7. Übung: Aufgabe 1. b), c), e) Aufgabe 2. a), c), e) Aufgabe 3. c), e) Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9.

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1 7. Übung: Aufgabe 1 b), c), e) Aufgabe a), c), e) Aufgabe 3 c), e) Aufgabe 4 b) Aufgabe 5 a) Aufgabe 6 b) Aufgabe 7 e) Aufgabe 8 c) Aufgabe 9 a), c), e)

2 Aufgabe 10 b), d) Aufgabe 11 a) Aufgabe 1 b) Aufgabe 13 b), c) Aufgabe 14 a) Die Anzahl der gedruckten Seiten kann niemals exakt normalverteilt sein, weil es keine negativen Seitenzahlen gibt. (Der Wertebereich der Normalverteilung geht von - bis +, auch wenn die Wahrscheinlichkeiten an den Rändern der Verteilung jeweils sehr gering sind). b) Aus der Stichprobentheorie folgt, dass das Stichprobenmittel x = 1 N X i i eine erwartungstreue Schätzung von E(X) = μ ist, denn es gilt: E(X ) = μ. Ebenso gilt für die Stichprobenvarianz S mit S = 1 N 1 (X i X ) i dass S eine erwartungstreue Schätzung von σ ist (wegen E(S ) = σ ). Zur Lösung der Aufgabe werden diese beiden Schätzfunktionen benutzt und alle gegebenen Werte X i eingesetzt. x = 1 N X i i = 1 ( ) 6 = =

3 Der Schätzwert des Erwartungswertes beträgt Für die Schätzung der Stichprobenvarianz muss formal zuerst x aus den Stichprobendaten geschätzt werden. Da dies bereits im ersten Teil der Aufgabe getan wurde, kann x in folgende Formel eingesetzt werden: S = 1 N 1 (X i X ) i S = [( ) + ( ) + ( ) ( ) ] = = Der Schätzwert der Varianz ergab S = c) Hierfür muss die richtige Formel für das Konfidenzintervall des Erwartungswertes μ aufgeschrieben werden. Da die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist (sie musste ja gerade geschätzt werden) kommt dafür nur folgende Formel in Frage: P (X t 1,df s N μ t 1,df bzw. das genaue Intervall als: [X t 1,df s N ; X + t 1,df s N ] s N ) = 1 d) Nachdem in Teilaufgabe c) die Formel für das Konfidenzintervall angegeben werden musste, bekommt man nun die zusätzliche Information, dass das Konfidenzniveau 95% ist: Konfidenzniveau = 1 = 0,95 Und dass sich ihre Intervallschätzung auf die Stichprobe aus der Aufgabenstellung beziehen soll. Um das Konfidenzintervall zu bestimmen, werden die Werte der in Teilaufgabe c) genannten Formel eingesetzt. Gegeben: x = 3100 s = s = = 16,79 N = 6 1 = 0,95 = 0,05 df = N 1 = 5

4 Bestimmen Sie nun das Quantil der t-verteilung t 1,df aus der Verteilungstabelle. t 1,df = t 1 0,05,df=5 = t 1 0,05,df = t 0,975,df=5 =,571 [X t 1,df s N ; X + t 1,df s N ] = [3100,571 16,79 16,79 ; ,571 ] = [87,01; 337,99] 6 6 Das gesuchte 95% Konfidenzintervall beträgt [87,01; 337,99]. e) Mit einer Sicherheit von 95% überdeckt das Konfidenzintervall zwischen g u = 87,01 und g o = 337,99 Seiten den bekannten Parameter μ für den Anzahl der mit einem neuen Toner bedruckbaren Seiten. f) Formel der Länge des Intervalls für diese Schätzung: l = t 1,df s N In der Formal stehen genau 5 Parameter, die vor der Untersuchung nicht bestimmt sind:, df, t 1,df, s, N. - s die Realisierung einer Zufallsvariablen aufgrund der Stichprobenziehung (also zufällig) - t 1,df ist selbst nur von 1 und den Freiheitsgraden df abhängig. - df = N 1 (also von N abhängig) Die Länge des Schätzintervalls kann nur durch die Größe der Stichprobe N und das vorgegebene Konfidenzniveau beeinflusst werden. g) In diesem Fall müsste die andere Formal für das Konfidenzintervall des Erwartungswertes bei bekannter Varianz benutzt werden: P (X z 1 σ N μ X + z 1 σ N ) = 1 Nehmen wir einmal an, dass die nun bekannte Varianz σ wirklich den Wert von s hätte. Dann wird ersichtlich, dass sich für das Konfidenzintervall nur der Faktor t 1,df zu z 1 ändert, d. h. anstatt t 1,df =,576 müsste hier der Faktor dann z 1 = z 0,975 = 1,96 an dieser Stelle in die Formel eingesetzt werden. In die Formel des Konfidenzintervalls eingesetzt ergibt sich dann:

5 [3100 1,96 16,79 16,79 ; ,96 ] = [96,53; 373,47] 6 6 Man sieht, dass das Konfidenzintervall aufgrund des kleineren Faktors z 1 jeden Fall kleiner wird. h) Gesucht wird hier der notwendige Stichprobenumfang. Gesucht ist die Anzahl der Toner N, für die mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90% der wahre Mittelwert der gedruckten Seiten um maximale 50 Seiten (Schätzfehler) abweicht, wenn zusätzlich bekannt ist, dass die wahre Standardabweichung 50 [Seiten] beträgt. Gegeben: 1 = 0,90 σ = 50 [Seiten] e = 50 [Seiten] Gesucht: N, sodass gilt: P( X μ e) = 1 Genau, dieses N bestimmt jedoch der notwendige Stichprobenumfang mit N σ z 1 e Bestimmen Sie z 1. 1 = 0,90 = 0,1 z 1 = z 0,1 1 = z 0,95 = 1,64 auf N 50 1,64 50 N 67,4 Da es nur ganzzahlige Stichprobenumfänge N gibt, muss an dieser Stelle N auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden: Es müssen 68 Toner verbraucht werden.

6 i) i) Y = Gesamtzahl der Seiten der 4 Diplomarbeiten Gegeben: 4 x i X i ~N(μ, σ) = N(80, 5) für alle i (jede Diplomarbeit ist näherungsweise normalverteilt mit μ = 80 und σ = 5) Da Y eine Linearkombination normalverteilter Zufallsgrößen ist, gilt: Y ist normalverteilt mit: 4 μ Y = μ i = μ 1 + μ + μ 3 + μ 4 = = 4 80 = 30 4 σ Y = σ i = = 4 5 = 900 Y~N(30; 900) = N(30; 30) ii) Gesucht: P(Y 350) P(Y 350) = 1 P(Y 350) = 1 Φ (Z = = 1 Φ(1) = 1 0,8413 = 0, ) 30 Nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 15,87% müssen mindestens 350 Seiten gelesen werden. Aufgabe 15 a) Die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion eines Parameters p ist genau die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der X i für eine konkrete Stichprobe x 1, x,..., x N, die für p den höchsten Wert der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion annimmt. Zu bestimmen ist also die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der x i in Abhängigkeit vom Parameter p.

7 Für den allgemeinen Fall müssen sich deshalb formal eine Stichprobe von Umfang N definieren. In der Stichprobe soll a mal x 1, b mal x und c mal x 3 vertreten sein. Es gelten dann folgende Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung (unter der Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Ereignisse X = x). a Anzahl der x 1 b Anzahl der x c Anzahl der x 3 a + b + c = N f(x = a) = (1 p) a f(x = b) = p b f(x = c) = p c Die Likelihhodfunktion als gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung einer vorliegenden Stichprobe ergibt sich dann zu: L(θ) = L(θ x 1, x,..., x N ) = f(x i θ) N L(p) = L(x 1, x,..., x N p) = f(x = a p) f(x = b p) f(x = c p) L(p) = (1 p) a p b p c Zu bestimmen ist nun das Maximum der Likelihoodfunktion. L(p) = (1 p) a p b p c logarithmieren ln(l(p)) = ln((1 p) a p b p c ) ln(l(p)) = a ln(1 p) + b ln(p) + c ln(p) ln(l(p)) = a ln(1 p) + (b + c) ln(p) Differenzieren nach p ln(l(p)) p = a b + c ( ) + 1 p p Ableitung Null setzen für Maximum 0 = a b + c ( ) + 1 p p Mit (1 p)p multiplizieren 0 = ap + (b + c)(1 p) 0 = ap + b + c pb pc 0 = p(a + b + c) + b + c p(a + b + c) = b + c

8 b + c p = (a + b + c) Auf die Kontrolle, ob die Nullstelle der 1. Ableitung wirklich ein Maximum darstellt (. Ableitung <0), soll hier verzichtet werden. Damit ist p Maximum- Likelihood-Schätzer von p. b) Gegeben: Stichprobe: x 3, x 3, x, x, x 3, x, x 1, x, x 3, x 3 Aufgrund der Stichprobe ergibt sich a = 1, b = 4, c = 5. Dieser Werte werden in die in Teilaufgabe a) berechnete Formel eingesetzt. p = b + c (a + b + c) = ( ) = 9 0 = 0,45 Für die vorliegende Stichprobe ergibt sich p = 0,45. Aufgabe 16 a) Zur Bestimmung des allgemeinen Maximum-Likelihood-Schätzwertes für eine Stichprobe vom Umfang N wird zunächst die Likelihoodfunktion bestimmt, indem man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Stichprobe miteinander multipliziert: L(θ) = L(θ x 1, x,..., x N ) = f(x i θ) N L(λ) = f(x = x 1 ) f(x = x )... f(x = x N ) Z(λ) = (λ e λx 1) (λ e λx )... (λ e λx N) L(λ) = λ N e λ N x i Logarithmieren der Likelihoodfunktion: ln L(λ) = N ln λ λ x i N Maximieren: ln L(λ) = N 1 λ λ x i N = 0 λ = N N x i = 1 x

9 b) Für die Stichprobe ergibt sich somit: x = 0 λ = 1 x = 0,05 Aufgabe 17 a) Im vorliegenden Fall muss eine Hypothese bzgl. Des Erwartungswertes aufgestellt werden: Nullhypothese: H 0 μ = 50 [Liter] Da es keine spezifische Zusatzinformationen gibt, welche die Richtung der Alternativhypothese vorgibt, muss ein zweiseitiger Test durchgeführt werden. Die Alternativhypothese lautet deshalb: Alternativhypothese: H 1 μ 50 [Liter] b) x ist die Stichprobenfunktion des Erwartungswertes μ. x bedeutet: Der mittlere Wasserverbrauch der alten Waschmaschine [in Liter] bei einer Zufallsstichprobe von N = 10 Durchgängen x i ist der Wasserverbrauch [in Liter] im i-ten Durchgang X = 1 N X i i c) Unter der Annahme der Richtigkeit von H 0 ist x normalverteilt mit μ = 50 [Liter] und σ x = σ N = σ 10 Da σ unbekannt ist, muss es über die Stichprobenvarianz s geschätzt werden. d) Gesucht wird die Testfunktion für einen Test für den Erwartungswert, wobei zusätzlich zu berücksichtigen ist, dass σ unbekannt ist. Die Testfunktion lautet T = X μ 0 S N

10 und ist unter H 0 t-verteilt mit df = N 1 Freiheitsgraden. e) Der Ablehnungsbereich eines Testes wird über den kritischen Wert des Tests bestimmt. Bei einer t-verteilten Testgröße und zweiseitige Fragestellung ist dieser kritische Testwert t 1,df sowohl abhängig von der Irrtumswahrscheinlichkeit, als auch vom Stichprobenumfang (zur Berechnung der Freiheitsgrade). Aus der Aufgabenstellung ist die Irrtumswahrscheinlichkeit und die Stichprobengröße zu ermitteln, die beide vorgegeben sein müssen. N = 10 df = N 1 = 9 = 0,05 1 = 0,975 Bestimmung des kritischen Wertes t 1,df der t-verteilung mit Hilfe der oben berechneten Werte: t 1,df = t 0,975;9 =,6 Für den Ablehnbereich eines zweiseitigen Tests muss gelten: T > t krit Der Ablehnbereich bestimmt sich deshalb zu: [T < t 1,df oder T > t 1,df] [T <,6 oder T >,6] Während für den Nichtablehnbereich gilt: [,6 T,6] f) Gefordert wird die Berechnung der Testgröße für die vorliegende Stichprobe und die Überprüfung, ob der Testwert in den Ablehnbereich oder den Nichtablehnbereich der Nullhypothese bei gegebenem fällt. T = X μ 0 S N Gegeben: μ 0 = 50 [Liter] N = 10 Berechnung von X und S: X = 1 N X i i = 1 ( ) = 57 10

11 S = 1 (x N 1 i i x ) = [(55 57) + (69 57) (59 57) ] = = 10 9 Durch Einsetzen dieser Daten wird nun die Testgröße T bestimmt: T = X μ 0 S N = Es gilt T =,14 < t krit =, =,14 10 Da T=,14 im Nichtablehnbereich der Nullhypothese liegt, kann die Nullhypothese H 0 μ = 50 [Liter] für die vorliegende Stichprobe bei einem = 0,05 nicht abgelehnt werden. g) Es kann dabei der Fehler. Art begangen werden, d. h. die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl der wahre Parameter nicht μ 0 = 50 beträgt. h) Hier müssen einseitige Testhypothesen formuliert werden, hier nicht nur angenommen wird, dass die Waschmaschine genau 64 Liter Wasser verbraucht, sondern 64 oder mehr Liter. Bei solch einer Fragestellung ändert sich dann der Ablehnbereich. H 0 μ μ 0 = 50 [Liter] H 1 μ > μ 0 = 50 [Liter] (rechtsseitiger Test, einseitiges Testproblem) Bestimmung von t krit : t krit = t 1,df = t 0,95;9 = 1,833 Ablehnbereich: [T > t 1,df = 1,833] Nichtablehnbereich: [T t 1,df = 1,833] T = X μ 0 S N = =,14 10 Da T=,14 im Ablehnbereich der Nullhypothese liegt, muss die Nullhypothese H 0 μ 50 [Liter] für die vorliegende Zufallsstichprobe bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von = 0,05 abgelehnt werden. i) Bei dieser Testentscheidung (Ablehnung der Nullhypothese) kann der Fehler 1. Art aufgetreten sein, d. h. die Nullhypothese wurde abgelehnt, obwohl sie richtig

12 ist. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Fehler zu begehen, entspricht etwa dem vorgegebenem = 0,05. j) Die Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, den Fehler 1. Art zu begehen. Mit dieser a priori gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit kann es passieren, dass die Nullhypothese: Der Durchschnittsverbrauch der alten Waschmaschine liegt bei höchstens 50 Litern abgelehnt wird, obwohl sie in der Grundgesamtheit (des Wasserverbrauches der alten Waschmaschine bei unabhängigen Durchgängen) wahr ist, d. h. der Durchschnittsverbrauch wirklich höchstens Liter beträgt und die vorliegende Stichprobe ein seltenes (unwahrscheinliches) Ereignis darstellt (was zum Ablehnen der Nullhypothese führte).