Geg.: Eine Menge von Elementen, z.b.

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1 1.3 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen Geg.: Eine Menge von Elementen, z.b. Schüler einer Schule Soldaten eines Bataillons Schrauben einer Stichprobe Tage eines Jahrhunderts Betrachtet werden zwei Merkmale, z.b. Note und Alter Größe und Gewicht Dicke und Länge Mondphase und Wetter Dann liegt vor: eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung Eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung enthält mehr Information als zwei eindimensionale Häufigkeitsverteilungen! 1

2 Gibt es Zusammenhänge zwischen den Daten? Beschreibung durch Tabelle oder Diagramm cm \ kg Die in der rechtesten Spalte und in der untersten Zeile stehenden Summen geben die Randhäufigkeiten an. Bei einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung bilden die Randhäufigkeiten je eine eindimensionale Verteilung. Beim Zeichnen eines Diagramms, z.b. eines Säulendiagramms, achtet man zunächst nicht auf die Sichtbarkeit. Dann radiert man oder zeichnet das Ergebnis auf Transparentpapier ab. 2

3 1.3.2 Summenhäufigkeitsfunktion oder (empirische) Verteilungsfunktion Jedes Element a i von endlich vielen Elementen a 1, a 2,..., a n habe zwei numerische Merkmale x i, y i (i = 1, 2,..., n). Dann ist durch F (x, y) := Anzahl der a i mit x i x, y i y n die Summenhäufigkeitsfunktion oder (empirische) Verteilungsfunktion F gegeben. 1.4 Korrelation zweier Merkmale Beispiel: Körpergröße und Gewicht Vier Erwachsene haben die folgende Größe (Körperlänge) x i in cm und das folgende Gewicht y i in kg. Person x i y i Man kann dazu ein Streudiagramm zeichnen. (Siehe Tafelskizze!) 3

4 Die Punkte im Streudiagramm liegen um eine Gerade herum. Die Größen Körperlänge und Gewicht sind korreliert. Diese Korrelation braucht nicht notwendig einen kausalen Zusammenhang zu bedeuten! Kennzahlen für den Zusammenhang zweier Größen Seien x, y zwei Größen, die die Werte x i, y i, i = 1, 2,..., n annehmen. Cov(x, y) := s xy := 1 n 1 (x i x)(y i ȳ) heißt die (empirische) Kovarianz von x und y. Der Summand (x i x)(y i ȳ) ist positiv, wenn der i-te Wert von x und der i-te Wert von y in gleicher Richtung vom Mittelwert abweichen und 4

5 negativ, wenn der i-te Wert von x und der i-te Wert von y in verschiedener Richtung vom Mittelwert abweichen. Falls alle Summanden positiv: - alle Punkte des Streudiagramms in zwei Quadranten der Ebene - Kovarianz positiv groß. (Siehe Tafelskizze!) Falls alle Summanden negativ: - alle Punkte des Streudiagramms in zwei Quadranten der Ebene - Kovarianz negativ groß. 1 Der Faktor n 1 sorgt dafür, dass die Kovarianz nicht zu sehr von der Anzahl der Werte abhängt. r xy = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n (y i ȳ) 2 5

6 = s xy s x s y heißt der (empirische) Korrelationskoeffizient, auch der Pearsonsche Korrelationskoeffizient von x und y, falls ein x i x und ein y i ȳ, falls also nicht alle x i gleich sind und zugleich nicht alle y i gleich sind. Hier sorgt der Nenner dafür, dass der Korrelationskoeffizient nicht zu sehr von der Anzahl der Werte abhängt Anwendung auf unser Beispiel Person x i y i Hier ist x = ( ) = = 165, 6

7 ȳ = 60, also s xy = (( )(84 60)+( )(45 60)+ ( )(56 60) + ( )(55 60)) = 1 ( ) = ( ) = = s xy ist positiv und groß. r xy = = = , 83. Dieser Korrelationskoeffizient ist größer als Null, näher an 1 als an Null. 7

8 1.4.4 Zur (empirischen) Kovarianz s xy := 1 n 1 (x i x)(y i ȳ) Annahme: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den x i und den y i. Dann werden x i x und y i ȳ keinen Zusammenhang besitzen. Dann werden x i x und y i ȳ ungefähr gleich oft gleiches wie verschiedenes Vorzeichen haben. Dann werden (x i x) (y i ȳ) ungefähr gleich oft positiv wie negativ sein. s xy wird daher klein sein Zum (empirischen) Korrelationskoeffizienten Bemerkung 1: n r xy = (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n (y i ȳ) 2 ist im R n der Kosinus des Winkels der Vektoren 8

9 x 1 x x 2 x. x n x, y 1 ȳ y 2 ȳ. y n ȳ. Bemerkung 2: Stets gilt 1 r xy 1. (CAUCHY/SCHWARZsche Ungleichung) Bemerkung 3: Ist x i = y i für i = 1,..., n, so ist x = ȳ und r xy = 1. Bemerkung 4: Liegen im Streudiagramm die Punkte (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) auf einer Geraden, dann gilt: also y i = mx i + b für i = 1, 2,..., n, y i = m x i + nb. Division durch n liefert: 9

10 Folglich gilt: ȳ = m x + b. Folglich ist y i ȳ = m(x i x) für i = 1, 2,..., n. r xy = m n (x i x) 2 n (x i x) 2 m 2 n (x i x) 2 = m m = ±1. (Falls m = 0, ist r xy nicht definiert.) Bemerkung 5: Die Zahl der Störche und die Zahl der Geburten sind gut korreliert. Daraus kann man nicht viel schließen! Umgekehrt gilt aber: Besteht keine Korrelation (r xy = 0), so besteht kein kausaler Zusammenhang. 1.5 Die Regressionsgerade Entwicklung der Aufgabenstellung Geg.: Punkte (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). 10

11 Falls die Punkte im Streudiagramm alle auf einer Geraden liegen, erhält man diese Gerade als Verbindungsgerade von zwei beliebigen dieser Punkte. Anderenfalls: Ges.: Gerade mit der Gleichung ŷ = ax + b, auf der die geg. Punkte möglichst gut drauf liegen. Das ist keine gute Forderung! Sie liefert kein eindeutiges Ergebnis. Man könnte eine Gerade suchen, so dass die Summen der Abstände der Punkte von der Geraden minimal = so klein wie möglich wird. Das ist unbequem zu rechnen und hat weitere Nachteile. Man geht so vor: Ges.: Gerade mit der Gleichung ŷ = ax+b, so dass gilt: Die Summe der Quadrate der Abstände der Punkte von der Geraden ist minimal, 11

12 wenn man die Abstände in y-richtung misst. Diese Gerade heißt Regressionsgerade. Geschichtliches: Auf die Methode der kleinsten Quadrate kamen Carl Friedrich Gauß ( ) und Adrien-Marie Legendre ( ). Legendre war Gauß deswegen böse. Ein alter Spruch über die Methode der kleinsten Quadrate, ohne Kommentar wiedergegeben: Die Physiker glauben, dass die Richtigkeit dieser Methode von den Mathematikern bewiesen wurde. Die Mathematiker glauben, dass die Richtigkeit dieser Methode durch die Erfahrung der Physiker bestätigt wird Berechnung der Regressionsgerade Minimal soll werden: S := (y i (ax i + b)) 2 12

13 Dabei sind x 1,..., x n, y 1,..., y n bekannte konstante Werte. Gesucht sind a, b, so dass S(a, b) minimal wird. Setzt man das richtige b ein (noch unbekannt!), und lässt man a variieren, so hat man eine Funktion von a, und für ein Minimum dieser Funktion gilt notwendig: 0 = S(a, b). a Entsprechend ist notwendig 0 = S(a, b). b Dabei bedeutet a die partielle Ableitung nach a, bei der b als Konstante behandelt wird. Berechnung: 0 = a S(a, b) = a 2 (y i (ax i + b)) 2 = (y i (ax i + b)) ( x i ) = 13

14 2( x i y i a x 2 i b x i ) und 0 = b S(a, b) = b (y i (ax i + b)) 2 = 2 (y i (ax i + b)) ( 1) = 2( y i a x i nb) Also gilt notwendig: n b + ( x i ) a = y i (1) ( x i ) b + ( x 2 i ) a = Wir eliminieren b aus (1) und (2): x i y i (2) (1) ( x i ) (2)cdotn 14

15 a = ( n x i)( n y i) n n x iy i ( n x i) 2 n( n x2 i ) Mit a erhält man aus (1): b = ȳ xa Zusammenfassung Geg.: Punkte (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Ges.: Regressionsgerade mit der Gleichung ŷ = ax + b Dann ist a = ( n x i)( n y i) n n x iy i ( n x i) 2 n( n x2 i ) und b = ȳ xa Warnungen Warnung 1: Wird die Regressionsgerade in der Gestalt 15

16 gesucht, ŷ = bx + a dann ist das dieselbe Gerade, aber man muss bei der Anwendung der Formeln aufpassen. Warnung 2: Wird die Regressionsgerade in der Gestalt gesucht, ˆx = ay + b dann ist das eine andere Gerade! Dann minimiert man die Quadratsumme der Abstände in x-richtung! Zum Zeichnen der Regressionsgeraden Die Regressionsgerade geht durch den Punkt ( x, ȳ) und hat die oben berechnete Steigung. 16