Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007

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1 Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik Stochastik Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 007 Prof. Dr. F. Liese Dipl.-Math. M. Helwich Serie Termin: 9. Juni 007 Aufgabe 3 Punkte Zwei Ohmsche Widerstände sind hintereinander geschaltet. Die Werte R und R für diese Widerstände sind unabhängig voneinander und normalverteilt mit µ = 00 Ω und = 0 Ω bzw. µ = 00 Ω und = Ω. In welchen Grenzen 700 c und c liegt mit der Wahrscheinlichkeit 0.99 der Gesamtwiderstand? Lösung: Den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung von Widerständen erhält man, indem man die Einzelwiderstände addiert. Wir betrachten somit hier den Gesamtwiderstand G = R + R, welcher ebenfalls eine normalverteilte Zufallsgröße mit µ = µ +µ = 700 Ω und Varianz = + = 04 Ω ist. Weiter wissen wir, dass die zentrierte Zufallsgröße Z := G µ standardnormalverteilt ist und somit gilt = P z Z z = P z G µ z = P µ + z G µ + z = P µ z G µ + z. Wegen µ = 700 ergibt sich für das gesuchte c der Wert z, welcher mit = 0.0 und = 04 gleich c = z = entspricht. Damit liegt der Gesamtwiderstand mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkiet im Intervall [673.74; 76.6]. Aufgabe 6 Punkte Die Kapazität K von Kondensatoren einer größeren Lieferung sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ = 00 µf und der Varianz = µf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p oder p 00% = Ausschussanteil dafür, dass ein zufällig herausgegriffener Kondensator fehlerbehaftet ist, wenn die Kapazität K qualitätsgerechter Kondensatoren a mindestens 98 µf betragen muss, b höchstens 0 µf betragen darf, c maximal µf vom Sollwert 00 µf abweichen darf? d Bei welchen Toleranzgrenzen 00 c; 00 + c ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerbehafteten Kondensators kleiner als 0.0? Lösung: Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsgröße K mit Erwartungswert µ = 00 und Varianz =. Die Standardabweichung ist dann =. Betrachten wir wieder die entsprechende zentrierte Größe Z := K µ = K 00 so erhalten wir eine standardnormalverteilte Zufallsgröße. a Die Ausschusswahrscheinlichkeit p berechnet sich wie folgt: p = P K < 98 = K P < = Φ = Φ 0.4 = Φ0.4 =

2 b Die Ausschusswahrscheinlichkeit p berechnet sich wie folgt: p = P K > 0 = K 00 P K 0 = P < = Φ0.4 = c Die Ausschusswahrscheinlichkeit p berechnet sich wie folgt: 0 00 = Φ 0 00 p = P K < 00 oder K > = P 9 K < 0 = P = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ = K 00 < 0 00 d Hier verfahren wir wie in Aufgabe. Es gilt = P µ z K µ + z = P 00 z K 00 + z. Für das gesuchte c erhalten wir den Wert z, welcher mit = 0.0 und = gleich c = z 0.99 = entspricht. Mit dem Intervall [87.;.879] für die Kapazitäten beläuft sich demnach die Wahrscheinlichkeit eines Fehlerhaften Kondensators auf den vorgegebenen Wert %. Aufgabe 3 3 Punkte 0 Schrauben aus einem Sortiment haben die Längen in mm: 0; ; 3; ; ; 3; 4; 0; 9; 0; 0; ; ; 4; 4; 0; ; 0; 6; 9 Unter der Voraussetzung, dass diese Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit = stammt, konstruiere man ein Konfidenzintervall für µ zur Sicherheit von = Welches Intervall hätte sich ergeben, wenn nicht bekannt gewesen wäre? Lösung: Wir erhalten für das arithmetische Mittel der Beobachtungen den Wert x =.. Damit ergibt sich das folgende Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter µ bei bekannter Varianz = : [ = x z [. z n ; x + z ] n 0 ;. + z ]. 0 Mit dem Quantil der Standardnormalverteilung z = z 0.99 =.783 ergibt sich mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit = 0.99 das Intervall [..783 ; ] [0.94;.076]. 0

3 Bei unbekannter Varianz berechnen wir die Stichprobenvarianz als s n = n n i= x i x = und erhalten damit die Stichprobenstandardabweichung s n = =.93308, welche in folgendes Konfidenzintervall eingesetzt wird: x n s n t n,n ; x n + s n t n,n = t 0,n ; t 0,n. Mit den Quantilen der t -Verteilung mit n = 9 Freiheitsgraden, t,n = t 0.99,9 =.86, ergibt sich mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit = 0.99 das Intervall ; [0.638;.736]. 0 0 Das dieses Intervall so deutlich größer ausfällt liegt wohl auch an der Vorgabe, dass die wahre Varianz gleich sein soll, aber die Stichprobenvarianz fast 4 ergibt. Aufgabe 4 4 Punkte Bei einer Abfüllmaschine für Haferflocken wurden die Abweichungen vom Normwert 00 g bei 0 Packungen registriert. Dabei ergaben sich folgende Werte. Zerlegen Sie das Intervall von 9 bis 3 in 8 gleichlange Intervalle und tragen Sie die relativen Häufigkeiten über diesen Intervallen in Form eines Säulendiagramms ab. Welche Dichtefunktion ließe sich hier gut anpassen? Lösung: Mit einer anderen Klasseneinteilung als vorgegeben erhält man ein Histogramm, welches von normalverteilten Daten stammen könnte. Der Mittelwert der Abweichungen ist im Übrigen 0.43 und die Stichprobenvarianz.4. 3

4 Aufgabe 4 Punkte Die Brenndauer in 00 h von Glühlampen einer bestimmten Sorte wurde mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang 40 ermittelt. Dabei ergaben sich folgende Werte Zerlegen Sie den Bereich 0 bis 40 in gleichlange Intervalle und stellen Sie die relativen Häufigkeiten als Säulendiagramme über diesen Intervallen dar. Welcher Dichte könnte dieses Diagramm entsprechen? Lösung: Mit der vorgegebenen Klasseneinteilung erhält man ein Histogramm, welches von exponentialverteilten Daten stammen könnte. Die mittlere Brenndauer ist 9.7 und die Stichprobenvarianz 6.4. Und hier nochmal alles zum χ -Unabängigkeitstest zum Mitlesen. Stören Sie sich bitte nicht daran, dass die Prüfgröße hier mit QK bezeichnet ist anstatt mit χ. DAs ist auch manchmal üblich und kommt von quadratischer Kontingenz. Ich hoffe, es ist hier wenigstens konsistent durchgezogen. Ganz allgemein dienen Kontingenztafeln dazu, die Verteilungen von zweidimensionalen diskreten Zufallsgrößen zu beschreiben. Sind also X und Y zwei diskrete Zufallsgrößen mit den möglichen Werten x, x,... und y, y,..., dann sind sowohl die Verteilung von X als auch die Verteilung von Y durch die Einzelwahrscheinlichkeiten p i = P X = x i, i =,,... und q j = P Y = y j, j =,,... eindeutig festgelegt. Diese beiden Verteilungen entsprechen den so genannten Randverteilungen für die zweidimensionale Verteilung von X, Y. Die zweidimensionale Zufallsgröße X, Y nimmt die Werte x i, y j, i, j =,.. mit den Wahrscheinlichkeiten p ij = P X = x i, Y = y i, i, j =,... an. Dabei ist natürlich auch die zweidimensionale Verteilung von X, Y selbst eine diskrete Verteilung und die Werte p ij sind die zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten. Angenommen, dass die Zufallsgröße X r Werte annimmt, also x, x,..., x r, und die Zufallsgröße Y habe den Wertebereich y, y,..., y c, kann also c Werte annehmen. Dann gibt es insgesamt r c Werte, die die zweidimensionale Zufallsgröße X, Y annehmen kann und die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p ij finden sich in nachfolgender Kontingenztabelle wieder. 4

5 y y y c Σ x p p p c p x p p p c p..... x r p r p r p rc p r Σ q q q c In der letzten Zeile und der letzten Spalte stehen sie summierten Werte, welche den Einzelwahrscheinlichkeiten der Randverteilungen entsprechen. Es gilt grundsätzlich die folgende Beziehung zwischen einer zweidimensionalen Verteilung und ihren beiden Randverteilungen: p i = P X = x i = j und q j = P Y = y j = i P X = x i, Y = y j = j P X = x i, Y = y j = i p ij, i =,..., r p ij, j =,..., c Einfach gesagt, wird immer nur der Wert einer Komponente berücksichtigt und die Ausprägung der anderen vernachlässigt. Zwei Zufallsgrößen X und Y sind nach Definition unabhängig voneinander, wenn die gemeinsame Verteilung dem Produkt der Randverteilungen entspricht, wenn also gilt: p ij = P X = x i, Y = y i = P X = x i P Y = y i = p i p j, i, j =,... Wir betrachten nun eine Stichprobe der Größe n aus einer zweidimensionalen Grundgesamtheit und beobachten damit die Werte zweier Merkmale mit r bzw. c möglichen verschiedenen Ausprägungen. Die Kontingenztabelle enthält dann die beobachteten Häufigkeiten h ij, i =,..., r; j =,..., c aller möglichen c r Merkmalskombinationen. y y y c Σ x h h h c h x h h h c h..... x r h r h r h rc h r Σ h h h c ΣΣ h = n Die Zahlen in der letzten Zeile und der letzten Spalte sind dann wieder die Summenwerte, die den Häufigkeiten des Auftretens beider Einzelmerkmale entsprechen. Man beachte, dass die eingetragenen Häufigkeiten absolute Häufigkeiten sind. Die entsprechenden relativen Häufigkeiten würden sich aus der Division mit der Anzahl der Beobachtungen n ergeben. Im Fall der Unabhängigkeit beider Merkmale sollten die Beobachtungswerte h ij den so genannten theoretischen Werten ungefähr entsprechen. Die theoretischen Werte berechnen sich, wie oben die Wahrscheinlichkeiten, als Produkt der beobachteten relativen Häufigkeiten der beiden einzelnen Merkmale h th ij = h i h j. n Die Prüfgröße wird dann wie folgt berechnet: QK = r i= j= c h ij h th h th ij ij.

6 Unter der Nullhypothese, dass X und Y unabhängig sind, ist die Prüfgröße QK χ -verteilt mit m = r c Freiheitsgraden. Damit sollte diese Nullhypothese mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit verworfen werden, falls QK > χ m;, wobei natürlich χ m; das -Quantil einer χ -Verteilung mit m Freiheitsgraden ist. Beispiel: Wir betrachten die beiden Merkmale Geschlecht und Raucherstatus und untersuchen anhand von Personen, ob es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen gibt. Die Kontingenztabelle ist wie folgt gegeben: male female sum smoker 3 non-smoker sum 9 Aus dieser Tabelle berechnen wir zunächst die theoretischen Werte h th = 9 = , hth = = 0.909, hth = 9 6 = 4.909, hth = 6 =.0909, und erhalten anschließend für die Prüfgröße QK = =.934. Bei einem Signifikanzniveau von % müssen wir diesen Wert mit dem entsprechenden Quantil einer χ -Verteilung mit = Freiheitsgraden vergleichen. Das ist der Wert 3.8. Somit haben wir wegen QK =.934 < 3.8 keinen Grund, die Hypothese H 0 abzulehnen und es scheint hier keinen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Schwäche für Zigaretten zu geben. Übungsaufgaben sind verfügbar unter: helwich/uebungen.html 6