Statistik. Ronald Balestra CH St. Peter

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1 Statistik Ronald Balestra CH St. Peter Januar 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Statistik Beschreibende Statistik Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen Die passende Gerade (lineare Regression) Anwendungen I

3 1 Statistik 1.1 Beschreibende Statistik Um was geht s? Wie entstehen statistische Informationen? Die mehrfachen Beobachtungen eines Merkmals bilden eine Stichprobe und die Anzahl der Beobachtungen wird der Umfang der Stichprobe genannt. Die konkreten Beobachtungswerte heissen Daten und werden in der Reihenfolge ihres Auftretens in einer Urliste zusammengefasst. Beispiel Ein Konsumentenmagazin ermittelt in einer Stichprobe die Preise (in Fr) für ein Produkt bei verschiedenen Anbietern: Probleme: 1

4 Strichliste Häufigkeitstabelle Um Stichproben unterschiedlichen Umfangs oder Stichproben aus verschiedenen Regionen (Länder, Städte,... ) besser miteinander vergleichen zu können brauchen wir die relative Häufigkeit: relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Umfang der Stichprobe = Beispiel (Kosumentenmagazin, 1.1.1) x 1 = H n (x 1 ) = h n (x 1 ) = x 2 = H n (x 2 ) = h n (x 2 ) = x 3 = H n (x 3 ) = h n (x 3 ) = x 4 = H n (x 4 ) = h n (x 4 ) = x 5 = H n (x 5 ) = h n (x 5 ) = x 6 = H n (x 6 ) = h n (x 6 ) = x 7 = H n (x 7 ) = h n (x 7 ) = Häufigkeitsverteilung: 2

5 Um bei grösseren Datenmengen eine bessere Uebersichtlickeit zu erhalten, können benachbarte mögliche Beobachtungswerte zu Klassen zusammengefasst werden. Beispiel Rangliste des Riesenslaloms der Herren in Park City ( ) Klasseneinteilung x 1 =, x 2 = x 3 =, x 4 = x 5 =, x 6 = zugehörige graphische Darstellung: 3

6 Beispiel Klassisches Beispiel: Alterspyramide 4

7 Aufgaben : Suche im Internet ein Histogramm - bestimme das Merkmal, - bestimme die Klasseneinteilung und - formuliere eine eigene Frage. 5

8 Beispiel Um über die Brenndauer von Glühlampen Aufschluss zu erhalten, wurde eine Stichprobe im Umfang von n = 90 gezogen und die Brenndauer gemessen. Als kürzeste Brenndauer wurde 513h und als längste 1571h gefunden. Die gesamten 90 Ergebnisse wurden in einer Urliste zusammengetragen. Leicht bearbeitet ist die folgende Liste entstanden: Aufgaben : Mit Hilfe von Excel sind die folgenden Darstellungen zu erstellen: Die relativen Häufigkeiten (in einem Histogramm) Die relativen Summenhäufigkeiten (als Kurve) 6

9 Aufgaben : Besuche die homepage des Bundesamtes für Statistik, suche einen für Dich interessanten Datenensatz heraus und erstelle dafür ein Histogramm mit der zugehörigen Summenhäufigkeit. 7

10 1.2 Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen Bei einer Häufigkeitsverteilung geht es um eine Zusammenstellung der ursprünglich beobachteten Daten. Für die Charakterisierung einer Häufigkeitsverteilung führen wir statistische Masszahlen ein: Mittelwert Streuungsmass Am Beispiel der Zeugnisnoten der Klasse X wollen wir die für uns notwendigen Begriffe einführen: 4, 5 5 3, 5 4, 5 5, 5 3, 5 4 4, , 5 5 2, , 5 4, 5 4 8

11 Streuung um das Verteilungszentrum 9

12 Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung der Varianz, bzw. der Standardabweichung, besteht in der Anwendung des Verschiebungssatzes : 10

13 Einsatz des TR/ von Excel: Aufgaben : Löse die Aufgabeserie Statistik 1 mit dem TR/ mit Excel. 11

14 1.3 Die passende Gerade (lineare Regression) Wir wollen im Folgenden eine sogenannte verbundene Stichprobe untersuchen und versuchen die erhobenen Merkmale in einen funktionalen Zusammenhang zu bringen. Beispiel Um den Zusammenhang zwischen der Motorenleistung und der maximalen Geschwindigkeit eines Autos zu untersuchen, wurden in einer Stichprobe mit dem Umfang n = 8 die folgenden Werte ermittelt: 85kW 198km/h 100kW 207km/h 147kW 233km/h 126kW 217km/h 141kW 230km/h 95kW 196km/h 84kW 190km/h 100kW 210km/h Wir sprechen in diesem Beispiel von einer verbundenen Stichprobe, weil die erhobenen Merkmale Leistung und maximale Geschwindigkeit voneinander abhängig sind. Wie bei unseren bisherigen Stichproben haben wir auch hier nur diskrete Werte erhalten und können keine Aussagen machen über die maximale Geschwindigkeit bei einer Motorenleistung von z.b. 120kW. Um solche Aussage doch näherungsweise machen zu können, wollen wir versuchen einen funktionalen Zusammenhang zwischen den erhobenen Merkmalen herzustellen. 12

15 Wir wollen in einem ersten Schritt die Stichprobe im folgenden Koordinatensystem graphisch darstellen: Verwende für die Leistung die x-achse und für die maximale Geschwindigkeit die y-achse. Diskutiere die folgenden Fragen: Warum lässt sich sicher keine Funktionsgleichung finden, welche den Zusammenhang in diesem Beispiel exakt beschreibt? Eine Funktionsgleichung von welchem Typ kann den geforderten Zusammenhang näherungsweise darstellen? Bestimme eine mögliche Lösung. 13

16 Wenn wir die Lösungen untereinander vergleichen, können wir feststellen, dass die meisten eine affine Funktionsgleichung aufgestellt haben, jedoch mit verschiedenen Steigungen und Achsenabschnitten. Um eine einheitliche Lösung zu finden, müssen wir ein Kriterium einführen, welche alle Personen zur gleichen Lösung führt: Die Methode der kleinsten Quadrate (nach Carl Friedrich Gauss). Methode der kleinsten Quadrate Gegeben sind n Zahlenpaare (x 1 /y 1 ), (x 2 /y 2 ), (x 3 /y 3 ),... (x n /y n ). Gesucht sind die reellen Zahlen a und b mit der folgenden Eigenschaft: s(a, b) = [y 1 (a x 1 +b)] 2 +[y 2 (a x 2 +b)] [y n (a x n +b)] 2 ist minimal Bemerkungen : Geometrische Bedeutung: s(a, b) minimal bedeutet... Wir haben zwei Unbekannte und brauchen für eine eindeutige Lösung zwei unabhängige Gleichungen: Um die Suche zu erleichtern wollen wir eine weitere Zusatzbedingung einführen: Im Mittel soll die gesuchte Gerade den Zusammenhang exakt wiedergeben, d.h.: 14

17 Die Lösung zu obigem Problem kann zusammengefasst wie folgt formuliert werden: Die affine Funktionsgleichung/ Gerade, welche im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate eine gegebene verbundene Stichprobe am besten beschreibt, erfüllt die folgenden Gleichung: y = s xy s 2 x (x x) + y mit s xy = 1 n [(y 1 y) (x 1 x) + (y 2 y) (x 2 x) (y n y) (x n x)] s 2 x = 1 n [(x 1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2] Die Gerade wird als Regressionsgerade bezeichnet. Aufgaben : Bestimme die Regressionsgerade für unser Beispiel. (Verwende zur Berechnung der Hilfsgrössen Excel) 15

18 Aufgaben : Führe die Herleitung zur Funktionsgleichung der Regressionsgerade aus. 16

19 Um über die Qualität eines linearen Zusammenhangs zwischen den Beobachtungswerten zweier Merkmale etwas aussagen zu können, gibt es eine Kenngrösse, die sogenannte lineare Korrelation/ der Korrelationskoeffizient: Def.: Der Korrelationskoeffizient r von n Beobachtungspaaren (x 1 /y 1 ), (x 2 /y 2 ), (x 3 /y 3 ),... (x n /y n ) ist wie folgt definiert: r = s xy s x s y (x 1 x) (y 1 y) (x n x)) (y n y = (x1 x) (x n x) 2 (y 1 y) (y n y) 2 Aufgaben : Bestimme den Korrelationskoeffizienten aus unserem Leistung - Geschwindigkeits - Beispiel. Bemerkungen : 1. r 1. Je näher r bei +1 oder -1 liegt, desto besser schmiegen sich die Beobachtungspaare der Regressionsgeraden an. Mit r = 0 wird die zugehörige Beobachtung unkorreliert genannt. 2. Es besteht nicht zwingend eine Beziehung zwischen der Korrelation und der Kausalität: Wir können voraussagen, dass bei einer Zunahme um eine Einheit in x-richtung, die y- Richtung um ungefähr a Einheiten zunimmt. Wir können jedoch nicht sagen, dass weil x um eine Einheit zunimmt, y um ungefähr a Einheiten zunimmt. 17

20 Ein schönes Beispiel um die letzte Bemerkung zu illustrieren ist die folgende Aufgabe: Aufgaben : Das Deutsche Statistische Bundesamt lieferte 1991 aus den einzelnen Bundesländern die folgenden Beobachtungswerte über die Anzahl x (in 1000) der Verkehrsunfälle mit Personenschaden und die Anzahl y in (1000) der Ehescheidungen: (x, y) (45/17, 7) (63/20, 5) (17/6, 1) (12/1, 6) (4/1, 6) (10/4, 4) (29/11, 7) (8/1, 2) (42/13, 6) (78/36, 8) (18/8, 1) (5/2, 6) (16/2, 2) (12/1, 5) (17/5, 5) (10/1, 6) 1. Stelle die Situation graphisch mit Excel dar. 2. Bestimme die Regressionsgerade. 3. Bestimme den Korrelationskoeffizienten. 18

21 Einsatz des TR/ von Excel: Aufgaben : Löse die Aufgabeserie Statistik 2 mit dem TR/ mit Excel. 19

22 1.4 Anwendungen zu folgenden Themen: Lesen und Visualiseren von Daten an Erhebungsdaten zu Wir lernen uns kennen - Eine Fragebogenerhebung. Mittelwert und Standardabweichung an Erhebungsdaten zu Wie gross ist die Lichtgeschwindigkeit (S. Newcomb, 1882) Korrelation an Erhebungsdaten zu Wählen grosse Menschen grosse Partner? Lineare Regression an Erhebungsdaten zu Wie entwickelt sich die Gangliendichte? 20