Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik

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1 MK 7 B_T_A_MK_Loesxmcd Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik Analysis A Ausbildungsrichtung Technik Gegeben sind die reellen Funktionen f a : x --> x x x Definitionsmenge D fa R und a R a mit der jeweils maximalen Geben Sie die maximale Definitionsmenge D fa an, bestimmen Sie die Art der Definitionslücke in Abhängigkeit von a D a R \ { } Definitionslücke nur möglich, falls Nullstelle x im Zähler: a > a + > Für a gibt es eine hebbare Definitionslücke bei x Für alle anderen Werte von a gibt es eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel bei x 7 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Lage und die Vielfachheiten der Nullstellen von f a x x a D a ( a) () Fall: D für a > Keine Nullstelle () Fall: D für a BE > Zweifache Nullstelle ohne VZW bei x () Fall: D für a BE () Fall: a > Einfache Nullstellen mit VZW bei x a und x a () Fall: a x x x ( x ) > Einfache Nullstelle mit VZW bei x Hebbare Definitionslücke bei x 9 Ermitteln Sie für < a die Art und die Abszisse aller relativen Extrempunkte des Graphen von f a fa ( x) x [ Mögliches Teilergebnis: fa ( x) ( x ) ( x ) x x a ( x ) x x a x x x 6 x x ( x ) x a x x a ( x ) + x a D 6 ( a) a und a > x a x a + Nenner >, Zähler ist eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen, bei x ist eine Definitionslücke x a a fa ( x) + - nd - + > bei x aist ein HoP und bei x aein TiP BE

2 Für a erhält man die Funktion f, die im Folgenden mit f bezeichnet, dh x x f (x) x Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von f Geben Sie auch die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f an Vertikale Asy: x HoP( ) TiP( ) + x x ( x ) x > Schiefe Asy: y x x x x Zeichnen Sie unter der Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen von f sowie sämtliche Asymptoten für x 6 in ein kartesisches Koordinatensystem Maßstab LE cm i 7 xw i i xw yw f ( xw) xw - - yw TiP x 6 HoP ++ xx

3 6 Der Graph von f und die Winkelhalbierende des I Quadranten schließen mit den senkrechten Geraden mit den Gleichungen x und x b mit b R und < b ein Flächenstück ein Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung aus für b Bestimmen Sie anschließend den Wert von b so, dass der Flächeninhalt dieses Flächenstücks die Maßzahl hat xw Kennzeichnen f( xw) xw x xw xw x x Ab ( ) b x dx x x b c x dx ln x Ab ( ) ln( b ) ( ln( ) ) ln( b ) Ab ( ) ln( b ) e b b e b 9896 Gegeben ist die reelle Funktion g: x--> ln( f ( x) ) mit der Funktion f aus und der maximalen Definitionsmenge D g R Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass für die Definitionsmenge D g gilt: D g ; [ Untersuchen Sie außerdem das Verhalten der Funktionswerte g(x) an den Rändern der Definitionsmenge D g ( x ) Zähler > für x <> > D ; [ gx ( ) ln( f ( x) ) x Nenner > für x > x x ( x ) x gx ( ) x x ( x ) x gx ( ) Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunkts des Graphen der Funktion g g ( x) [ Mögliches Teilergebnis: g ( x) f ( x) x ( x ) x x x x x ( x ) x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ++BE x ( x ) ( x ) Einzige Nullstelle und keine Definitionslücken in D, und Verhalten nach > TiP bei x g ( ) ln ( ) ln( ) BE ln( ) BE 7BE

4 Begründen Sie ohne Verwendung der Ableitung von g, dass der Graph von g für x > mindestens einen Wendepunkt besitzt g ( ) und g ( ) 6667 und x x ( x ) ( x ) ++ > g ist stetig in D, rechts von gibt es ein Maximum von g' und somit einen Wendepunkt von g Um die Ausbreitung von Borkenkäfern in bayerischen Wäldern zu erforschen, wird der Befall eines ausgewählten Baumes über den Zeitraum von Monaten untersucht Die Anzahl der in diesem Baum befindlichen Borkenkäfer kann näherungsweise durch den Term Nt () N e λ t t mit t, λ R und t, λ beschrieben werden, wobei N die Anzahl der Borkenkäfer zu Beginn des Beobachtungszeitraums und t die Zeit in Monaten ab Beobachtungsbeginn ist Es ist bekannt, dass sich die Anzahl der Borkenkäfer nach dem ersten Monat verdreifacht hat und nach einem weiteren Monat Borkenkäfer gezählt wurden Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden, sofern nicht anders gefordert Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden Bestimmen Sie λ und N Runden Sie dabei N auf eine ganze Zahl N ( ) N e λ N > e λ( ) > λ ln( ) 9987 N ( ) N e λ > N e λ( ) 86 N 8 Nt () 8 e t t ++BE ++BE Für die folgenden Teilaufgaben gilt: λ und N 8 Ab einem Befall von Borkenkäfern gilt der Baum als dauerhaft geschädigt Berechnen Sie den Zeitpunkt t, zudem diese Anzahl erstmalig erreicht ist 8 e t t > ln 8 t t > t t ln( ) ++ D D D ln( ) 79 t 9 < t 7 Bestimmen Sie den Zeitpunkt t max, zu dem der Befall des Baumes am größten ist [ Mögliches Teilergebnis: N(t) 6 e t t ( t 6) + Np() t 8 e t t ( ) ( t ) 6 e t t ( t 6) + < t 6 > t 6 einzige Nullstelle Np() t für t 6 > HoP bei t 6 6BE

5 N besitzt nur die beiden einfachen Nullstellen t (Nachweis nicht erforderlich) Bestimmen Sie den Zeitpunkt t v, zu dem sich die Borkenkäfer am stärksten vermehren t 6 76 t 6 8 einfache Nullstellen > WP Np() t 6 e t t ( t 6) t Np() t 6 BE t Np() t BE Npt > > Zunahme Np t < > Abnahme > t v t 7 nicht verlangt: 8 t v N( tt) tt