Kapitel 3 Schließende Statistik

Transkript

1 Motivation Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilung F Stichprobe X 1,...,X n mit Verteilung F Realisation x 1,...,x n der Stichprobe Rückschluss auf F Dr. Karsten Webel 160

2 Motivation (Fortsetzung) Kapitel 2: Verteilungsfunktion F einer Zufallsvariablen X ist bekannt sämtliche Parameter von F (Erwartungswert, Varianz, Quantile,... ) lassen sich direkt angeben Kapitel 3: Verteilungsfunktion F einer Zufallsvariablen X ist unbekannt Stichprobe X 1,X 2,...,X n uiv F Realisation x 1,x 2,...,x n soll Rückschlüsse auf die unbekannten Parameter von F liefern Dr. Karsten Webel 161

3 Beispiel 3.1: Verspätung der S1 (vgl. Bsp. 2.28) An einem bestimmten Tag im Januar 2009 wurden an der S-Bahn-Haltestelle Dortmund Universität folgende Verspätungen der S1 (in Minuten) gemessen: 4, 12, 10, 0, 7, 20, 10, 0, 5, 2. Wie groß ist die durchschnittliche Verspätung der S1 an diesem Tag? Dr. Karsten Webel 162

4 Definition 3.2: Schätzfunktion und Schätzwert Es seien X 1,X 2,...,X n Stichprobenvariablen aus einer Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilungsfunktion F θ. Dann heißt eine Funktion ˆθ = g (X 1,X 2,...,X n ) Schätzfunktion, kurz: Schätzer, für den unbekannten Parameter θ. Der sich aus den Realisationen der Stichprobenvariablen ergebende Wert g (x 1,x 2,...,x n ) heißt Schätzwert für θ. Dr. Karsten Webel 163

5 Beispiel 3.3: (Fortsetzung Bsp. 3.1) Ausgang: X i = Verspätung der i-ten S-Bahn (in Minuten) X 1,...,X 10 uiv F (F unbekannt) von Interesse: µ = E (X i ) mögliche Kandidaten: ˆµ 1 = X = 7 ˆµ 2 = X 1 = 4 ˆµ 3 = 1 2 (X (1) + X (n) ) = 10 Frage: Welcher Schätzer ist am besten? Dr. Karsten Webel 164

6 Definition 3.4: Erwartungstreue und Verzerrung Ein Schätzer ˆθ, für den gilt E (ˆθ) = θ, heißt erwartungstreu (oder unverzerrt) für θ. Für einen Schätzer ˆθ heißt Bias(ˆθ) = E (ˆθ) θ Verzerrung (oder Bias) von ˆθ. Dr. Karsten Webel 165

7 Interpretation: erwartungstreuer Schätzer f(θ^) θ Dr. Karsten Webel 166

8 Interpretation: verzerrter Schätzer f(θ^) θ Dr. Karsten Webel 167

9 Definition 3.6: Effizienz Es seien ˆθ 1 und ˆθ 2 erwartungstreue Schätzer für θ. Gilt Var (ˆθ 1 ) < Var (ˆθ 2 ), so heißt ˆθ 1 effizienter zur Schätzung von θ als ˆθ 2. Dr. Karsten Webel 168

10 Interpretation: effizienter Schätzer f(θ^1) f(θ^2) θ Dr. Karsten Webel 169

11 Satz 3.8: Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit E (X i ) = µ. Dann ist ein erwartungstreuer Schätzer für µ. ˆµ = X = 1 n n i=1 X i Weiter ist X der effizienteste Schätzer für µ unter allen erwartungstreuen Schätzern für µ, d. h. es gilt: Var ( X) Var (ˆµ) für alle ˆµ mit E (ˆµ) = µ. Dr. Karsten Webel 170

12 Bemerkung 3.9: Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen und p = P(X i k). Dann ist ˆp = Ȳ = 1 n n i=1 mit 1, X i k Y i = 0, X i > k ein erwartungstreuer Schätzer für p. Y i Dr. Karsten Webel 171

13 Bemerkung 3.11: Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert µ = E(X i ) und unbekannter Varianz σ 2 = Var (X i ) = E [(X i µ) 2 ]. Dann ist ˆσ 2 = 1 n n (X i µ) 2 i=1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2. Dr. Karsten Webel 172

14 Satz 3.12: Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ = E (X i ) und unbekannter Varianz σ 2 = Var (X i ). Dann ist ˆσ 2 = S 2 X = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2. Dr. Karsten Webel 173