Statistik II. Weitere Statistische Tests. Statistik II

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1 Statistik II Weitere Statistische Tests Statistik II

2 Überblick Bisher wurden die Test immer anhand einer Stichprobe durchgeführt Jetzt wollen wir die statistischen Eigenschaften von zwei oder mehreren Stichproben vergleichen: z.b. Test auf Gleichheit der Erwartungswerte Test auf Gleichheit von Varianzen Bisher wurde nur auf bestimmte Charakteristika, z.b. Momente, von Verteilungen gestestet, jetzt wollen wir auf die Gleichheit von Verteilungen testen. (Anpassungstest) Statistik II

3 Wir möchten testen, ob zwei Merkmale unabhängig sind. (Unabhängigkeitstest) Wir möchten testen, ob mehrere empirische Verteilungen eines Merkmals aus der gleichen Grundgesamtheit stammen (Homogenitätstest) Wir möchten testen, ob zwei Merkmale unkorreliert sind (Test auf Unkorreliertheit) Statistik II

4 Test auf Gleichheit zweier E-Werte Seien zwei unabhängige und normal verteilte Zufallsvariablen mit gleicher Varianz, d.h. Wir möchten Testen: vs. zum Signifikanzniveau (einseitige Testprobleme sind wieder analog) Die Stichprobenumfänge sind Analog haben wir jetzt: und Statistik II

5 Für die Differenz unabhängiger und normal verteilter Zufallsvariablen gilt: Ferner wissen wir: und wegen Statistik II

6 Definiere: Dann gilt unter analog zum Ein-Stichproben T-Test: wenn man für dass einsetzt und auflöst, erhält man, t-verteilt ist mit Freiheitsgraden. Statistik II

7 Dies bedeutet, dass die Nullhypothese verworfen wird, falls Dieser Test ist für kleine Stichproben geeignet, er benötigt jedoch gleiche Varianzen und die Normalverteilung von. Statistik II

8 Falls n groß Dann bietet sich wieder die Approximation der Verteilung der Prüfgröße mit Hilfe der Normalverteilung an, denn die t-verteilung konvergiert gegen die Normalverteilung. In diesem Fall lautet die Teststatistik: Statistik II

9 Damit wird die Nullhypothese verworfen, falls In diesem Fall kann dann auch gelten: denn alternativ kann man den ZGW auf die Teststatistik anwenden, der nur Eigenschaften der Varianz der Summe von benötigt. Ferner brauchen nicht normal verteilt sein, damit der ZGW angewendet werden kann. Es reichen unabhängige, identische Realisationen (und Bedingungen für die höheren Momente), damit die Stichprobenmittel asymptotisch normal verteilt sind. Einseitige Tests analog Statistik II

10 Exkurs: F-Verteilung Man habe zwei ZV: Definition: Die Zufallsvariable heißt F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden. mit: Statistik II

11 f(f 3,3 ) f(f 10,10 ) f(f 100,100 ) f(f) F Positive ZV Dichte geht gegen 0, wenn ZV sehr groß. Varianz geht gegen 0, wenn Freiheitsgrade sehr groß sind. Statistik II

12 Da eine F-verteilte ZV aus einem Quotienten gebildet wird,gilt: F (F(5,3)) F (F(3,5)) F (1/F(3,5)) Man kann auch zeigen: Für die Quantile gilt: F(F) Die höchsten Quantile findet man in Tabellen F Statistik II

13 Test auf Gleichheit zweier Varianzen Seien zwei unabhängige und normal verteilte Zufallsvariablen. Wir möchten Testen: vs. zum Signifikanzniveau (einseitige Testprobleme sind wieder analog) Vom Einstichprobentest auf die Varianz wissen wir: Statistik II

14 Damit ist der Quotient der erwartungstreuen Schätzer der Varianzen gerade eine F-verteilte Teststatistik mit Freiheitsgraden. Da die F-Verteilung nur positive Werte hat und nicht symmetrisch ist, müssen bei zweiseitigen Tests zwei kritische Werte bestimmt werden. wird verworfen, falls: Statistik II

15 Varianzanalyse (ANOVA) Die einfache Varianzanalyse, oft auch als ANOVA (Analysis of Variance) bezeichnet, ist die Verallgemeinerung des Zweistichproben t-tests für den Mehrstichprobenfall. Man habe unabhängige, normal verteilte ZV aus denen Stichproben der Größen gezogen werden. Falls m=2, dann äquivalent zum Zweistichproben t-test. Statistik II

16 Die Nullhypothese lautet: für mindestens ein Paar Statistik II

17 Sei und (gepooltes Stichprobenmittel) und als ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz in der i-ten Stichprobe. Dann gilt für den Schätzer für die gepoolte Stichprobenvarianz (interne Varianz): was auch als variance within bezeichnet wird. Statistik II

18 Analog sei definiert als die Varianz der geschätzten Erwartungswerte zwischen den Stichproben (externe Varianz) was auch als Variance between bezeichnet wird. Es gilt: Beweis: siehe Extra-Folie Statistik II

19 Man kann zeigen, dass Damit ist auch die Verteilung des Quotienten bekannt: Dieser Quotient ist auch die Teststatistik. Warum? Die Nullhypothese wird daher verworfen, falls Die Nullhypothese wird also verworfen, falls die Variabilität zwischen den Stichprobenmitteln groß ist genauer: die Variabilität zwischen den Stichproben signifikant größer als innerhalb der Stichproben ist. Statistik II