77) auf zwei Nachkommastellen genau, und geben Sie den wesentlichen Unterschied der Verfahren an μ 0.

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Klaudia Dieter
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1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 00 Mathematik Technik - B I - Lösung Aufgabe.0 Eine Zufallsgröße X ist binomial verteilt mit n 0 und der Trefferwahrscheinlichkeit p 0.7. Aufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie auf zwei verschiedene Arten die Wahrscheinlichkeit P75 ( X 77) auf zwei Nachkommastellen genau, und geben Sie den wesentlichen Unterschied der Verfahren an. Genaue Berechnung mithilfe Bernoulli: P75 ( X 77) P75 ( ) P7 ( ) P77 ( ) Nebenrechnungen: combin( 0 75) combin( 0 7) combin( 0 77) Näherungsweise Berechnung mithilfe der Normalverteilung: μ np 77 np ( p) 4.80 P75 ( X 77) PX ( 77) PX ( 74) Φ 77 μ 0.5 Φ 74 μ 0.5 Φ( 0.04) Φ( 0.5) Φ( 0.04) ( Φ( 0.5) ) Nebenrechnungen: 77 μ μ F Norm ( x) knorm( x) F Norm ( 0.04) F Norm ( 0.5) Seite von

2 Aufgabe. ( BE) Ermitteln Sie ein möglichst kleines, zum Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem mit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Treffer liegt. P( X μ c) P( μ c X μ c) Φ μ c μ 0.5 Φ c Φ μ c μ 0.5 Φ c Φ c 0.5 Φ c 0.5 Φ c 0.5 Bedingung: Φ c Φ c Φ invers ( y) qnorm( y 0 ) Φ invers ( 0.95).45 c c c 7.40 c c ceil c untere Grenze. μ c aufrunden: ceil μ c 0 obere Grenze: μ c aufrunden: ceil μ c 0 Intervall: X [ 70 ; 85 ] Probe: Φ( k) pnorm( k μ ) Φ( 85) Φ( 9) Seite von

3 Aufgabe.0 In einer medizinischen Studie wurde festgestellt, dass bei zwei Drittel der untersuchten krawattentragenden, männlichen Versuchspersonen der Hemdenkragen zu eng war. Dies gefährdet nach Erkenntnissen der Ärzte den Blutzufluss zum Gehirn und zu den Sinnesorganen und mindert die Konzentrations- und Reaktionsfähigkeit. Aufgabe. ( BE) Die angegebene relative Häufigkeit von soll bei 00 Krawattenträgern in einem zweiseitigen Signifikanztest überpüft werden. Geben Sie die Testgröße an, und bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 5 %. Testgröße X: Anzahl der Personen mit zu engem Kragen. Stichprobenlänge: n 00 Nullhypothese H 0 : p 0 Gegenhypothese H : p Testart: Zweiseitiger Signifikanztest Annahmebereich: A { k k... k } Ablehnungsbereich: A { 0... k } { k k } PX k 0.05 TW Seite 0.09 k 5 PX k PXk 0.05 PXk TW Seite k A { } { } Aufgabe. ( BE) Außerdem soll in einem einseitigen Signifikanztest an 500 Personen überprüft werden, ob bei einem zu engen Kragen die Bearbeitungsdauer von 50 Rechenaufgaben um mindestens 0 Sekunden länger ist als bei offenem Kragen. Geben Sie für die Nullhypothese p 0.5 die Testgröße und die Gegenhypothese an, und ermitteln Sie einen möglichst großen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von %. n 500 p 0.5 p 0 p 0 Nullhypothese H 0 : p 0 p p Gegenhypothese H : p p p 0.5 Seite von

4 Testart: Rechtsseitiger Signifikanztest Annahmebereich: A { 0... k } Ablehnungsbereich: A { k k } μ np 50 np ( p).8 PX k PA ( ) P( X k) 0.0 PX ( k) 0.98 Φ k μ Nebenrechnung: Φ invers ( y) qnorm( y 0 ) Φ invers ( 0.98).054 k μ auflösen k k aufrunden: k 7 A { } Aufgabe.0 Wird mit einem handelsüblichen Laplace-Würfel beim ersten Wurf das Ergebnis ω, beim zweiten Wurf ω und beim dritten Wurf ω erzielt, so wird der Wert der Zufalllsgröße X ermittelt durch X ω ω ω. Aufgabe. ( BE) Begründen Sie, dass gilt: 4 X. Der Würfel hat die möglichen Ergebnisse beim ersten Wurf: 4 5 ; beim zweiten Wurf: 4 5 ; beim dritten Wurf: 4 5 kleinster Wert: ω ω min ω max ω X min ω ω 4 größter Wert: ω ω ω max ω min X max ω ω Seite 4 von

5 Aufgabe. (4 BE) Ermitteln Sie die fehlenden Werte in folgender Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: x i PX x i 4 0 a 9 b [ Zur Kontrolle: PX ( 9) ] Beim dreimaligen Werfen eines Würfels sind verschiedene Ausgänge möglich. Zufallsgröße 0: ω ω ω 0 ω ω ω 5 0 PX ( 0) 7 ω ω ω 5 0 Zufallsgröße -: ω ω ω 5 ω ω ω PX ( ) 7 ω ω ω a 7 NR: ( ) b Aufgabe. (5 BE) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X). 0 5 μ [( 4) ] [( ) 0] [( ) 9] [( ) 8] ( 0 7) μ ( ) ( 5) ( 4) Seite 5 von

6 ( 4) ( ) 0 ( ) 9 ( ) μ Aufgabe.4 (4 BE) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse X 4 und X stochastisch unabhängig sind. PX4 PE ( ) PX ( 4) PX ( ) PX ( ) PX ( ) PX ( 0) PX ( ) PX ( ) PX ( )... P( X 4) PE PX PE ( ) PX ( ) PX ( 4) PX ( 5) PX ( ) PX ( 7) PX ( 8) ( PX ( 9) PX ( 0) )... P( X ) PE PE PE 5 4 P X PE ( )E ( 4) E und E sind stochastisch abhängig. Seite von

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