Klausur zu Statistik II

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1 GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel Nicht programmierbare Taschenrechner, sowie alle Unterlagen, Bücher und Aufzeichnungen sind als Hilfsmittel erlaubt. 30 Punkte Es sind alle Aufgaben zu lösen. Insgesamt lassen sich 30 Rohpunkte erreichen; bei jeder Aufgabe steht die maximale Zahl an Rohpunkten in Klammern. Auf die Multiple- Choice-Aufgabe 7 entfallen 8 Rohpunkte. Multiple Choice Für jede der Teilaufgaben von Aufgabe 7 gibt es maximal 2 Rohpunkte. Von den jeweils vier Alternativen sind genau zwei richtig, und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es zwei Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es einen Punkt. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte. Lösungswege Bei den Aufgaben 1 bis 6 sind Lösungswege anzugeben. Lösungen, bei denen nicht erkennbar ist, wie sie gewonnen wurden, werden nicht gewertet. Bei der Multiple- Choice-Aufgabe 7 ist die Angabe der Lösungswege nicht erforderlich. Matrikelnummer Versehen Sie das Lösungsheft und dieses Aufgabenheft gut leserlich mit Ihrer Matrikelnummer. Geben Sie dieses Aufgabenheft mit dem Lösungsheft ab, damit Aufgabe 7 gewertet werden kann. Viel Erfolg! Dieses Schema dient nur der Korrektur Aufgabe 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Summe Punkte Gesamtpunktzahl: Note:

2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Das Gewicht X gefüllter Bierflaschen sei normalverteilt mit µ = 0 g und σ = 5 g. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche Bier weniger als 390 g wiegt? b) Es bezeichne Y das Gewicht eines Six-Packs, d.h. eines Päckchens, das aus 6 Flaschen besteht. Das Gewicht der Pappe, die das Six-Pack zusammenhält, sei vernachlässigbar. Die Gewichte der einzelnen Flaschen sind unabhängig. Bestimmen Sie die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls, in das ein Six-Pack mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % fällt. Aufgabe 2 (3 Punkte) Es seien X i, i = 1, 2,..., n, identisch und unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Varianz σ 2 und Erwartungswert µ = θ 3. a) Bestimmen Sie den Momentenschätzer θ MM für θ. b) Betrachten Sie nun den Schätzer (wobei X für das arithmetische Mittel steht): θ = 3 n n 1 X. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von θ. Aufgabe 3 (3 Punkte) Es soll bestimmt werden, wie hoch die Einschaltquote bei einer Fernseh-Show ist. Dazu werden 2000 zufällig ausgewählte Personen befragt von ihnen geben an, die Show nicht zu sehen. Es bezeichne p den Anteil derer, die die Show sehen. a) Bestimmen Sie den Schätzwert p für p. b) Es betrage nun der Schätzwert für den Anteil p = Bestimmen Sie das zugehörige realisierte Konfidenzintervall bei einem Konfidenzniveau von 90 %. 1

3 Aufgabe 4 (3 Punkte) Es bezeichne X i den Umsatz eines Gutes in Filiale i vor Ausstrahlung eines Werbespots, i = 1, 2,..., 7. Dagegen steht Y i für den entsprechenden Umsatz nach der Ausstrahlung des Spots. Es wird unterstellt, daß die Zufallsvariablen normalverteilt sind mit den Erwartungswerten µ X und µ Y. Die mittleren Umsätze der sieben Filialen vor und nach dem Spot betragen x = 65.1, y = Es bezeichne nun D i die Differenz der Umsätze vor und nach dem Spot: D i = X i Y i. Als Varianz von D i wurde geschätzt: s 2 D = Testen Sie H 0 : µ X = µ Y gegen H 1 : µ X µ Y zu einem Niveau von α = Aufgabe 5 (2 Punkte) Bei einer Befragung von 200 Studierenden ergaben sich als Antworten auf die Frage nach dem monatlich zur Verfügung stehenden Betrag: Betrag in Euro > 1000 Anzahl Es soll die Nullypothese getestet werden, dass die Anzahl der Studenten über die verschiedenen Klassen gleichverteilt ist. Die entsprechende Prüfgröße lautet X 2 = (28 )2 + (38 )2 + (50 )2 + (59 )2 + (25 )2 = Führen Sie den Test zum Niveau α = 0.01 durch. 2

4 Aufgabe 6 (7 Punkte) Es liegen 30 Beobachtungen aus den Jahren 1963 bis 1992 für die USA vor. Es bezeichnen y i Nahrungsmittelausgaben im Jahr i x i Gesamte Konsumausgaben im Jahr i Unterstellen Sie das lineare Modell y i = a + b x i + ε i, i = 1, 2,..., 30, wobei E(ε i ) = 0 und V ar(ε i ) = σ 2 seien. Folgende Werte entsprechen abgesehen von Rundungen den realen Daten: d 2 x = , d 2 y = , d xy = a) Bestimmen Sie den Kleinst-Quadrate-Schätzer für den Steigungsparameter. b) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß R 2. c) Schätzen Sie die Varianz des Kleinst-Quadrate-Schätzers b unter Verwendung des Schätzwerts σ 2 = 529. d) Es seien nun b = 0.04 und σ b 2 = gegeben. Testen Sie damit bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % die Nullhypothese, dass Nahrungsmittelausgaben und gesamte Konsumausgaben unkorreliert sind. 3

5 Aufgabe 7 (8 Punkte) Für jede der folgenden Teilaufgaben gibt es maximal 2 Punkte. Die Punktvergabe ist auf dem Deckblatt erklärt a) Bei steigendem Stichprobenumfang überdeckt ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 α mit wachsender Wahrscheinlichkeit den wahren Parameterwert.... verringert sich die Differenz zwischen E(D 2 ) und E(S 2 ).... sinkt der mittlere quadratische Fehler von X als Schätzer für µ.... sinkt bei einem statistischen Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. b) Jede konsistente Schätzfunktion ist asymptotisch erwartungstreu. Jede asymptotisch erwartungstreue Schätzfunktion ist effizient. Das 97.5%-Quantil einer t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden, t(n 1) 0.975, konvergiert für n gegen den Wert Bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 entscheidet man sich statistisch gesehen in 95 von 100 Fällen dafür, die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl diese richtig ist. c) Beim Entscheiden eines zweiseitigen Parametertests zum Signifikanzniveau α begeht man mit Wahrscheinlichkeit 1 α einen Fehler 2. Art, wenn man die Nullhypothese annimmt.... begeht man mit Wahrscheinlichkeit α einen Fehler 1. Art, wenn man die Nullhypothese ablehnt.... lehnt man die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α ab, wenn das zugehörige Konfidenzintervall länger als 1 α ist.... hängt von α die Wahrscheinlichkeit ab, mit der man eine Fehlentscheidung trifft. d) Die Varianz des arithmetischen Mittels X = 1 n X i von identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariablen X i sinkt mit steigendem Stichprobenumfang n.... sinkt mit abnehmender Irrtumswahrscheinlichkeit.... kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n 1 ( Xi X ) kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n(n 1) ( Xi X ) 2. 4

6 Lösungshinweise Aufgabe 1 a) X 0 5 N (0, 1) P (X 390) = b) Aufgabe 2 Y = 6 X i N (20, 150) ZSI 0.95 = [2376; 2424] a) θ MM = 3x b) Aufgabe 3 ) E ( θ ) V ar ( θ = = n n 1 θ 9n (n 1) 2 σ2 a) b) p = 0.35 KI 0.9 = [0.3324; ] Aufgabe 4 Äquivalentes Testproblem H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D 0 T = D 0 s D 7 = Vergleichen mit t-verteilung mit 6 Freiheitsgrad. Nicht ablehnen zu α = 5%. 5

7 Aufgabe 5 χ 2 -Anpassungstest: ν = 5 1, da keine unbekannte Parameter; χ (4) = = Ablehnen zu 1%. Aufgabe 6 a) b = d xy d 2 x = 0.04 b) c) R 2 = d2 xy d 2 xd 2 y σ 2 b = σ2 1 n d 2 x = 0.7 = d) H 0 : b = 0 H 1 : b 0 T b = b σ 2 b Vergleichen mit t-verteilung mit 28 Freiheitsgrad. Ablehnen zu α = 1%. = 4 Oder äquivalent: H 0 : r xy = 0 H 1 : r xy 0 T = r xy n k = ; 1 rxy 2 Vergleichen mit t-verteilung mit 28 Freiheitsgrad. Ablehnen zu α = 1%. bzw. : T = r xy n = ; Vergleichen mit Standardnormal-Verteilung. Ablehnen zu α = 1%. 6

8 Aufgabe 7 a) Bei steigendem Stichprobenumfang überdeckt ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 α mit wachsender Wahrscheinlichkeit den wahren Parameterwert.... verringert sich die Differenz zwischen E(D 2 ) und E(S 2 ).... sinkt der mittlere quadratische Fehler von X als Schätzer für µ.... sinkt bei einem statistischen Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. b) Jede konsistente Schätzfunktion ist asymptotisch erwartungstreu. Jede asymptotisch erwartungstreue Schätzfunktion ist effizient. Das 97.5%-Quantil einer t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden, t(n 1)0.975, konvergiert für n gegen den Wert Bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 entscheidet man sich statistisch gesehen in 95 von 100 Fällen dafür, die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl diese richtig ist. c) Beim Entscheiden eines zweiseitigen Parametertests zum Signifikanzniveau α begeht man mit Wahrscheinlichkeit 1 α einen Fehler 2. Art, wenn man die Nullhypothese annimmt.... begeht man mit Wahrscheinlichkeit α einen Fehler 1. Art, wenn man die Nullhypothese ablehnt.... lehnt man die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α ab, wenn das zugehörige Konfidenzintervall länger als 1 α ist.... hängt von α die Wahrscheinlichkeit ab, mit der man eine Fehlentscheidung trifft. d) Die Varianz des arithmetischen Mittels X = 1 n X i von identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariablen X i sinkt mit steigendem Stichprobenumfang n.... sinkt mit abnehmender Irrtumswahrscheinlichkeit.... kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n 1 ( Xi X ) kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n(n 1) ( Xi X ) 2. 7