Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2002 am 11. Oktober 2002 von bis Uhr

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1 Note Technische Universität München SS 2002 Zentrum Mathematik apl. Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2002 am. Oktober 2002 von 6.00 bis 7.00 Uhr 0 02 I II Name Vorname 03 Matrikelnummer Fachsemester Fachrichtung Hörsaal Platz Hinweise: 08. Die Bearbeitung der Aufgaben muss den Lösungsweg eindeutig erkennen lassen. 2. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Eigene Aufzeichnungen, Skripten, Formelsammlungen, Lehrbücher, Taschenrechner. Diese Hilfsmittel dürfen während der Prüfung nicht weitergegeben werden Unterschrift:... Summe: Ich wünsche, dass meine Note nach der Korrektur unverzüglich durch Veröffentlichung unter meiner Matrikelnummer im Internet bekanntgegeben wird. I II Unterschrift:...

2 . Aus einer statistischen Erhebung über Krankenhausbehandlungen in der DDR ergeben sich für das Jahr 989 unter anderem folgende Zahlen: Es wurden 48 Männer wegen Windpocken in einem Krankenhaus behandelt. Das waren m = 6, auf je hunderttausend der männlichen Einwohner der DDR. Es wurden 3 Frauen wegen Windpocken in einem Krankenhaus behandelt. Das waren w = 3, 6 auf je hunderttausend der weiblichen Einwohner der DDR. a) Welche Zahl M an männlichen Einwohnern und welche Zahl W an weiblichen Einwohnern der DDR für das Jahr 989 liegt dieser Statistik zu Grunde? (Die Ergebnisse bitte auf ganze Zahlen runden!) 48 M = 6, W = 3, M = , W = , 6 = = b) Wieviele von je hunderttausend Einwohnern der DDR wurden im Jahr 989 wegen Windpocken in einem Krankenhaus behandelt? Berechnen Sie diese Zahl g bis auf zwei Stellen nach dem Komma. g = M m + W w M + W = , , = = 4, 79 alternativ: = = 4, 79 c) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, um das Ergebnis g von Teilaufgabe b) aus den gegebenen Häufigkeiten m und w zu erhalten? Nach b) ergibt sich g aus m und w als gewogenes oder gewichtetes arithmetisches Mittel. Die Gewichte erhält man durch Verwendung der Anzahlen M der männlichen und W der weiblichen Einwohner der DDR und Division durch M + W. 2

3 2. Ein Waldbrand vernichtet in einem Bezirk an einem Tag 5 Prozent der Waldfläche F, am nächsten Tag 20 Prozent der verbliebenen Waldfläche und am letzten Tag noch einmal 4 Prozent der verbliebenen Waldfläche. a) Wieviel Prozent der ursprünglichen Waldfläche sind nach dem Waldbrand noch übrig? Waldfläche nach dem Brand: F 0, 85 0, 80 0, 96 = 0, 6528 F. Nach dem Brand sind noch 65,28 % der Waldfläche übrig. b) Um wieviel Prozent hat die Waldfläche während des Brandes durchschnittlich pro Tag abgenommen? Berechnen Sie das Ergebnis a bis auf zwei Stellen nach dem Komma und runden Sie es anschließend auf eine ganze Zahl. a = ( 3 0, 6528) 00 ( 0, 86748) 00 = 0, ,

4 3. Bei einer Prüfung sind vier Fragen jeweils durch Ankreuzen der richtigen Antwort zu beantworten. Es stehen für jede Frage drei Antworten zur Auswahl, von denen genau eine richtig ist. Ein nicht vorbereiteter Prüfling wählt die Antworten auf die Fragen zufällig aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Prüfling die Prüfung besteht, wenn man für das Bestehen der Prüfung mindestens drei Fragen richtig beantworten muss? w(vier richtige Antworten) = ( 3 )4 ; w(genau drei richtige Antworten) = ( 3 )3 ( 2) 4 = ( 3 3 )4 2 4 ; w(prüfung bestanden) = ( 3 )4 ( + 8) = = 0, b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Prüfling die Prüfung besteht, wenn man für das Bestehen der Prüfung mindestens drei aufeinander folgende Fragen richtig beantworten muss? w(mindestens drei aufeinander folgende Fragen richtig) = w(keine Frage falsch) + w(genau erste Frage falsch) + w(genau vierte Frage falsch) = ( 3 )4 + ( 3 )3 ( 2) 2 = ( 3 3 )4 ( + 2 2) = 5 0,

5 4. Ein neues Fast-Food-Produkt wird von zehn Leuten getestet und mit Schulnoten bewertet. Die beste Note ist, die schlechteste Note ist 6. Die einzelnen vergebenen Noten x i (i =, 2,..., 0) sind 2,2,3,2,3,,,2,3,. a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel x der vergebenen Noten, x = 0 ( ) = 20 = 2. 0 b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung s 2 der vergebenen Noten. s 2 = n n (x i x) 2 = i= 9 ( ( ) 2 + ( ) ( ) 2 ) = 9 6 = 2 3 0, alternativ: s 2 = n n ( x 2 i n n ( x i ) 2 ) = 9 ( ) = 2 3 i= i= 0, c) Wie groß ist die empirische Standardabweichung s der vergebenen Noten? s = s 2 = 2 3 = 0, 86. 5

6 5. Ein neues billiger herzustellendes Digitalthermometer wird mit einem präzisen Digitalthermometer verglichen. In der folgenden Tabelle sind einige Messwerte x i des präzisen Digitalthermometers und die entsprechenden Messwerte y i des billiger herzustellenden Thermometers (in Grad Celsius gemessen) zusammengefasst: x i y i a) Zeichnen Sie ein Streudiagramm, um einen ersten Eindruck von der Güte der Übereinstimmung der beiden Thermometer zu bekommen

7 b) Berechnen Sie die Kovarianz s xy der von den beiden Thermometern gemessenen Temperaturen. s xy = n n i= (x i x)(y i ȳ). ( alternativ: s xy = ( n n i= x iy i ( n n i= x i)( n i= y i)). ) Benötigt wird dazu x = 45 = 5 und ȳ = 45 = 5. Damit ist 9 9 s xy = (( 5) ( 5) + ( 3) ( 4) + ( 2) ( 3) + ( ) ( ) + 0 ( ) ) = ( ) = 89 =, c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy der von den beiden Thermometern gemessenen Temperaturen. r xy = P n i= (x i x)(y i ȳ) Pn i= (x i x) 2 P n i= (y i ȳ) 2 = 8 sxy ( 5) 2 +( 3) 2 +( 2) 2 +( ) ( 5) = 2 +( 4) 2 +( 3) 2 +( ) 2 +( ) ,8376 0, ,9285 0, d) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden in der Gestalt ŷ = aˆx + b und zeichnen Sie die Regressionsgerade in die Skizze aus der Teilaufgabe a) ein. Aus der Vorlesung: a = a = ( n i= y i) ( n i= x i) n n i= y ix i ( n i= x i) 2 n( n i= x2 i ) b = ȳ x a ( ) ( ) b (5 5, 4) 0, 705 = = 89 78, 4 = näherungsweise Gleichung der Regressionsgeraden: ŷ =, 4ˆx 0, 7 7

8 6. Eine Firma stellt Schlauchboote her. Zwanzig Prozent der Boote unterwirft sie einer aufwendigen (und für die Boote strapaziösen) Belastungsprüfung. Diese Boote verkauft sie als einzeln getestet zu einem erheblich höheren Preis als die restlichen achtzig Prozent. Es stellt sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein verkauftes Boot reklamiert wird, zwei Prozent beträgt: w(r) = 0, 02. Bei den einzeln getesteten Booten beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie reklamiert werden, vier Prozent: w E (R) = 0, 04. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w N (R) in Prozent, dass ein nicht einzeln getestetes Boot reklamiert wird? Berechnen Sie dazu zunächst a) die Wahrscheinlichkeit w(er), dass ein Boot sowohl einzeln getestet als auch reklamiert wird; w(er) = w(e) w E (R) = 0, 2 0, 04 = 0, 008 b) die Wahrscheinlichkeit w(n R), dass ein Boot sowohl nicht einzelnen getestet als auch reklamiert wird; w(r) = w(nr + ER) = w(nr) + w(er) = (NR, ER unvereinbar) w(nr) = w(r) w(er) = 0, 02 0, 008 = 0, 02. c) die Wahrscheinlichkeit w N (R), dass ein Boot, das nicht einzeln getestet wurde, reklamiert wird. w N (R) = w(nr) w(n) = 0,02 0,8 = 0, 05. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht einzeln getestetes Boot reklamiert wird, beträgt,5 Prozent. 8