Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen

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1 BOS 12 NT 98 Seite 1 Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtungen) (Arbeitszeit für eine A- und eine S-Aufgabe insgesamt 180 Minuten) 1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen Aufgabengruppe A A I f k : x a f k (x); D f k =IR, f k (x) = (x-4) 2 (x + k) mit k IR. Der Graph einer solchen Funktion f k in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G fk. 1.1 Für einen geeigneten Wert des Parameters k hat die zugehörige Funktion f k eine Stammfunktion F, deren Graph G F im Koordinatenursprung einen Wendepunkt besitzt. Bestimmen Sie diesen Wert des Parameters k und den Funktionsterm F(x) der Stammfunktion F. (8BE) Für alle folgenden Teilaufgaben sei k =2. Zur Funktion f 2 gehört der Funktionsterm f 2 (x) = 8 ( x - 4 ) 2 (x + 2) bzw. f 2 (x) = x x Geben Sie die Nullstellen der Funktion f 2 an und ermitteln Sie für den Graphen G f2 Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunktes. (10BE) 1.3 Zeichnen Sie den Graphen G f2 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle für -2,5 x 6 auf ein gesondertes DIN-A4-Blatt. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm Die Funktion f 2 ist die 1. Ableitungsfunktion der Funktion f 2. Der Graph dieser Ableitungsfunktion f 2 wird mit G f2 bezeichnet Zeichnen Sie in das vorhandene Koordinatensystem für -2 x 6 den Graphen G f2 ein. (3BE) Berechnen Sie die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen G f2 und G f2. (7BE) Die y-achse und die Graphen G f2 und G f2 begrenzen im I. und IV. Quadranten des Koordinatensystems ein Flächenstück. Markieren Sie dieses Flächenstück in der vorhandenen Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. 1.5 Geben Sie unter Verwendung der vorhandenen Graphen die maximalen Monotonieintervalle der Stammfunktionen F C der Funktion f 2 sowie Art und Abszisse des relativen Extremums einer solchen Stammfunktion F C an. (3BE) Fortsetzung siehe nächste Seite

2 BOS 12 NT 98 Seite 2 Fortsetzung A I 2 3(x 4) Gegeben ist nun die reelle Funktion g : x a g(x) = ; D g = IR\{-2}. 4(x + 2) Berechnen Sie den Grenzwert a = lim g(x). x 2 Bestimmen sie diejenigen x-werte mit x D g, für die gilt: g(x)-a < 2 1. (5BE) Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Funktion g und der 2.Ableitungsfunktion f 2 der Funktion f 2 (siehe 1.2)? Die Antwort ist genau zu begründen.(3be) 2 Ein allseits geschlossener Quader mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge a und mit der Höhe h soll ein Volumen von 100 cm 3 besitzen. Die von a abhängige Maßzahl der Oberfläche dieses Quaders wird mit S(a) bezeichnet. Berechnen Sie a so, dass die Größe S(a) ihren absolut kleinsten Wert annimmt. Weisen Sie die Art des Extremums ohne Verwendung der 2. Ableitung der Funktion S nach. (9BE) (Teilergebnis: Verwenden Sie für S(a) die Form S(a) = 2a a 1.) Summe: 60 BE

3 BOS 12 NT 98 Seite 3 A II 1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f k : x a f (x) ; D fk = IR, f k (x) = 91 (x 4 - kx 2-9x k) mit k > 0 /\ k IR. k Der Graph einer solchen Funktion f k in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G fk Untersuchen Sie den Graphen G fk in Bezug auf Symmetrie. (2BE) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f k (x) auch in der Form f k (x) = 1 9 (x2 - k)(x 2-9) schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. (9BE) Berechnen Sie k so, dass die Tangente an den Graphen G fk an der Stelle x o = 1,5 parallel zur Geraden mit der Gleichung y = x verläuft Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben k = 9. (4BE) Begründen Sie, dass für alle x IR gilt: f 9 (x) > 0. Was kann daraus über die Lage des Graphen G f9 im Koordinatensystem gefolgert werden? (3BE) Für die folgenden Berechnungen sollte der Funktionsterm der Funktion f 9 in der Form f 9 (x)= x 2x + 9 verwendet werden Ermitteln Sie für den Graphen G f9 Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten der Wendepunkte. (11BE) Zeichnen Sie den Graphen G f9 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle für x 4. Verwenden Sie ein gesondertes DIN-A4-Blatt im Hochformat mit dem Koordinatenursprung in der Blattmitte. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm Die Parabel G p ist der Graph der quadratischen Funktion p : x a p (x) ; D p = IR. Diese Parabel verläuft symmetrisch zur y-achse, schneidet die x-achse im Punkt N(3; 0) und die Ordinate ihres Scheitelpunktes hat den Wert y S = Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) und zeichnen Sie die Parabel G p im Bereich x < 4 in das unter Teilaufgabe beschriebene Koordinatensystem ein. (5BE) (Teilergebnis: p (x) = 1 3 x2 3) Die Graphen G f9 und G p schließen drei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie für jenes Flächenstück, das den Koordinatenursprung enthält, die Maßzahl seines Flächeninhalts Die Funktion F ist diejenige Stammfunktion der Funktion f 9 mit D F = IR, deren Graph G F den Punkt A(-3; 0) enthält Bestimmen Sie den Funktionsterm F(x). (3BE) Zeigen Sie unter Verwendung bereits vorhandener Ergebnisse ohne weitere Rechnung, dass der Graph G F für alle x IR echt monoton steigt. Begründen Sie auch, dass dieser Graph genau zwei Terrassenpunkte enthält. (5BE) Fortsetzung siehe nächste Seite

4 BOS 12 NT 98 Seite 4 Fortsetzung A II 2 Gegeben ist nun die reelle Funktion g: xa g (x) = 1 x ; D g = IR \{0}. Bestimmen Sie unter Verwendung des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion g an der festen, aber beliebigen Stelle x o D g. Was lässt sich aus der Tatsache ihrer Differenzierbarkeit in Bezug auf Stetigkeit bzw. Unstetigkeit der Funktion g an der Stelle x o folgern? Die Antwort ist ausführlich zu begründen. Summe: 60 BE

5 BOS 12 NT 98 Seite 5 Aufgabengruppe S Stochastik S I Im Rahmen einer statistischen Erhebung wurden 5000 repräsentative Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, Radiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben 4500 Haushalte an, einen (oder mehr) Fernseher zu besitzen, 4000 Haushalte verfügten über einen (oder mehr) Radiorecorder, aber 3500 Haushalte besaßen keinen Homecomputer. Genau 1200 der Haushalte konnten sowohl Radiorecorder als auch Homecomputer aufweisen. Die daraus ermittelten relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. 1.0 Für das Zufallsexperiment: "Zufällige Auswahl eines Haushalts, werden folgende Ereignisse betrachtet: F: Der Haushalt besitzt einen (oder mehr) Fernseher. R: Im Haushalt gibt es einen (oder mehr) Radiorecorder. C : Der Haushalt besitzt keinen Homecomputer. 1.1 Zeigen Sie, dass die Ereignisse R und C vereinbar sowie stochastisch unabhängig sind. Im Folgenden wird für alle drei Ereignisse F, R und C stochastische Unabhängigkeit vorausgesetzt. 1.2 Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Haushalt sowohl mit Fernseher als auch mit Homecomputer ausgestattet ist. (2BE) 1.3 Bestimmen Sie für einen zufällig ausgewählten Haushalt mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ausstattungsvarianten in Bezug auf die drei Gerätetypen. Ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment auch die Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren Elementarereignisse. 1.4 Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Haushalt a) mindestens zwei der drei Gerätetypen besitzt; b) höchstens einen der drei Gerätetypen besitzt; c) Fernseher oder Radiorecorder oder beides besitzt. 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Haushalt mit Homecomputer ausgestattet ist, beträgt weiterhin p = 0,3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: E 1 : "Von acht zufällig ausgewählten Haushalten besitzen nur genau die beiden letzten Homecomputer." E 2 : Von acht zufällig ausgewählten Haushalten sind höchstens zwei der drei zuletzt ausgewählten Haushalte mit Homecomputer ausgestattet, alle anderen jedoch nicht. E 3 : Von 20 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen höchstens fünf Haushalte Homecomputer. E 4 : Von 50 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen mindestens 10 und höchstens 18 Homecomputer. (9BE) Fortsetzung siehe nächste Seite

6 BOS 12 NT 98 Seite 6 Fortsetzung S I 3.0 Eine Zusatzbefragung betraf die Anzahl der pro Haushalt vorhandenen Radiorecorder. Keiner der Haushalte besaß mehr als vier Radiorecorder. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Radiorecorder in einem zufällig ausgewählten Haushalt an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X lässt sich mit Hilfe der Parameter a, b, c IR wie folgt darstellen: x P(X = x) 0, 2 a b c 0,05 Außerdem gilt: P(X < 2) = 0,55 sowie P(X 2)= 0, Berechnen Sie a, b und c. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X in Form eines Histogramms dar. (7BE) (Teilergebnis: a = 0,1; b = 0,25) 3.2 Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße X. (4BE) Summe: 40 BE

7 BOS 12 NT 98 Seite 7 S II Für ein Zufallsexperiment wird ein Spielbrett mit roten (R) grünen (G) und blauen (B) Feldern verwendet (siehe Zeichnung). Start G B R G B R Ferner steht je ein roter, grüner und blauer idealer Würfel zur Verfügung. Der rote Würfel trägt auf einer Seitenfläche die 1, auf zwei Seiten die 2 und auf drei Seiten die 3. Der grüne Würfel weist jede der drei Zahlen 1, 2 bzw. 3 mit gleicher Häufigkeit auf. Beim blauen Würfel kommt die 2 auf zwei Seitenflächen, die 3 auf vier Seiten vor. Der Ablauf eines Spiels geht folgendermaßen vor sich: Zu Beginn wird eine Spielfigur auf das Startfeld gestellt und der rote Würfel geworfen. Die Spielfigur wird um so viele Felder, wie die gewürfelte Augenzahl angibt, weitergezogen. Die Farbe des Feldes, auf dem die Spielfigur nun steht, bestimmt die Farbe des Würfels, mit dem der zweite Wurf erfolgt. Anschließend wird die Spielfigur um die dem zweiten Wurf entsprechende Felderzahl nach rechts gezogen. Damit endet das Spiel. 1 Zeichnen Sie für das vorliegende Spiel mit Ω = {GB,GR,...,RR} ein Baumdiagramm. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Elementarereignisse. 2.0 Als Treffer wird nun gewertet, wenn die Spielfigur am Ende eines Spiels auf einem grünen Feld steht. 2.1 Zeigen Sie: Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p = 0,25. (2BE) 2.2 Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer bei fünfmaliger Durchführung des Spiels an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X in Form eines Histogramms dar. Berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ der Zufallsgröße X und schraffieren Sie im Histogramm die Fläche mit der Flächenmaßzahl P( X - µ σ ). (7BE) 2.3 Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet: E 1 : Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden mindestens 10 Treffer erzielt." E2: Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden bei weniger als einem Viertel der Spiele Treffer erzielt." Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E 1 und E 2. Untersuchen Sie auch, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. (7BE) Fortsetzung siehe nächste Seite

8 BOS 12 NT 98 Seite 8 Fortsetzung S II 2.4 Bestimmen Sie für die Ereignisse aus Aufgabe 2.3 folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P (E 1 E 2 ) b) P(E 1 E 2 ). 3 Nach etlichen Spielen entsteht der Verdacht, dass der rote Würfel häufiger als erwartet eine 1 zeigt (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest der Länge 100 mit dem roten Würfel durchgeführt. Geben Sie die Testgröße sowie die Art des Signifikanztests an und ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 1 %. 4.0 Bei einem zweiten Signifikanztest erklärt sich ein Spieler bereit, den roten Würfel als gut anzuerkennen, wenn bei 50-maligem Würfeln höchstens 10-mal die 1 erscheint. 4.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler bei diesem Signifikanztest den Würfel als gezinkt" ablehnt, obwohl er in Wirklichkeit gut" ist. (4BE) 4.2 Erklären Sie mit eigenen Worten, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht. (2BE) Summe: 40 BE