = x 2 + 2x S( 1 1) Nullstellen: x 1 = 2; x 2 = 0 y = (x + 2) S( 2 1) keine Nullstellen Transformation der Normalparabel E. = Einheit Spiegelung an der x Achse, dann Verschiebung um 1 E. nach oben (oder umgekehrt) Verschiebung um 1 E. nach rechts Verschiebung um 3 E. nach rechts und um 4 E. nach unten Verschiebung um 1 E. nach rechts, dann Spiegelung an der x Achse (oder umgekehrt) Verschiebung um 1 E. nach links und 1 E. nach unten. Verschiebung um 2 E. nach links und 1 E. nach oben. Verschiebung um 1 E. nach links und 1 E. nach unten Verschiebung um 2 E. nach links und 1 E. nach oben.

6 Arbeitsblatt B I.3 Graphen zuordnen Aufgabe 1 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: f(x) = x 4 + 2x 2 2 g(x) = x 5 + 2x 3 x h(x) = x 5 +x 4 +x 3 +2 i(x) = 7x j(x) = 7x A B C D E F k(x) = x 5 x 4 x 3 2 f i g j h k Aufgabe 2 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: A B G C D H E F f 1 (x) = 1 10 x4 1 2 x2 +1; f 2 (x) = 1 10 x5 +x 3 x+ 1 f 3 (x) = 1 10 x x3 2x+ 1 f 4 (x) = 1 10 x4 +x 2 +1 f 5 (x) = 1 10 x x4 x 3 +2x+1; f 6 (x) = 1 2 x3 +2x+1; f 7 (x) = 1 2 x3 2x+1; f 8 (x) = 1 10 x4 1 2 x3 2x+1 Funktion: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 Buchstabe:

7 Lösungen Arbeitsblatt BI.3 Graphen zuordnen Aufgabe 1 Aufgabe 2 Funktion: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 Buchstabe: B D F H E A G C

8 Arbeitsblatt II.1 Transformationen Regeln mit Beispielen geometrische Transformation a) Spiegelung an der x Achse b) Spiegelung an der y Achse c) d) e) f) g) Verschiebung um a Einheiten nach rechts Verschiebung um a Einheiten nach links Verschiebung um a Einheiten nach oben Verschiebung um a Einheiten nach unten Streckung in y Richtung mit Faktor a>0 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus! Spiegelung an der x Achse von a) f(x) = 2x 2 +5x b) f(x) = 2 3 x Änderung des Funktionsterms zu f(x) Beispiel: f(x) = x 2 +3x+5; a = 4 Funktionsterm mit ( 1) multiplizieren. Beispiel: f(x) = ( x 2 +3x+5) = x 2 3x 5 Ersetze jedes x durch ( x) Beispiel: f( x) = ( x) 2 +3( x)+5 = x 2 3x + 5 Ersetze jedes x durch (x a) Beispiel: a=4; f(x 4) = (x 4) 2 +3(x 4)+5 = Ersetze jedes x durch (x+a) Beispiel: a=4; f(x+4) = (x+4) 2 +3(x+4)+5 = Zum Funktionsterm a addieren. Beispiel: a=4; f(x)+4 = x 2 +3x+5+4 = x 2 +3x+9 Vom Funktionsterm a subtrahieren. Beispiel: a=4; f(x) 4 = x 2 +3x+5 4 = x 2 +3x+1 Funktionsterm mit a multiplizieren. a=4; 4 f(x) = 4x 2 +12x+20 a) b) Spiegelung an der y Achse a) f(x) = x 3 3x b) f(x) = 4 1,5 x Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x Verschiebung um 2 Einheiten nach links a) f(x) = x 3 b) f(x) = 4 x Verschiebung um 4 Einheiten nach oben a) f(x) = x 4 +3x 2 2 b) f(x) = 3 1,5 x Verschiebung um 3 Einheiten nach unten a) f(x) = 3x 4 +7x 2 3x +5 b) f(x) = 0,4 5 x Streckung in y Richtung mit Faktor 2 a) f(x) = x 2 3x b) f(x) = 3 1,5 x Aufgabe 2 Führe folgende Transformationen durch (LE. = Längeneinheiten) a) Verschiebung um 3 LE. nach unten. b) Verschiebung um 2 LE. nach rechts. c) Spiegelung an der x Achse. f(x) = 3x 3 2x 2 +4 g(x) = 3 2 x

9 Lösungen Arbeitsblatt II.1 Transformationen Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus! Spiegelung an der x Achse von a) f(x) = 2x 2 +5x b) f(x) = 2 3 x g(x) = 2x 2 5x g(x) = 2 3 x Spiegelung an der y Achse a) f(x) = x 3 3x b) f(x) = 4 1,5 x g(x) = ( x) 3 3( x) = x 3 +3x g(x) = 4 1,5 x Verschiebung um 7 Einheiten g(x) = (x 7) 2 +(x 7) nach rechts a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x = x 2 13x+42 g(x) = 2 0,5 x 7 Verschiebung um 2 Einheiten nach links g(x) = (x+2) 3 = x 1 g(x) = 4 x+2 a) f(x) = x 3 b) f(x) = 4 x Verschiebung um 4 Einheiten nach oben a) f(x) = x 4 +3x g(x) = x +3x 2 +2 g(x) = 3 1,5 x + 4 b) f(x) = 3 1,5 x Verschiebung um 3 Einheiten nach unten a) f(x) = 3x 4 +7x 2 3x +5 b) f(x) = 0,4 5 x 4 g(x) = = 3x +7x 2 3x +2 g(x) = = 0,4 5 x 3 Streckung in y Richtung mit Faktor 2 g(x) = 2(x 2 3x)=2x 2 6x g(x) = 6 1,5 x a) f(x) = x 2 3x b) f(x) = 3 1,5 x Aufgabe 2 Führe folgende Transformationen durch (LE. = Längeneinheiten) f(x) = 3x 3 2x 2 +4 g(x) = 3 2 x a) Verschiebung um 3 LE. nach unten. h(x) = 3x 3 2x 2 +1 h(x) = 3 2 x 3 b) Verschiebung um 2 LE. nach rechts. h(x) = 3(x 2) 3 2(x 2) 2 +4 h(x) = 3 2 x 2 c) Spiegelung an der x Achse. h(x) = (3x 3 2x 2 +4) = 3x 3 +2x 2-4 h(x) = 3 2 x

10 Arbeitsblatt III.1 Symmetrie Welche Funktionen sind nullpunktsymmetrisch (ungerade), welche y achsensymmetrisch (gerade), welche haben keine besondere Symmetrie? Die zugehörigen Buchstaben ergeben jeweils den Namen einer Stadt. A f(x) = x 3 +1 K f(x) = (x 2) 4 I f(x) = x 4 3 T f(x) = x 1 D f(x) = x 5 3x U f(x) = (x 2 +1) 3x H f(x) = 3 2x B f(x) = 0,2x E f(x) = x 3 +x+1 E f(x) = x 6 11x 2 L f(x) = 1 x I f(x) = a 2 x 3 +a 4 x W f(x) = 5 N f(x) = 2x 3 N f(x) = x nullpunktsymmetrisch: y achsensymmetrisch: weder nullpunktsymmetrisch noch y achsensymmetrisch :

11 Lösungen Arbeitsblatt III.1 Symmetrie Kiew Athen Dublin

12 Arbeitsblatt IV.1 Ganzrationale Funktionen ableiten Aufgabe 1 Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = x 4 ; f (x) = b) f(x) = 4x 2 ; f (x) = c) f(x) = 2x 6 +x 3 : f (x) = d) f(x) = 1 x 4 2x 3 ; f (x) = 4 e) f(x) = 0,5x 5 2x + 1; f (x) = f) f(x) = 3x 4 f (x) = g) f(x) = x 2 + tx: f (x) = h) f(x) = 2; f (x) = i) f(x) = x; f (x) = j) f(x) = 3x 2 + 2a; f (x) = Funktion f fehlerhafte Ableitung Verbesserung Fehlerbeschreibung f(x) = x f (x) = 3x f (x) = 3x 2 Konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x) = x 6 f (x) = 6x 5 f(x) = f(t) = tx 2 2 x 2 3 4x f (x) = 1 x 4 3 f (t) = 2tx f(x) = 3x 5 f (x) = 3x f(x) = 2 f (x) = 2 Aufgabe 3 Bestimme f (x), indem du zuerst den Funktionsterm umwandelst. a) f(x) = x 2 (x 2) = ; f (x) = b) f(x) = 5 (x + 2) 2 = ; f (x) = c) f(x) = x (x + 2)(x 3)= ; f (x) = d) f(x) = 4(x 4 +3) x 2 = ; f (x) =

13 Lösungen Arbeitsblatt IV.1 Ganzrationale Funktionen ableiten a) f(x) = x 4 ; f (x) = 4x 3 b) f(x) = 4x 2 ; f (x) = 8x c) f(x) = 2x 6 +x 3 f (x) = 12x+6x 2 d) f(x) = 1 x 4 2x 3 ; f (x) = x 3 6x 2 4 e) f(x) = 0,5x 5 2x + 1 f (x) = 2,5x 4 2 f) f(x) = 3x 4 f (x) = 2 Parameter wie a und t sind beim Ableiten wie Zahlen zu behandeln. g) f(x) = x 2 + tx f (x) = 2x + t h) f(x) = 2; f (x) = 0 i) f(x) = x; f (x) = 1 j) f(x) = 3x 2 + 2a f (x) = 6x Aufgabe 2 Funktion f Verbesserung Fehlerbeschreibung fehlerhafte Ableitung f(x) = x f (x) = 3x f (x) = 3x 2 Konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x) = x 6 f (x) = 6x 5 f (x) = 6x = 7 2 f(x) = x 2 4x f (x) = 1 x f (x) = 4 x 4 3 Bruchrechnung! t ist die Variable, x 2 f(t) = tx 2 f (t) = 2tx f (t) = x 2 f(x) = 3x 5 f (x) = 3x f (x) = 3 f(x) = 2 f (x) = 2 f (x) = 0 3. Bestimme f (x), indem du zuerst den Funktionsterm umwandelst. a) f(x) = x 2 (x 2) = x 3 2x 2 ; f (x) = 3x 2 4x b) f(x) = 5 (x + 2) 2 = 5(x 2 +4x+4) = 5x 2 +20x+20 f (x) = 10x + 20 c) f(x) = x (x + 2)(x 3)= x(x 2 3x+2x 6)= x 3 x 2 6x f (x) = 3x 2 2x 6 d) f(x) = 4(x 4 +3) x 2 = (4x )x 2 = 4x 6 +12x 2 f (x) = 24x x ist wie ein konstanter Faktor zu behandeln: f(t) = t 10; f (t)=10; f(t) = t x 2 ; f (t) = x 2 f(x) = tx 2 ; f (x) = 2tx Ableitung einer Geraden mx+n ist immer m. f(x)= 2 = 0x+2 f (x) = 0 Der Graph ist eine Parallele zur x Achse, daher ist die Steigung immer 0.

14 Arbeitsblatt V.1 Parabeln und besondere Geraden Aufgabe 1 Der abgebildete Graph gehört zur quadratischen Funktion f(x) = 0,5x 2 1. a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte Q( 1 0,5) und R(3 3,5) des Graphen. b) Diese Gerade nennt man.. Ihre Gleichung ist g(x) =. c Zeichne näherungsweise eine Tangente parallel zur Geraden g(x) ein. Diese Tangente hat die Gleichung t(x) = und sie berührt die Parabel im Punkt P( ). d) Geraden, die einen Graphen weder schneiden noch berühren, nennt man. Zeichne dafür ein Beispiel ein. Aufgabe 2 Gesucht ist derjenige Punkt P(x 0 y 0 ), in dem die Tangente an die Parabel f(x) = 1,5x 2 die angegebene Steigung m habt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes a) m = 6 b) m = 1,5 c) m = 2 x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = P( ) P( ) P( ) Aufgabe 3 Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel f(x) = 3x 2 im Punkt P. a) P(3 27) b) P( 1 3 ) c) P( 2 ) m = m = m = t(x) = x t(x) = x t(x) = x Aufgabe 4 Der Graph von t ist Tangente an die Parabel it der Gleichung f im Punkt P. Ordne die Tangenten und die Berührpunkte den richtigen Parabeln zu. (Zu einer Parabel gehören zwei Tangenten.) Parabeln: f 1 (x) = 2 3 x2 b) f 2 (x) = 1,5x 2 c) f 3 (x) = 4x 2 d) f 4 (x) = 6x 2 ; Tangenten: t 1 (x) = 4x+1; t 2 (x) = 4x 6; t 3 (x) = 6x+6; t 4 (x) = 12x 6 ; t 5 (x) = 3x+1,5 Berührpunkte: P 1 ( 0,5 1); P 2 (1 6); P 3 (1 1,5); P 4 ( 2 6); P 5 (3 6); f 1 ; f 2 ; f 3 ; f 4 ; Aufgabe 5 a) (i) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte P(3 7) und Q( 2 8). (ii) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte R(3 4) und S(5 20). b) Prüfe, ob die Geraden g 1 und g 2 aus a) Sekante, Tangente oder Passante für den Graphen der Funktion f(x) = 3x 2 12x + 8 für sind.

15 Lösungen Arbeitsblatt V.1 Parabeln und besondere Geraden

16 Arbeitsblatt VI.1 Zusammenhang der Graphen von Funktion und ihrer Ableitung Ordne den folgenden Eigenschaften des Graphen einer Funktion f die passende Eigenschaft in Bezug auf den Graphen der Ableitungsfunktion f zu! Wenn die Funktion f(x) A parallel zur x-achse verläuft, 1 dann gilt für den Graphen der Ableitungsfunktion f (x): Er verläuft parallel zur x Achse. B eine Gerade ist, C streng monoton steigt, D streng monoton fällt, 2 Er hat einen Schnittpunkt mit der x Achse. 3 Er verläuft streng monoton steigend. 4 Er verläuft streng monoton fallend. E einen Hoch- oder einen Tiefpunkt hat, 5 Er hat einen Extrempunkt. F linksgekrümmt verläuft, 6 Er verläuft oberhalb der x- Achse. G rechtsgekrümmt verläuft, H ihr Krümmungsverhalten ändert, 7 Er verläuft unterhalb der x-achse. 8 Er verläuft auf der x-achse. Lösung f A B C D E F G H f

17 Lösungen Arbeitsblatt VI.1 Zusammenhang der Graphen von Funktion und ihrer Ableitung Lösung f A B C D E F G H f Lösung A 8 B 1 C 6 D 7 E 2 F 3 G 4 H 5

18 Arbeitsblatt VI.2 Aufgabe 1 Rechts ist der Graph einer Funktion f abgebildet. 1. Welche Aussagen lassen über f machen? 2. Skizziere den Graphen von f in das Schaubild. Aufgabe 2 Rechts ist der Graph einer Funktion f abgebildet. 1. Welche Aussagen lassen über f machen? 2. Skizziere den Graphen von f in das Schaubild.

19 Arbeitsblatt VI.2 Lösung Aufgabe 1 1. f hat bei 0,8 ein lokales Maximum f f hat bei 0,8 eine Nullstelle mit VZW von + nach. 2. f hat bei 2,5 ein lokales Minimum f hat bei 0,8 eine Nullstelle mit VZW von nach f hat bei 1,5 einen Wendepunkt mit R-L-Krümmung f hat bei 1,5 ein lokales Minimum f hat bei 1,5 eine Nullstelle mit VZW von + -> Für x< 0,8 ist f streng monoton steigend f hat für x <0,8 positive Werte. Für 0,8 x < 2,5 ist f streng monoton fallend > f hat für 0,8 < x < 2,5 negative Werte. Für x > 2,5 ist f streng monoton steigend f f hat für x >2,5 positive Werte. Arbeitsblatt VI.2 Lösung Aufgabe 2 1. f' hat bei 0,8 ein lokales Maximum f hat bei 0,8 einen Wendepunkt mit L-R-Krümmung. f' hat bei 2,5 ein lokales Minimum f hat bei 2,5 einen Wendepunkt mit R-L-Krümmung.. 2. f hat bei 0 eine Nullstelle mit VZW von nach + f hat bei 0 ein lokales Minimum. f hat bei 3 eine Nullstelle mit VZW von nach + f hat bei 3 ein lokales Minimum. f hat bei 2 eine Nullstelle mit VZW von + nach f hat bei 2 ein lokales Maximum. 3. f' hat negative Werte für x<0 und für 2 < x < 3 f ist fallend für x<0 und für 2 < x < 3. f' hat positive Werte für 0 < x < 2 und für x > 3 f ist steigend für 0 < x < 2 und für x > 3.

20 AB VII.1 Kurvendiskussion: zwei Beispiele a) f(x) = x 3 x Nullstellen: f(x)=0 x(x 2 1)=0 x=0 v x=1 v x= 1; N 1 ( 1 0) N 2 (0 0); N 3 (1 0) y-achsenabschnitt: S y = N 2 lokale Extrema: f (x)= 3x 2 1=0 x= 1 3 0,6 v x= 1 3 0,6 Untersuchung auf Vorzeichenwechsel: x f (x) Graph von f steigend waag. Tang. fallend waag. Tang. steigend Art Maximum Minimum y-werte: f( 1 3 ) 0,4; f( 1 3 ) 0,4; H( 1 3 0,6 0,4); T( 1 0,6 0,4) 3 Wendepunkte: Die Wendepunkte von f sind die Extrema von f. f (x)=0 6x=0 x=0 x f hat bei x=0 ein f (x) Minimum, also hat f Graph von f fallend waag. Tang. steigend bei x = 0 einen Wendepunkt mit R L Krümmung. Art Minimum W(0 0)=N 2 f(x) = x 4 9x 2 Achsenabschnitte: f(x)=0 x 2 (x 2 9)=0 x=0 v x=3 v x= 3 N 1 ( 3 0); N 2 (0 0); N 3 (3 0); S y =N 2 Lokale Extrema: f (x)=0 4x 3 18x=0 x(4x 2 18)=0 x=0 v x = 4,5 2,1 v x= 4,5 2,1 Art der Punkte: x 3 4, ,5 3 f (x) Graph von f fallend waag. Tang. steigend waag. Tang. fallend waag. Tang. steigend Art Min. Max. Min. T 1 ( 4,5 2,1 f( 4,5 = 20,25); T 2 ( 4,5 f( 4,5 )= 20,25) H(0 0)=N 2 Wendepunkte: Die Wendepunkte von f sind die Extrema von f. f (x)=0 12x 2 18=0 x= 1,5 1,2; x 2 1,5 0 1,5 2 f hat bei 1,5 f (x) Extrema, also hat f dort Graph von f steigend waag. Tang. fallend waag. Tang. steigend Wendepunkte. W 1 ( 1,5 1,2 11,25) Art Max. Min. W 2 ( 1,5 1,2 11,25)

21 AB VII. 2 Kurvendiskussionen innermathematisch Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = 1 2 x3 6x 8 und dem nebenstehenden Graphen. a) Bestimme rechnerisch die Nullstellen und die lokalen Extremstellen der Funktion f. b) Berechne Gleichung der Tangente t(x) im Wendepunkt W. c) Die Gerade g verläuft durch die Extrempunkte von f. Ermittle die Gleichung von g. d) Der Graph von f kann geometrisch so transformiert werden, dass er eine besondere Symmetrie aufweist. Beschreibe die Transformation und gib die Gleichung der transformierten Funktion h(x) an. e) Ermittle für den Bereich [ 5; 3] die Punkte des Graphen, an denen die Steigung am größten bzw. am kleinsten ist. Aufgabe 2 f(x) = 1 10 x x a) Berechne die Nullstellen von f. b) Zeige, dass f keine Extremstellen hat. c) Wie groß ist die Steigung von f mindestens? d) Begründe, dass man den Wendepunkt ohne schriftliche Rechnung ermitteln kann. e) Berechne die Schnittpunkte von f und der Geraden g(x) = 12,9x 24 Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f(x) = x x 2 36x. Ihr Graph ist rechts gezeichnet. a) Berechne Nullstellen und lokalen Extrempunkte von f. b) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen. c) Ermittle die Gleichung der Tangente t(x) an den Graphen an der Stelle x = 4. d) Die Tangente aus c) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne die Achsenabschnitte von t sowie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. e) Zeichne Sie die Gerade durch die beiden Extrempunkte in die obige Zeichnung ein. Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Gerade nicht mit der Wendetangente übereinstimmt.

22 AB VII.2 Kurvendiskussionen innermathematisch: Lösungen Aufgabe 1 und Aufgabe 2 Aufgabe 1 a) Nullstellen: f(x)=0 (TR a= 0,5B b=0; c= 6; d=8) x=4 v x= 2; N 1 ( 2 0); N 2 (4 0) Extremstellen: f (x)= 1,5x 2 6=0 x = 4 v x = 2; Untersuchung auf VZW von f 7, , lok. Max. lok. Min. H( 2 f( 2)=0); T(2 16) [Alternative zum VZW: f ( 2)= 3<0 H( 2 f( 2)=0); f (2)= 3 >0 T(2 16)] b) Wendepunkt: f (x)=1,5x =0 x=0; Unters. auf VZW von f x f (x) -1,5 0 1,5 0 W(0 f(0)= 8); [Alternative zum VZW: f ( 2)= 1,5 > 0 lok. Min. von f WP von f: W(0 f(0) = 8) Wendetangente: t(x)=y=mx+n; Steigung: m= f (0) = 6; y Achsenabschnitt n: t(0)= n= 8 n 8; t(x)= y = 8x 8 y2 y1 c) g(x) = mx + n; H( 2 0); T(2 16); Steigung: m= = x x = 4 ; 2 ( 2) y Achsenabschnitt n: t( 2)=0 4 ( 2)+n = 0 n = 8; g(x) = y = 4x 8 d) Der Wendepunkt müsste im Ursprung liegen. Dazu verschiebt den Graphen von f um 8 Einheiten nach oben, dann ist der Graph nullpunktsymmetrisch: h(x) = 0,5x 3 6x e) Die Steigung wird am größten/kleinsten im Wendpunkt oder am Rand. f (-5)= 31,5; f (0)= 6; f (3) = 7,5 => Die Steigung ist bei x = 5 am größten und im Wendepunkt bei x=0 am kleinsten. Aufgabe 2 a) f(x)=0 x(0,1x 2 + 0,5) =0 x= 0; N(0 0 b) f (x)= 0,3x 2 +0,5 =0 hat keine Lösung keine lokalen Extrema. c) 0,3x 2 +0,5 0,5, da 0,3x 2 nie negativ ist. Die Steigung beträgt mindesten 0,5. d) Die Funktion ist nullpunktsymmetrisch, daher muss der Wendepunkt im Ursprung liegen. e) f(x) = g(x) 0,1x 3 +0,5x = 12,9x 24 0,1x 3-12,4x+24=0 x= 12 v x= 2 v x = 10 S 1 ( 12 g( 12)= 178,8); S 2 (2 g(2)=1,8; S 3 (10 105)

23 AB VII.2 Kurvendiskussionen innermathematisch: Lösungen Aufgabe 3 Aufgabe 3 a) Nullstellen: f (x)=0 x = 0 v x =6; N 1 (0 0), N 2 (6 0) Extrempunkte: f (x) = 0 3x 2 +24x -36 = 0 x 2-8x+12 = 0 x = 2 v x= 6 Untersuchung auf VZW: x f (x) lok. Min. lok. Max. T(2 f(2)= 32); H(6 0) [Alternative zum VZW: f (2)= 12 >0 T(2 f(2)= 32); f (6)= 12 < 0 H(6 0)] b) Wendepunkt: f (x) = 6x + 24 =0 x=4 Unters. auf VZW von f : x f (x) W(4 f(4) = 16) [Alternative zum VZW: f (4)= 6 < 0 lok. Max von f WP von f: W(4 f(4) = 16)] c) t(x) = mx +n; m = f (4)= 12; t(4)= n = 16 n = 64; t(x) = y = 12x 64 d) Achsenabschnitte von t(x): t(0) = 64; t(x)=0 x = Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind und 64 LE lang. A = = FE. y2 y1 e) T(2 f(2)= 32); H(6 0); g(x) = y = mx + n; Steigung: m= = 0 ( 32) = 8. x2 x1 6 2 Da die Wendetangente aus eine Steigung von 12 hat (siehe Aufgabe c)), sind die Geraden verschieden.