Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

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1 Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die in den einzelnen Teilaufgaben erreichbaren Punkte: Aufgabe ( P) Aufgabe ( P) Aufgabe 3 ( P) Aufgabe 4 ( P) a b c d e a b c d e a b c d a b c d e Aufgabe 5 ( P) Aufgabe 6 (9 P) Aufgabe 7 (9 P) a b c d e a b c d a b c d Aufgabe ( Punkte) Gegeben sei eine Urliste mit den Paaren (x, y ),..., (x 9, y 9 ) j x j y j a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel x, ȳ, die Stichproben-Standardabweichungen s x, s y und den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy. Hinweis: 9 x j = 45, 9 x j = 85, 9 y j = 3.8, 9 yj = 4.3, 9 x j y j = 8.. b) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a + b x von y auf x. c) Berechnen Sie das.-getrimmte Stichprobenmittel ȳ. von (y,..., y 9 ). d) Bestimmen Sie das Stichproben- -Quantil ỹ 3 3 von (y,..., y 9 ).

2 e) Berechnen Sie den Quartilsabstand von (y,..., y 9 ). Lösung: a) Direkt aus den Daten ergeben sich nach den Abschnitten.4 und.5 im Skript mit Hilfe der Beziehung (x j x) (y j ȳ) = x j y j n x ȳ die Ergebnisse ( ( )) x = 5 s x = x i n x n ȳ = s y =.775 r xy =.953. i= =.739 b) Nach Abschnitt.5 des Skripts ist b = r xy sy s x und a = ȳ b x, also b =.68 a =.3 und die Regressionsgerade y = x. c) Für die Lösung der nächsten drei Aufgabenteile benötigen wir die aufsteigend sortierten y-werte. Es ist y () = (.6,.9,.9, 3., 3.8, 3.9, 4.3, 4.5, 4.7). Mit k = [9.] = [.8] = ergibt sich d) Da 9 3 ȳ. = = 6 ganzzahlig ist, ergibt sich 9 (y () y (8) ) = ỹ 3 = (y (6) + y (7) ) = 4.. e) Da.5 9 =.5 und.75 9 = 6.75 beide nicht ganzzahlig sind, ergibt sich mit k = und k = 6 ỹ.5 = y (k +) = y (3) =.9 ỹ.75 = y (k +) = y (7) = 4.3 und damit der Quartilsabstand zu ỹ.75 ỹ.5 =.4.

3 Aufgabe ( Punkte) Die gemeinsame Zähldichte f X,Y (i, j) zweier Zufallsvariablen X und Y sei durch die folgende Tabelle gegeben: i j /6 /8 /8 /4 /8 /4 /6 a) Bestimmen Sie die Zähldichte f X von X. b) Berechnen Sie P(Y ) und P(Y = X = ). c) Bestimmen Sie die Erwartungswerte EX, E(X + Y ) und E(X Y ). d) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ(x, Y ) von X und Y. Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie. e) Für eine Zufallsvariable Z mit Wertebereich {, } sei P(Z = X = ) =, P(Z = X = ) = 3 4 und P(Z = X = ) = 7. Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Z, d.h. P(X = i, Z = k) für alle i {,, } und k {, }. Lösung: a) Für i {,, } gilt f X (i) = j= f X,Y (i, j). f X (i) ist also durch Summation der Einträge der i-ten Zeile der Tabelle gegeben: f X () = = 3 6, f X() = = 3 8, f X() = = 7 6. b) Aus Symmetriegründen (k-te Zeile gleich k-te Spalte) gilt f Y = f X. Damit folgt direkt P(Y ) = P(Y < ) = P(Y = ) = f Y () = 3 6 = 3 6 und nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(Y = X = ) = P(Y =, X = ) P(X = ) = f X,Y (, ) f X () = = 3. c) Es gilt E(X) = 3 i f X (i) = = 5 4, i= 3

4 und, da wegen f Y = f X auch E(Y ) = E(X) gilt, folgt mit der Additivität des Erwartungswertes Weiterhin ist E(X Y ) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = E(X) = 5. i j f X,Y (i, j) i,j= = f X,Y (, ) + f X,Y (, ) + f X,Y (, ) + f X,Y (, ) = = 8. d) Da wegen f Y = f X neben E(Y ) = E(X) auch V (Y ) = V (X) gilt, folgt für den Korrelationskoeffizienten ρ(x, Y ) nach Satz.3 des Skripts zunächst ρ(x, Y ) = C(X, Y ) V (X) V (Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) V (X) = E(X Y ) (EX). V (X) Wegen E(X ) = i= i f X (i) = f X () + f X () = = 7 8 erhalten wir für die Varianz von X (nach Satz. b) des Skripts) V (X) = E(X ) (EX) = 7 8 ( ) 5 = = 9 6. Oben eingesetzt ergibt sich ρ(x, Y ) = ( ) = 5 9 = 3 9 = 3. X und Y sind somit negativ korreliert. Da stochastische Unabhängigkeit nach Satz.3 e) Unkorreliertheit implizieren würde, können X und Y nicht stochastisch unabhängig sein. e) Nach dem Skript ist P( X = ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, also gilt Wir erhalten hiermit P(Z = X = ) + P(Z = X = ) = P(Z {, } X = ) =. P(Z = X = ) = P(Z = X = ) = =, und analog P(Z = X = ) = P(Z = X = ) = 3 4 = 4, P(Z = X = ) = P(Z = X = ) = 7 =

5 Mit Hilfe der Formel P(X = i, Z = k) = P(Z = k X = i) P(X = i) (Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit) lässt sich nun direkt die gemeinsame Verteilung f X,Z von X und Z bestimmen: Wir erhalten und mit analoger Rechnung P(X =, Z = ) = P(Z = X = ) P(X = ) = 3 6 = 3 3 P(X =, Z = ) = 3 3, P(X =, Z = ) = 3 3, P(X =, Z = ) = 9 3, P(X =, Z = ) = 6, P(X =, Z = ) =

6 Aufgabe 3 ( Punkte) Die in regelmäßigen Abständen von einer Woche auszuführenden Kontrollen von 4 Maschinen M i, i =,... 4, erfordern folgenden Zeitaufwand t i (in Stunden): i 3 4 t i Um Überstunden innerhalb eines Arbeitstages von 8 Stunden möglichst zu vermeiden, entschließt man sich, jedes Mal nur Maschinen zu untersuchen, welche zur Vermeidung von Manipulationen zufällig ausgewählt werden. Sei Ω die Menge aller -Kombinationen ohne Wiederholung aus der Menge {M, M, M 3, M 4 } und P die Gleichverteilung auf Ω. a) Wieviele Elemente enthält die Menge Ω? b) Die Zufallsvariable X beschreibe die zufällige Dauer der Kontrolle der Maschinen. Geben Sie X(ω) für ω Ω in Form einer Tabelle an und bestimmen Sie die Zähldichte f X von X. c) Die Zufallsvariable K, welche die zufälligen Kontrollkosten beschreibt, sei gegeben durch { 5 X, falls X 8, K := (X 8), falls X > 8. Ergänzen Sie die Tabelle aus b) um die Kosten K(ω) und bestimmen Sie die zu erwartenden Kontrollkosten. d) Die zwei jeweils zu kontrollierenden Maschinen werden in aufeinanderfolgenden Wochen unabhängig voneinander ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei aufeinanderfolgenden Wochen alle 4 Maschinen kontrolliert werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 3 aufeinanderfolgenden Wochen nicht alle Maschinen kontrolliert werden. Lösung: a) Es gilt Ω = ( ) 4 = 4 3 = 6. Die Elemente von Ω sind in der Tabelle in b) angegeben. b) Für i, j {,, 3, 4} ist X({M i, M j }) = t i + t j. Die Zufallsvariable X ist also durch die Werte in der folgenden Tabelle bestimmt: ω Ω {M, M } {M, M 3 } {M, M 4 } {M, M 3 } {M, M 4 } {M 3, M 4 } X(ω) K(ω) Der Wertebereich von X ist W X = {5, 6, 7, 8, 9}. Aufgrund der Gleichverteilungsannahme hat jedes ω Ω die Wahrscheinlichkeit. Da jeder Wert von X außer 7 nur für ein ω Ω 6 angenommen wird (und 7 für ), gilt für die Zähldichte von X: { für k = 5, 6, 8, 9 6 f X (k) = P(X = k) = für k = 7 6 6

7 c) Die Werte der Zufallsvariable K sind in der letzten Zeile der Tabelle in b) angegeben. Zur Bestimmung des Erwartungswertes von K genügt es, die Werte dieser Tabellenzeile mit den Gewichten 6 aufzusummieren: E(K) = 6 ( ) = 4 6 = 354. d) Wegen der Unabhängigkeitsannahmen ist die Menge der möglichen Auswahlen von je zwei Maschinen an aufeinanderfolgenden Wochen durch Ω beschrieben. Die günstigen Auswahlen des Ereignisses alle 4 Maschinen kontrolliert lassen sich folgendermaßen charakterisieren: In der ersten Woche kann jede beliebige Auswahl (der sechs möglichen) getroffen werden, in der zweiten Woche müssen dann die in der ersten Woche nicht gewählten Maschinen ausgewählt werden (eine Möglichkeit). Es gilt also P( in Wochen alle 4 Maschinen kontrolliert ) = Ω Ω = Ω Ω = Ω = 6. Analog ist die Menge der möglichen Auswahlen in 3 aufeinanderfolgenden Wochen gegeben durch Ω 3. Günstig für das Ereignis in 3 Wochen nicht alle 4 Maschinen kontrolliert ist, wenn genau bzw. 3 Maschinen in 3 Wochen kontrolliert werden. Für die Wahl von Maschinen gibt es genau Ω = 6 Möglichkeiten. (Diese Maschinen werden dann in jeder der 3 Wochen kontrolliert.) Für die Auswahl von genau 3 Maschinen aus den 4 gibt es 4 Möglichkeiten. (Jede Maschine kann weggelassen werden.) Die Auswahl in den 3 Wochen hat dann aus diesen 3 zu erfolgen. Für die erste Woche gibt es ( 3 ) = 3 Möglichkeiten aus den 3 auszuwählen, für die anderen beiden Wochen jeweils auch, also insgesamt 3 3 Möglichkeiten. Allerdings sind die Fälle wegzulassen, bei den 3 mal dasselbe Maschinenpaar gewählt wurde. (Denn in diesen Fällen werden in 3 Wochen nicht insgesamt 3 Maschinen gewählt, sondern nur ). Es ergibt sich also P( in 3 Wochen nicht alle 4 kontrolliert ) = P( in 3 Wochen genau kontrolliert ) + P( in 3 Wochen genau 3 kontrolliert ) = (33 3) 6 3 = =

8 Aufgabe 4 ( Punkte) Die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X und Y habe die Dichte { c (x + y ), für x, y, f X,Y (x, y) =, sonst, mit einer geeigneten Konstanten c >. a) Bestimmen Sie die Konstante c. b) Bestimmen Sie eine Dichte von X und berechnen Sie damit den Erwartungswert von X. c) Eine Dichte von Y ist f Y (y) = y, y. (Dafür ist kein Beweis erforderlich!) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F Y und den Erwartungswert von Y. d) Bestimmen Sie die Kovarianz von X und Y. e) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Lösung: a) Da f X,Y eine Wahrscheinlichkeitsdichte (auf der Menge [, ] ) ist, muss gelten = = c Damit folgt c = 6 7. f X,Y (x, y)dx dy = + y dy = c [ y + ] 3 y3 = c 7 6. c (x + y ) dx dy = c [ ] x + y x x= b) Nach Satz 8.7 im Skript ist eine Dichte von X gegeben durch f X (x) = f X,Y (x, y)dy. Für x [, ] gilt somit 6 ( f X (x) = f X,Y (x, y)dy = ) x + y dy = 6 [ 7 7 xy + ] 3 y3 = 6 y= 7 (x + 3 ) = 6 7 x + 4 7, für x / [, ] gilt f X (x) =. Damit folgt E(X) = x f X (x) dx = 6 7 x x dx = 7 [ x 3 + x ] = 4 7 c) Da f Y nur auf dem Intervall [, ] verschieden von ist, gilt für die Verteilungsfunktion F Y : R [, ] zunächst F Y (t) = für t sowie F Y (t) = für t. Für t (, ) gilt t t 3 F Y (t) = f Y (y)dy = y dy = 3 [ 7 y + 4 ] t 3 y3 = 3 7 t t3. Für den Erwartungswert von Y gilt E(Y ) = y f Y (y) dy = 3 7 y + 7 y3 dy = 3 [ ] 7 y + y 4 = = dy

9 d) Nach Satz.3 im Skript kann die Kovarinz nach der Formel C(X, Y ) = E(X Y ) EX EY berechnet werden. Da E(X Y ) = = 6 7 = 6 7 ergibt sich mit b) und c) x y f X,Y (x, y) dx dy = [ ] 3 x3 y + x y 3 [ 6 y + 4 y4 ] = 6 7 dy = = 5 4, C(X, Y ) = E(X Y ) EX EY = (x y + xy 3 ) dx dy 3 y + y3 dy 9 4 = = 98. e) C(X, Y ) ist gleichbedeutend mit E(X Y ) EX EY. Die Zufallsvariablen X und Y können also nicht stochastisch unabhängig sein, da in diesem Fall Gleichheit gelten würde, vgl. Satz.8 c). 9

10 Aufgabe 5 ( Punkte) Eine Maschine dreht zylinderförmige Kolben mit Solldurchmesser d = und Sollhöhe h = 5. Tatsächlich sind der Durchmesser X und die Höhe Y Zufallsvariablen mit den Verteilungen N (, /4) bzw. N (5, /9), die als unabhängig angenommen seien. Der zufällige Kolbenumfang sei U := π X und der zufällige Materialverbrauch sei M := π 4 X Y. a) Berechnen Sie den den Erwartungswert E(U) und die Varianz V (U) von U. b) Drücken Sie die Wahrscheinlichkeit P(6 U 64) mit Hilfe der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung N (, ) aus. c) Berechnen Sie den mittleren Materialverbrauch E(M). d) Berechnen Sie das.975-quantil von X. e) Ein Kolben muss nachbearbeitet werden, wenn X > oder wenn Y > 5.6 gilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kolben nachbearbeitet werden muss. Lösung: a) Da X N (, ), hat die Zufallsvariable U = πx nach Satz 9.7 im Skript die Verteilung 4 N (π, π ). Somit folgt 4 E(U) = π V (U) = π 4. b) Für die normalverteilte Zufallsvariable U ist die Standardisierung Ũ = U EU V (U) = U π π/ standardnormalverteilt. Deshalb gilt: = π (U π) = π U 4 P(6 U 64) = P( π 6 4 π U ) π = P( 4 π = Φ( 8 π c) Wegen der Unabhängigkeit von X und Y gilt 4 Ũ 8 π 4) 4) Φ(4 π 4). E(M) = E( π 4 X Y ) = π 4 E(X ) E(Y ). Dabei folgt aus der Gleichung V (X) = E(X ) (EX) (vgl. Satz. im Skript) und somit E(X ) = V (X) + (EX) = 4 + = 6 4 E(M) = π 4 E(X ) E(Y ) = π = π 45 6 = , 89.

11 d) Da X normalverteilt ist, ist die Standardisierung X = (X EX) = (X ) standardnormalverteilt. Wegen X = X + gilt nach Bemerkung. im Skript für das.975-quantil σ von X: t.975 (X) = t.975 ( X + ) = t.975( X) + = F X (.975) + = Φ (.975) +. Nach der Tabelle auf S.3 im Skript (bzw. Anh. A) ergibt sich t.975 (X).96 + =.98. e) Es gilt P( Kolben muss nachbearbeitet werden ) = P(X > oder Y > 5.6) wegen der Unabhängigkeit von X und Y. Da = P(X und Y 5.6) = P(X ) P(Y 5.6) P(X ) = P( X ( )) = P( X ) = Φ() und P(Y 5.6) = P(Ỹ 3(5.6 5)) = P(Ỹ.8) = Φ(.8), ergibt sich mit der Tabelle A im Skript eine Wahrscheinlichkeit von ca..58, d.h. etwa 5.8 Prozent der Kolben müssen nachbearbeitet werden.

12 Aufgabe 6 (9 Punkte) Es soll der unbekannte Parameter ϑ R für die Verteilung mit der Dichte e (log t ϑ), t >, f ϑ (t) = π t, t bestimmt werden. a) Geben Sie die zur Stichprobe x = (x,..., x n ) gehörende Loglikelihood-Funktion M x (ϑ) an. Sie dürfen dabei voraussetzen, dass x i > für i =,..., n. b) Berechnen Sie die Ableitung M x(ϑ). c) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer ˆϑ(x) für ϑ zur Stichprobe x. d) Ist ˆϑ ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ? Hinweis: Für eine Zufallsvariable X mit Dichte f ϑ gilt: log X N (ϑ, ). Lösung: a) Für t > ist also ist die Loglikelihoodfunktion M x (ϑ) = = = log(f ϑ (t)) = log( π t) (log t ϑ), log(f ϑ (x j )) = [ log( π x j ) ] (log x j ϑ) [ log( π x j ) ( (log xj ) log x j ϑ + ϑ )] log( π x j ) b) Für die Ableitung nach ϑ gilt somit (log x j ) + ϑ log x j nϑ M x(ϑ) = log x j n ϑ. c) Offenbar gilt M x(ϑ) = genau dann, wenn ϑ = n n log x j. Außerdem gilt { > M x(ϑ) < } { < ϑ > } ˆϑ(x) := n log x j. Daher ist ˆϑ(x) die einzige Maximumstelle von ϑ M x (ϑ) und somit ein Maximum- Likelihood-Schätzer für ϑ zur Stichprobe x.

13 d) Für die Erwartungstreue von ˆϑ(x) = ˆϑ(x,..., x n ) ist zu zeigen, dass für alle ϑ R gilt: E ϑ ˆϑ(X,..., X n ) = ϑ, wobei X,..., X n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit der Dichte f ϑ sind. Da X i die Dichte f ϑ hat, folgt mit dem Hinweis, dass die Zufallsvariable Y i := log X i die Verteilung N (ϑ, ) hat und somit E ϑ Y i = ϑ gilt. Damit folgt für alle ϑ R: ( ) E ϑ ˆϑ(X,..., X n ) = E ϑ log X i = E ϑ (log X i ) = ϑ = ϑ. n n n i= Also ist ˆϑ(x) ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ. i= i= 3

14 Aufgabe 7 (9 Punkte) Eier werden entsprechend ihrer Größe in die Gewichtsklassen XL, L, M und S eingeteilt. Seien p XL, p L, p M und p S jeweils die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ei in die Gewichtsklasse XL, L, M bzw. S fällt. a) Von n N Eiern werde die Gewichtsklasse bestimmt. Sei dabei N L die zufällige Anzahl von Eiern der Gewichtsklasse L. Welche Verteilung hat N L? b) Analog zu a) sei N M die zufällige Anzahl an Eiern der Gewichtsklasse M. Sind N M und N L stochastisch unabhängig? c) Von n = 5 Eiern wurde die Gewichtsklasse bestimmt und man fand x L = 7 L-Eier, x M = 4 M-Eier und x S = S-Eier. Geben Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau.95 für die Wahrscheinlichkeit p L an, dass ein Ei in die Gewichtsklasse L fällt. d) Da nur Eier der Gewichtsklassen L und M bei den Kunden beliebt sind, möchte man den Anteil der Eier dieser Gewichtsklassen schätzen. Geben Sie für die Stichprobe aus c) ein zweiseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau.9 für die Wahrscheinlichkeit p an, dass ein Ei in eine der Gewichtsklassen L oder M fällt. Lösung: a) Es handelt sich um ein Treffer-Niete-Experiment mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p L. Die Zufallsvariable N L ist deshalb binomialverteilt mit den Parametern n und p L, d.h. N L Bin(n, p L ). b) Falls p L und p M beide verschieden von Null sind, dann sind N L und N M nicht stochastisch unabhängig, denn es gilt z.b. P(N L = n, N M = n) =, da N L + N M n, aber P(N L = n) P(N M = n) = p n L pn M und somit P(N L = n, N M = n) P(N L = n) P(N M = n). (Gilt p L = oder p M =, so liegt stochastische Unabhängigkeit vor.) c) Nach Voraussetzung kann das Heraussuchen der L-Eier (ähnlich wie in Beispiel 8.5 im Skript) als ein ideales Zufallsexperiment mit den zwei möglichen Ergebnissen L-Ei (Treffer) und kein L-Ei (Niete) und der (unbekannten) Trefferwahrscheinlichkeit p L angesehen werden. Nach diesem Beispiel und wegen 8.6 ist das gesuchte Konfidenzintervall [l(x), L(x)], wobei die Konfidenzgrenzen l(x) und L(x) für x = x L = 7 und n x = 5 7 = 8 und α =.95 Tabelle A.4 entnommen werden können. Es ergibt sich das Konfidenzintervall C(x) = [.3,.734]. d) Das Heraussuchen der L- und M-Eier kann (ähnlich wie in c)) als ein ideales Zufallsexperiment mit den zwei möglichen Ergebnissen L-Ei oder M-Ei (Treffer) und kein L-Ei und kein M-Ei (Niete) und der (unbekannten) Trefferwahrscheinlichkeit p = p L + p M angesehen werden. Wie in c) können die Konfidenzgrenzen l(x) und L(x) des gesuchten Konfidenzintervalls [l(x), L(x)] der Tabelle A.4 im Skript entnommen werden, wobei jetzt n = 5, x = x L + x M = =, n x = 5 = 4 und α =.9 ist. Es ergibt sich das Konfidenzintervall C(x) = [.489,.93]. 4