3) Testvariable: T = X µ 0

Transkript

1 Beispiel 4.9: In einem Molkereibetrieb werden Joghurtbecher abgefüllt. Der Sollwert für die Füllmenge dieser Joghurtbecher beträgt 50 g. Aus der laufenden Produktion wurde eine Stichprobe von 5 Joghurtbechern entnommen und jeweils die Füllmenge festgestellt. Der Mittelwert dieser Stichprobe betrug x 49 g. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α 0.05 soll getestet werden, ob die mittlere Füllmenge der Joghurtbecher signifikant von dem vorgegebenen Sollwert abweicht. Es wird von einer Normalverteilung der ZV X: Füllmenge eines Joghurtbechers ausgegangen, die Varianz sei bekannt: σ g 2. Gemäss der soeben beschriebenen Vorgehensweise wird ein zweiseitiger Test für den unbekannten Erwartungswert µ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz durchgeführt. ) Nullhypothese H 0 : µ µ 0 50 g, Alternativhypothese H : µ µ 0 2) Die Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) ist vorgegeben: α ) Testvariable: T X µ 0 σ/ n 4) Bestimmung des ( α/2)-quantils der standardisierten Normalverteilung (aus der Tabelle): z 0.05/2 z und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches:.9 T.9 (oder: T.9) 5) Der Mittelwert der vorliegenden Stichprobe ist vorgegeben: x 49 g. Der Test- oder Prüfwert wird berechnet: ˆt x µ 0 σ/ n 49 g 50 g.5 g/ ) Testentscheidung: Die Bedingung.9 T.9 (siehe 4)) ist für den Testwert ˆt nicht erfüllt. Die Nullhypothese H 0 : µ µ 0 50 g wird zugunsten der Alternativhypothese H abgelehnt. Das Testergebnis sagt folgendes aus: Die Nullhypothese H 0, welche der Aussage mittlere Füllmenge der Joghurtbecher ist gleich dem Sollwert von 50 g entspricht, wird mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05 abgelehnt (d.h. man kann auf Grund der vorliegenden Stichprobe davon ausgehen, dass eine signifikante Abweichung vom Sollwert vorhanden ist).

2 Beispiel 4.0: Es wird der gleiche Sachverhalt wie im Beispiel 4.9 betrachtet, nur unter der Annahme, dass die Varianz σ 2 der Normalverteilung unbekannt sei. Bei der Auswertung der Stichprobe von 5 Joghurtbechern wird dann auch die Stichprobenvarianz berechnet, diese sei: s g 2 (d.h. es gilt: s 2.4 g g). Der Test, ob die mittlere Füllmenge der Joghurtbecher signifikant vom Sollwert abweicht, wird wie folgt durchgeführt: ) Nullhypothese H 0 : µ µ 0 50 g, Alternativhypothese H : µ µ 0 2) Die Signifikanzzahl sei wiederum α 0.05 (siehe Beispiel 4.9). 3) Testvariable: T X µ 0 S/ n 4) Bestimmung des ( α/2)-quantils der t-verteilung mit n Freiheitsgraden (aus der Tabelle): t 4; 0.05/2 t 4; und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: 2.45 T 2.45 (oder: T 2.45) 5) Der Mittelwert x und die Varianz (bzw. die Standardabweichung) der vorliegenden Stichprobe sind gegeben: x 49 g, s s g 2. Der Test- oder Prüfwert wird berechnet: ˆt x µ 0 s/ n 49 g 50 g 2.4 g 2 / ) Testentscheidung: Die Bedingung 2.45 T 2.45 (siehe 4)) ist für den Testwert ˆt 2.5 nicht erfüllt. Die Nullhypothese H 0 : µ µ 0 50 g wird zugunsten der Alternativhypothese H abgelehnt. Hinweis: Der wesentliche Unterschied zu Beispiel 4.9 besteht darin, dass bei der Quantilbestimmung jetzt die t-verteilung anstelle der standardisierten Normalverteilung zu nehmen ist. Im Vergleich zu Beispiel 4.9 ist der nicht-kritische Bereich jetzt ein größeres Intervall. 2

3 Beispiel 4.: Die Länge von Schrauben, welche in Serienproduktion gefertigt werden, kann als normalverteilt angesehen werden. Aus Erfahrung ist bekannt, dass für die Varianz gilt: σ mm2. Die Auswertung einer Stichprobe von 25 Schrauben ergab jedoch eine Stichprobenvarianz von s mm 2. Bei einem Signifikanzniveau von 0.0 soll getestet werden, ob diese Abweichung zufallsbedingt ist oder ob die Varianz σ0 2 signifikant überschritten wird. Es handelt sich um einen einseitigen Test für die Varianz σ 2 einer Normalverteilung. Dieser wird wie folgt durchgeführt. ) Nullhypothese H 0 : σ 2 σ mm2, Alternativhypothese H : σ 2 > σ 2 0 2) Die Signifikanzzahl (Signifikanzniveau) ist vorgegeben: α ) Testvariable: T (n ) S2 σ0 2 4) Bestimmung des ( α)-quantils der χ 2 -Verteilung mit (n ) Freiheitsgraden (aus der Tabelle): χ 2 n ; α χ2 24; und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: T ) Die Varianz s 2 der Stichprobe ist vorgegeben: s mm 2. Der Test- oder Prüfwert wird berechnet: ˆt (n ) s2 σ mm2.44 mm ) Testentscheidung: Es gilt: ˆt 37.5 < 43.0, d.h. die Testvariable fällt in den nicht-kritischen Bereich Nullhypothese H 0 : σ 2 σ mm2 wird nicht abgelehnt. Der durchgeführte Test liefert die Aussage, dass die Überschreitung der Varianz mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0 als zufallsbedingt angesehen werden kann. 3

4 Beispiel 4.2 (Fortsetzung zum Text im Skript): ) Nullhypothese H 0 : µ µ 0 0, Alternativhypothese H : µ µ 0 2) Festlegung einer Signifikanzzahl: α 0.0 3) Testvariable: T Z µ 0 S/ n 4) Bestimmung des ( α/2)-quantils der t-verteilung mit n Freiheitsgraden (aus der Tabelle): t 5; 0.0/2 t 5; und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: T (oder: T 4.032) 5) Berechnung des Mittelwertes z und der Standardabweichung s der vorliegenden Stichprobe (siehe obige Tabelle für z i ): z ( ).8 (in Ω) s 2 5 ( ) 0.8 (in Ω 2 ), s (in Ω) sowie des Test- oder Prüfwertes: ˆt z µ 0 s/ n.8 Ω 0 Ω 0.8 Ω 2 / ) Testentscheidung: Für den berechneten Testwert ˆt 4.88 gilt: ˆt > Somit liegt er außerhalb des nicht-kritischen Bereiches Die Nullhypothese H 0 : µ µ 0 wird zugunsten der Alternativhypothese H abgelehnt. Auf Grund der vorliegenden Stichprobe ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0 davon auszugehen, dass die verglichenen Messmethoden nicht gleichwertig sind. 4

5 Beispiel 4.3 (Fortsetzung zum Text im Skript): Gemäß der beschriebenen Vorgehensweise sind die folgenden Schritte durchzuführen. ) Nullhypothese H 0 : F (x) F 0 (x), Alternativhypothese H : F (x) F 0 (x) (F 0 (x): Verteilungsfunktion der diskreten Gleichverteilung, siehe auch Beispiel 4.2) 2) Festlegung eines Signifikanzniveaus: α ), 4) Die Unterteilung der Stichprobenwerte in k Klassen (hier: k ) und die zugehörigen absoluten Klassenhäufigkeiten sowie die hypothetischen Wahrscheinlichkeiten p i P (X I i ) und die Anzahl p i der theoretisch erwarteten Stichprobenwerte sind in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Klasse (Augenz. i) n i p i n i n i ( n i ) Σ 0 7 Eine nachträgliche Zusammenlegung von Klassen ist offensichtlich nicht erforderlich. (N 5) Testvariable: T i n i )2 (N i ) 2 n i (N i : beobachtete Anzahl der Stichprobenwerte in der i-ten Klasse) ) Bestimmung des ( α) -Quantils der χ 2 -Verteilung mit (k r ) Freiheitsgraden (r: Anzahl der geschätzten Parameter von F 0 (x); hier: r 0, da die diskrete Gleichverteilung nicht parameterabhängig ist): χ 2 k r ; α χ2 0 ; 0.05 χ2 5;0.95. und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: T. 7) Berechnung des Testwertes (siehe obige Tabelle): ˆt (n i )2 (n i ) ) Testentscheidung: Für den berechneten Testwert gilt: ˆt 3.8 <., d.h. er fällt in den nichtkritischen Bereich Die Nullhypothese H 0 wird nicht abgelehnt. Auf Grund der vorliegenden Stichprobe besteht (bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05) kein Anlass, die diskrete Gleichverteilung der Augenzahlen anzuzweifeln. 5

6 Beispiel 4.4: Die Bedienzeit an einem Schalter wird zunächst als eine ZV T mit unbekannter Verteilung angesehen. Um Erkenntnisse über die Verteilung von T zu gewinnen, wurde eine Stichprobe vom Umfang n 00 erhoben, d.h. bei insgesamt 00 Kunden wurde jeweils die Bedienzeit erfasst. Durch Gruppierung der erhaltenen Stichprobenwerte ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle: Bedienzeit Anzahl Kunden T [0, ) 0 T [, 2) 25 T [2, ) 5 Die Hypothese Die ZV T unterliegt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ soll mit Hilfe eines χ 2 -Tests überprüft werden. Durchführung des Tests: ) Nullhypothese H 0 : F (x) F 0 (x), Alternativhypothese H : F (x) F 0 (x) Dabei bezeichnet F 0 (x) die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ. 2) Festlegung eines Signifikanzniveaus: α ) Unterteilung der n Stichprobenwerte in k Klassen I, I 2,..., I k und Feststellung der absoluten Klassenhäufigkeiten: siehe obige Häufigkeitstabelle (es gilt: n 00, k 3) 4) Die nachfolgende Tabelle enthält die Größen, welche später zur Berechnung des Testwertes (siehe dazu auch 5) und 7)) benötigt werden. Hinweis zur Berechnung der hypothetischen Wahrscheinlichkeiten p i : Es gilt z.b. für i : p P (T I ) P (T < ) F 0 () e λ e 0.32, siehe dazu auch: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ im Abschnitt des Vorlesungsskriptes. i Klasse I i n i p i n i n i ( n i ) 2 [0, ) [, 2) [2, ) Σ ) Testvariable: T (N i )2 (N i ) 2 (N i : beobachtete Anzahl der Stichprobenwerte in der i-ten Klasse) ) Bestimmung des ( α) -Quantils der χ 2 -Verteilung mit (k r ) Freiheitsgraden: χ 2 k r ; α In diesem Fall gilt: k 3 (Anzahl der Klassen), r 0 (keine geschätzten Parameter) und somit χ 2 k r ; α χ2 2; ; nicht-kritischer Bereich: T ) Berechnung des Testwertes ˆt (n i ) 2 (n i )2 (siehe ganz unten rechts in der Tabelle im Schritt 4)) ( n i ) ) Testentscheidung: Da < 5.99 gilt, wird die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt. Es werden die im Vorlesungsskript auf S. 93 aufgeführten Arbeitsschritte durchgeführt.