Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik

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Detlef Feld
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1 INSTITUT FÜR STOCHASTIK WS 2007/08 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 1 Dr. B. Klar Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik Musterlösungen Aufgabe 1: Gegeben ist die folgende Beobachtungsreihe x: +2,16 2,44 2,90 2,04 0,58 1,26 1,52 4,02 1,90 2,22 +5,08 3,44 5,24-0,56 2,70 3,06 3,10 2,90 4,26 1,36 +5,00 1,74 2,52 4,04 1,14 0,10 6,52 5,16 0,46 7,72 +3,34 0,74 1,04 3,20 5,30 5,08 5,08 2,36 2,20 5,12 +3,76 2,14 3,34 4,78 4,80 5,38 0,62 3,20 4,14 3,58 a) Teilen Sie die Beobachtungswerte in gleichlange Klassen ein und fertigen Sie ein Histogramm an. (7 Klassen wählen, untere Grenze -0.6; obere Grenze 7.8). b) Bestimmen Sie das Stichprobenmittel x und die Stichprobenstandardabweichung s x. c) Bestimmen Sie den Median x, das untere Quartil x 0.25, das obere Quartil x 0.75 und den Quartilsabstand. d) Berechnen Sie das 20%-gestutzte Mittel x 0.2 von x. e) Es sei z = (z 1, z 2,..., z 50 ) die Stichprobe mit der Eigenschaft: z i := Mittelpunkt des Intervalls (Klasse), in der x i liegt. Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion F z zur Stichprobe z. Lösung: Als erstes führen wir die Klasseneinteilung durch und erhalten die Tabelle Klasse a j H z (a j ) h z (a j ) F z (a j ) [-0.6,0.6] (0.6,1.8] (1.8,3.0] (3.0,4.2] (4.2,5.4] (5.4,6.6] (6.6,7.8] a) In der dritten Spalte sind die absoluten Häufigkeiten der Klassen [-0.6,0.6] bis (6.6,7.8] eingetragen. Da die Klassenbreiten gleich sind, ist die Höhe der Balken der zu a j gehörenden Klasse proportional zur absoluten Häufigkeit. Da die Klassenbreiten gleich sind, kann man an der y-achse die relativen Häufigkeiten abtragen.

2 h x (Klasse) x Abbildung 1: Histogramm zu Aufgabe 1a) b) Es ist x = i=1 50 s 2 x = 1 49 i=1 s x = s 2 x = x i = (x i x) 2 = 1 49 = = c) Um die Stichproben-Quantile zu bestimmen, müssen die Daten zuerst sortiert werden. Die sortierten Werte sind und ergeben die geordnete Stichprobe x () = (x (1),...,x (50) ). Da n = 50 gerade ist, ist x = 1 2 (x ) 1 (25) + x (26) = ( ) = Da = 12.5 und = 37.5 nicht ganzzahlig sind, gilt d) Für α = 0.2 ist k = [n α] = 10, also x 0.2 = x 0.25 = x (13) = 1.90 x 0.75 = x (38) = 4.78 und Quartilsabstand = = (x (11) x (40) ) = = 3.093

3 e) In der Tabelle sind schon die relativen und absoluten Häufigkeiten der neuen Stichprobe z eingetragen. 1.0 F z (t) Abbildung 2: Verteilungsfunktion F z (t) t Aufgabe 2: Gegeben sei eine Urliste mit Paaren (x 1, y 1 ),...,(x 10, y 10 ) ( 0.3, 4.04) ( 1.7, 4.03) ( 2.3, 2.33) ( 5.8, 0.66) ( 5.9, 0.18) ( 7.2, -1.81) ( 8.9, -3.28) (11.3, -4.61) (12.1, -4.20) (12.8, -4.37) a) Berechnen Sie x, ȳ, s x, s y und den empirischen Korrelationskoeffizienten. b) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a +b x von y auf x und skizzieren Sie diese zusammen mit den vorgegebenen Daten (x i, y i ), i = 1,...,10.

4 Lösung: a) x und s 2 x werden aus den 10 Werten der ersten Spalte bestimmt, ȳ und s2 y zweiten Spalte: aus denen der x = 1 10 ȳ = 1 10 ( ) = = 6.83 ( ) = = s 2 x = 1 9 (( ) ( ) 2) = s x = s 2 x = 4.46 s 2 y = s y = 3.42 Ferner ergibt sich der empirische Korrelationskoeffizient zu r xy = j=1 (x j x) (y j ȳ) = s x s y = b) Nach Vorlesung ist die Regressionsgerade y = a + b x bestimmt durch 4 3 y b = r xy sy = = s x 4.46 a = ȳ b x = = y = a + b x x Abbildung 3: Punkte und Regressionsgerade in Aufgabe 2

5 Aufgabe 3: (Frühere Klausuraufgabe) Gegeben sei eine Urliste mit den Paaren (x 1, y 1 ),...,(x 10, y 10 ): j x j y j a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel x, ȳ, die Stichproben-Standardabweichungen s x, s y und den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy. b) Bestimmen Sie das 0.2-getrimmte Stichproben-Mittel ȳ 0.2 von (y 1,...,y 10 ). c) Berechnen Sie das untere Quartil von (y 1,...,y 10 ). d) Berechnen Sie den Quartilsabstand von (y 1,..., y 10 ). e) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a + b x von y auf x. Lösung: a) Direkt aus den Daten ergibt sich gemäß Definition 1.8 und Paragraph 1.5 unter Ausnützung der Beziehung n (x j x) (y j ȳ) = j=1 n x j y j n x ȳ j=1 x = 5.63 s x = ȳ = 2.04 s y = r xy = Für die Lösung der nächsten drei Aufgabenteile benötigen wir die aufsteigend sortierten y-werte. Es ist y () = ( 9.4, 5.1, 4.1, 1.4, 0.0, 3.3, 6.7, 9.0, 9.3, 12.1) b) Mit k = [10 0.2] = 2 ergibt sich ȳ 0.2 = (y (3) y (8) ) = 2.25 c) Da = 2.5 nicht ganzzahlig ist, ist mit k = [2.5] = 2 ỹ 0.25 = y (k+1) = y (3) = 4.1 d) Wie in c) berechnet sich der Quartilsabstand zu ỹ 0.75 ỹ 0.25 = y (8) y (3) = 9.0 ( 4.1) = 13.1 e) Nach Paragraph 1.5 ist b = r xy sy s x und a = ȳ b x, also b = a = und die Regressionsgerade y = x.

6 Aufgabe 4: Zur Qualitätsüberprüfung von 3 Packungen mit je N Stück elektrischen Schaltungen werden jeder Packung zufällig n Stück entnommen (n N). Anschließend werden die entnommenen Schaltungen kontrolliert, ob sie defekt oder intakt sind. Es sei A ij das Ereignis, dass bei der i-ten Packung unter den entnommenen Stücken genau j defekt sind, 1 i 3, 0 j n. a) Stellen Sie die folgenden Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse A ij dar: B i := Packung i wurde mindestens eine defekte Schaltung entnommen ; C i := Packung i wurde höchstens eine defekte Schaltung entnommen ; D := keiner Packung wurde eine defekte Schaltung entnommen ; E := jeder Packung wurde mindestens eine intakte Schaltung entnommen ; F := es wurde insgesamt (genau) 1 defekte Schaltung entnommen. b) Man beschreibe in Worten die folgenden Ereignisse: B i F, A i0 A i1... A ik, A 13 A 32 Lösung: a) B c i = Packung i wurde keine defekte Schaltung entnommen = A i0, also B i = (B c i )c = A c i0 C i = A i0 + A i1 D = In jeder Packung waren unter den entnommenen Schaltungen 0 defekt, also D = A 10 A 20 A 30. E = In jeder Packung waren unter den entnommenen Schaltungen nicht alle defekt, also E = A c 1n Ac 2n Ac 3n. F = Es wurden in Packung 1 genau 1 defekte Schaltung entnommen, in den übrigen 0 oder es wurden in Packung 2 genau 1 defekte Schaltung entnommen, in den übrigen 0 oder es wurden in Packung 3 genau 1 defekte Schaltung entnommen, in den übrigen 0, also F = (A 11 A 20 A 30 ) (A 10 A 21 A 30 ) (A 10 A 20 A 31 ) b) B i F = Packung i wurde mindestens eine defekte Schaltung entnommen und es wurde insgesamt (genau) 1 defekte Schaltung entnommen = Packung i wurde genau eine defekte Schaltung entnommen, in den übrigen Packungen waren alle entnommenen Schaltungen intakt A i0 A i1... A ik = In Packung i sind 0 oder 1 oder...oder k der entnommenen Schaltungen defekt = In Packung i sind höchstens k der entnommenen Schaltungen defekt A 13 A 32 = In Packung 1 gibt es genau 3 defekte Schaltungen und in Packung 3 gibt es genau 2 defekte Schaltungen unter den entnommenen. Man beachte, dass beim letzten Ereignis nichts über die Anzahl defekter Schaltungen in Packung 2 ausgesagt wird.

7 Aufgabe 5: Bei der Produktion von Taschenrechnern findet eine Endkontrolle statt, wobei die Ereignisse A = Rechner funktioniert und B = Gehäuse einwandfrei beobachtet werden. a) Stellen Sie das Ereignis Der Rechner ist einwandfrei mit Hilfe der Ereignisse A und B dar. b) Drücken Sie die Ereignisse in Worten aus. Lösung: A c, B c, (A B) c, A B c, A c B a) Der Rechner ist einwandfrei, wenn der Rechner funktioniert und wenn das Gehäuse einwandfrei ist, also b) A c = Der Rechner funktioniert nicht Rechner einwandfrei = A B B c = Das Gehäuse ist nicht einwandfrei (A B) c = A c B c = Der Rechner funktioniert nicht und das Gehäuse ist nicht einwandfrei A B c = Der Rechner funktioniert und (aber) das Gehäuse ist nicht einwandfrei A c B = Der Rechner funktioniert nicht und (aber) das Gehäuse ist einwandfrei

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