Dr. W. Kuhlisch Dresden, Institut für Mathematische Stochastik

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Wilfried Bäcker
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1 Dr. W. Kuhlisch Dresden, Institut für Mathematische Stochastik Klausur Statistik für Studierende der Fachrichtungen Hydrologie und Altlasten/Abwasser zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner (TR), Mitschriften, Fachliteratur Rechengenauigkeit: rechnen Sie mit mindestens 5 Nachkommastellen und runden Sie die Endergebnisse auf 3 Nachkommastellen Name: Vorname: Fachrichtung: Matrikel-Nr. (Bitte deutlich schreiben) 1. Die Ereignisse A und B seien unabhängig und P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 6. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt und B nicht eintritt? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau eines der Ereignisse A, B ein? (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens eines der Ereignisse A, B ein?. 6 Punkte

2 2. In Sachsen wurden im Jahr 1994 an n = 980 Messstellen sowohl Verkehrszählungen als auch Messungen von Luftschadstoffen durchgeführt. Es sollte untersucht werden, ob die Schadstoffbelastung vom Verkehrsaufkommen abhängt. Die Daten sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt: Anzahl der Messstationen mit hoher Verkehrsdichte niedriger Verkehrsdichte hoher NO 2 -Belastung niedriger NO 2 -Belastung Berechnen Sie die bei Unabhängigkeit der Merkmale Verkehrsdichte und NO 2 -Belastung erwarteten Häufigkeiten und tragen Sie diese in die untere Tabelle ein. Testen Sie die Hypothese der Unabhängigkeit der Merkmale (α = 0.05). 8 Punkte Klasse beobachtete Häufigkeit erwartete Häufigkeit ,

3 3. Eine Wetterstation registriert an 11 aufeinanderfolgenden Tagen jeweils 12 Uhr die Lufttemperatur (in C) In der folgenden Tabelle sind die Messwerte dargestellt. Tag x i 1 7, , 7 3 9, 1 4 8, , 9 6 9, 4 7 4, , 8 9 8, , , 2 Es wird vorausgesetzt, dass die Messwerte x i als Realisierungen von unabhängigen identisch normalverteilten Zufallsvariablen X i aufgefasst werden können. (a) Ermitteln Sie aus den Messwerten x i (i = 1,..., 12) den empirischen Mittelwert. (b) Geben Sie ein (zweiseitiges) Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Zufallsvariablen zum Niveau ε = 1 α = 0.95 an (s x = 2, 8786). 4 Punkte

4 (c) Beantworten Sie (soweit möglich) die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort kurz: Wieviel Prozent der Stichprobenwerte x i der Stichprobe liegen in dem konkreten Konfidenzintervall aus (b)? Überdeckt das konkreten Konfidenzintervall aus (b) den Erwartungswert µ der Grundgesamtheit? Wieviel Prozent aller Stichproben vom Umfang 11 aus dieser Grundgesamtheit liefern Konfidenzintervalle, die den Erwartungswert µ der Grundgesamtheit enthalten? Ist der Erwartungswert µ der Grundgesamtheit gleich 11? Liegt der empirische Erwartungswert in dem konkreten Konfidenzintervall aus (b)? Muss die Hypothese H 0, dass der Erwartungswert µ der Grundgesamtheit gleich 11 ist, beim t- Test mit Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt werden? Muss die Hypothese H 0, dass der Erwartungswert µ der Grundgesamtheit gleich 11 ist, beim t- Test mit Signifikanzniveau α = 0.1 abgelehnt werden? 7 Punkte (d) Vervollständigen Sie den folgenden Lückentext: Die Länge des Konfidenzintervall wird..., wenn der Stichprobenumfang kleiner wird (und alle anderen Kenngrößen unverändert bleiben). Die Länge des Konfidenzintervall wird..., wenn das Konfidenzniveau ε = 1 α größer wird (und alle anderen Kenngrößen unverändert bleiben). 2 Punkte

5 (e) Stellen Sie die Zeitreihe graphisch dar. (f) Welche Werte erhalten Sie bei Glättung der Zeitreihe mit Hilfe eines einfachen gleitenden Durchschnitts der Ordnung 3 für die Zeitpunkte t = 2 und t = 3? Tragen Sie die Werte der geglätteten Reihe in die obige Tabelle ein und zeichnen Sie die geglätteten Werte in die Grafik in (e) ein. 4 Punkte

6 4. Bestimmen Sie für die folgenden jährlichen Durchflussmengen M Q(a) des Pegels Golzern, Mulde von 1959 bis 1970 den Median, das untere und obere Quartil und die Werte der empirischen Verteilungsfunktion F n (x) an den Stellen x = 74 und x = 80. Interpretieren Sie das obere Quartil. Jahr MQ(a) Punkte

7 5. In einer Großstadt werden seit 1775 monatliche Durchschnittstemperaturen registriert. Seien x 1,..., x 221 beziehungsweise y 1,..., y 221 die Durchschnittstemperaturen in C für die Monate Januar beziehungsweise Februar in den Jahren 1775 bis Wir nehmen in (a) bis (d) an, dass die Messreihe y 1,..., y 221 eine Realisierung von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen Y 1,...Y 221 ist und dass für i = 1,..., 221 E(Y i ) = b 0 + b 1 x i sowie V ar(y i ) = σ 2 für alle i gilt. Die Messungen lieferten die folgenden Kennzahlen: x = y = (n 1) s 2 x = (n 1) s 2 y = (n 1) s xy = (x i x) (y i y) = k=1 (a) Berechnen Sie damit den empirischen Korrelationskoeffizienten nach Pearson für die Merkmale X, Y. Weisen Sie mit einem geeigneten Test nach, dass sich der Korrelationskoeffizient signifikant von Null unterscheidet (α = 0.1, Angabe von Testgröße, Ablehnungsbereich des Tests und Entscheidungsregel.) 4 Punkte (b) Es wird davon ausgegangen, dass sich die mittlere Februartemperatur mit Hilfe einer linearen Regressionsfunktion aus der Temperatur des Vormonats prognostizieren lässt. Schätzen Sie die Regressionskoeffizienten b 0 und b 1 dieser Regressionsfunktion und berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. 4 Punkte (c) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 α = 0.9 für den Wert der Regressionsfunktion an der Stelle 1 C. (s 2 e = 6, 431) 3 Punkte (d) Berechnen Sie ein Prognoseintervall zum Niveau 1 α = 0.9 für die durchschnittliche Februartemperatur, wenn im Januar durchschnittlich 1 C beobachtet wurde.. 3 Punkte

8 (e) (Zusatz) Es bezeichnen z i, i = 1,..., 221, die mittleren Durchschnittstemperaturen im Dezember des Vorjahres. Für den partiellen Korrelationskoeffizienten r X,Z Y wurde aus den Daten der Schätzwert 0, 001 ermittelt. Interpretieren Sie diesen Schätzwert. Welche der folgenden Regressionsmodelle (i) bis (iv) sind zur Beschreibung und Prognose der monatlichen Durchschnittstemperaturen M N(t) im Monat t für den gesamten Zeitbereich der 221 Jahre sinnvoll? Geben Sie für jedes der vier Modelle Argumente an, die für bzw. gegen die Wahl des Modells sprechen. Beachten Sie dabei die Ergebnisse von (a) und (e). (Die Zufallsvariablen E(t) bezeichnen die Modellfehler zum Zeitpunkt t im jeweiligen Modell und werden als unkorrelierte Zufallsgrößen mit Erwartungswert Null und gleicher Varianz angenommen.) i. ii. iii. iv. MN(t) = β 0 + β 1 t + E(t) MN(t) = β 0 + β 1 t + A 1 cos( π t 6 ) + D 1 sin( π t 6 ) + E(t) [MN(t) β 0 ] b 1 [MN(t 1) β 0 ] = E(t), wobei β 0 (1 b 1 ) = b 0 (vgl. Parameterwahl in (b)) [MN(t) f(t)] b 1 [MN(t 1) f(t 1)] = E(t), wobei f(t) = β 0 + β 1 t + A 1 cos( π t 6 ) + D 1 sin( π t 6 ). 8 Punkte

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