Statistische Tests für unbekannte Parameter

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1 Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung darüber, ob der unbekannte Parameter einer Verteilung gleich einem gegebenen konkreten Referenzwert ist, ebenfalls mit vorgegebener Sicherheit SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

2 Beispiel Für die Bekleidungsindustrie, Automobilindustrie,... ist eine Aussage über die Größe der Erwachsenen von Bedeutung. These: Die Durchschnittsgröße der erwachsenen Deutschen ist 173 cm. Diese These soll bestätigt oder widerlegt werden. Sicheres Verfahren: Man misst alle erwachsenen Deutschen und bildet den Durchschnitt. Praktikables Verfahren: Man misst eine repräsentative Stichprobe und bildet den Durchschnitt. Mit diesem Stichprobenmittel schätzt man den unbekannten Durchschnitt (Erwartungswert) in der Grundgesamtheit aller erwachsenen Deutschen. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests

3 Nullhpothese: = 173 gegen Alternativhpothese: 173 : unbekannter Erwartungswert (Mittelwert) der Gesamtpopulation 0 = 173: Referenzwert Stichprobe mit n400, x 175 als Schätzung für Widerlegt dieser Stichprobendurchschnitt bei Sicherheit 0.95 die Nullhpothese? Abweichung des Stichprobenmittels vom Referenzwert d 0 x Bis zu welcher Grenze ist der Unterschied zufällig, ab wann nicht mehr? SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 3

4 Modell Wir unterstellen hier, dass die Körpergröße X der erwachsenen Deutschen normalverteilt ist mit bekannter Streuung = 10: X ~ N(,10²) Dann ist der Mittelwert von n solchen unabhängigen, normalverteilten Zufallsgrößen ebenfalls normalverteilt mit 10 X ~ N(, ) N(, ) N(,0.5) n 400 Ist 0 =173 der richtige Parameter, d.h. unter Nullhpothese ist X 0 X 173 X 173 T ~ N (0,1) / n P( T k) 0.05 Schwellwert k definiert den kritischen Bereich X ~ N(173,0.5) und Mit T ~ N(0,1) bestimmt man die Grenzen des Bereichs, in den T 'nur selten' fällt, z.b. in nur 5% aller Fälle - wenn die Nullhpothese stimmt. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 4

5 Berechnung der Grenze k, die bei Gültigkeit der Nullhpothese von T betragsmäßig nur mit Wahrscheinlichkeit 0.05 überschritten wird wenn Nullhpothese wahr ist, liegt T in diesem Intervall mit Wkt. 1- P( k T k) 0.95 ( k) k 1 (0.975) 1.96 k: Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung = 1 - / Falls aus Stichprobe berechnetes T > 1.96, lehnt man Nullhpothese =173 ab Ablehnbereich für Nullhpothese: T 1.96 x 173 Ein Stichprobenbefund mit T k 1.96 führt also zur Ablehnung der 0.5 Nullhpothese, d.h. Entscheidung für 173 bei einer Sicherheit von 95% SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 5

6 Testentscheidung im Beispiel T x ( k) d.h. Testgröße fällt in den kritischen Bereich/Ablehnbereich, was zur Ablehnung von H 0 führt. Die Durchschnittsgröße der erwachsenen Deutschen liegt also nicht mehr bei 173. Die statistische Sicherheit für diese Aussage ist Das liegt daran, dass bei Gültigkeit der Nullhpothese die Testgröße mit der Restwahrscheinlichkeit von 0.05 in diesen kritischen Bereich fällt. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 6

7 Zusammenhang zu Konfidenzintervall für µ x 1.96, x 1.96 n n Liegt der Referenzwert µ 0 außerhalb des Konfidenzintervalls, entscheidet man sich gegen die Nullhpothese µ = µ 0. Ablehnkriterium T x / n x μ 0 σ n > 1.96 oder x μ 0 σ n < 1.96 x 1.96 / n oder x 1.96 / n x 0 oder x 0 n n SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 7

8 Test-Schema am Beispiel des Vergleichs des unbekannten Mittelwerts mit einem Referenzwert (bekanntes ) 0 der Normalverteilung H H : 0 0 : 1 0 Nullhpothese Alternativhpothese Irrtumswahrscheinlichkeit X Testgröße, unter Gültigkeit von ist standardnormalverteilt / n 0 T H0 T T z Ablehnbereich von H bei Risiko, 1 / 0 z1 / Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 / Irrtumswahrscheinlichkeit (Risiko) nennt man den Fehler 1. Art. Er bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, H abzulehnen, obwohl H wahr ist. 0 0 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 8

9 Ablehnbereich bei Risiko Dichte der Testgröße T, wenn Nullhpothese gilt Ablehnung 1 - Ablehnung wenn Nullhpothese wahr ist, liegt T in diesem Intervall mit Wkt. 1- SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 9

10 Einseitige und zweiseitige Tests Zweiseitiger Test Nullhpothese: = 0 gegen Alternativhpothese: 0 Einseitige Tests oder Nullhpothese: 0 gegen Alternativhpothese: > 0 Nullhpothese: 0 gegen Alternativhpothese: < 0 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 10

11 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (1) Einstichprobentests Vergleich mit 0; bekannt (Gauß-Test) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H 0 : 0 H1 : 0 X T z1 / 0 H 0 : 0 H1 : T 0 / n T z1 H1 : ~ N(0, 1) T z 1 H 0 0 : 0 Die Irrtumswahrscheinlichkeit besagt, dass man bei 100 Tests mit der Ablehnung der Nullhpothese nach diesem Verfahren in etwa 100 Fällen einen Fehler macht. 7.1 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 11

12 Fehlermöglichkeiten bei der Testentscheidung H 0 richtig H 0 falsch H 0 abgelehnt Fehler 1. Art richtige Entscheidung H 0 nicht abgelehnt richtige Entscheidung Fehler. Art b Es gibt also zwei mögliche Fehlentscheidungen. Das Risiko der Entscheidung gegen H 0, obwohl H 0 stimmt (Fehler 1. Art), ist über die Festlegung des Ablehnbereichs durch begrenzt. Das Risiko der Beibehaltung von H 0, obwohl H 0 falsch ist (Fehler. Art) ergibt sich dann automatisch. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

13 Inhaltliche Bedeutung der Fehlerarten Nullhpothese: H0: 0 Fehler 1. Art : Fehler. Art b: Nullhpothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist. Ein Unterschied wird also gefunden, obwohl keiner da ist. Nullhpothese wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Ein vorhandener Unterschied wird übersehen. Von beiden Wahrscheinlichkeiten für eine Fehlentscheidung wird bei der Konstruktion des Ablehnbereichs berücksichtigt, man sichert sich damit gegen falschen Alarm ab, etwas zu finden, was nicht da ist. Liegt der Ablehnbereich fest, ergibt sich β bei festem n automatisch. Durch geeignete Wahl von n kann β beeinflusst werden. Damit begrenzt man das Risiko, einen Effekt ab einer bestimmten Größe nicht zu finden. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 13

14 Fehler 1. und. Art beim Mittelwertvergleich H : geg en H : Dichte der Testgröße T unter Nullhpothese H : 0 0 Dichte der Testgröße T bei einseitiger Alternative 1 0 Testgröße H X 0 T 0 ~ N(0,1) / n Ablehnbereich bei einseitigem Test: T 1 t Annahmebereich T t1 t1 1 0 Fläche entspricht Fehler. Art: β Fläche entspricht Fehler 1. Art: α SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 14

15 Folgerungen Je kleiner, desto größer wird der mögliche Fehler b bei Nichtablehnung einer falschen Nullhpothese. Die Wahrscheinlichkeit b für die Beibehaltung der falschen Nullhpothese hängt vom Abstand L des Referenzwerts 1 der Alternativhpothese zu 0 ab. b kann bei vorgegebenem Stichprobenumfang n und 1 berechnet werden. L groß 1 L klein z1 / Nur durch Vergrößern von n kann b bei gleichem verkleinert werden! SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 15

16 Mindeststichprobenumfang zur Einhaltung von, b L relevanter Unterschied zwischen den Parametern und (Mindesteffekt), d.h. Mittelwertdifferenzen kleiner als L sind praktisch vernachlässigbar 0 Vergleich mit 0 (Einstichprobentest) Zweiseitiger Test: ( z1 / z1b ) n n0 L Einseitiger Test: ( z1 z1b ) n n0 L 7. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 16

17 Mittelwertvergleiche bei unbekannter Varianz Im Normalfall kennt man weder den Erwartungswert noch die Varianz ² in der Grundgesamtheit. Dann wird die Varianz durch die empirische Varianz aus der Stichprobe mit geschätzt, man ersetzt ² durch n 1 s ( xi x) n 1 i1 Die Testgröße ist dann H X 0 0 T ~ tn 1 s/ n Der Ablehnbereich bestimmt sich entsprechend mit den Quantilen der t-verteilung. SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 17

18 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen () Einstichprobentests Vergleich μmit μ 0; σ unbekannt (T-Test) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H 0 : 0 H 1 : 0 X T t n 1,1 / T 0 H 0 : 0 H 1 : 0 s / n T t n 1, 1 H H 1 : ~ t n1 0 T t n 1, 1 0 : SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 18

19 Mittelwerttests bei zwei normalverteilten Zufallsgrößen bisher Einstichprobentest: Zweistichprobentest: Der Erwartungswert einer Grundgesamtheit wird mit einem vorgegebenen Referenzwert 0 verglichen Die Erwartungswerte 1 und von zwei Grundgesamtheiten werden verglichen. Bei Zweistichprobentests unterscheidet man noch zwischen verbundenen (gepaarten) und nicht verbundenen (nicht gepaarten) Stichproben. verbunden: nicht verbunden: die Stichprobenwerte liegen in Paaren vor, die jeweils an den gleichen Objekten gemessen wurden (z.b. vor und nach einer Behandlung) die Stichproben wurden in disjunkten Grundgesamtheiten erhoben (z.b. Gesunde und Kranke) SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 19

20 Bezeichnungen Stichprobenumfänge: Mittelwertschätzungen einzeln: Mittelwertdifferenz bei nicht verbundenen Daten Mittelwertdifferenz bei verbundenen Daten n, n, n x nx 1 1 X X, Y Yi n X Y x i i1 n i1 n 1 D X Y ( x ), n n n n i 1 n i i x Varianzschätzungen: einzeln aus den Stichproben gemeinsame (gepoolte) Varianz bei nicht verbundenen Daten gemeinsame Varianz bei verbundenen Daten n n x 1 1 x i i nx 1 i1 n 1 i1 s ( X X ), s ( Y Y ), ( n 1) s ( n 1) s sg n n x x x 1 s D D n n n n D ( i ), x n 1 i1 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 0

21 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (3) Zweistichprobentests Vergleich mit 0 ; unbekannt,, verbunden, D x D X Y D X Y Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : D 0 H : D 0 D T t 1,1 / T n H : 0 H : 0 s T 0 0 D 0 : D 1 1 D 1 : H 0 H D 0 ~ t n 1 D T n t n 1, 1 t n 1, 1 D x D i i i 1 s D D, D arithmetisches Mittel s empirische Standardabweichung der Differenzen n D ( i ) n 1 i1 d i 7.5 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

22 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (4) Zweistichprobentests Vergleich mit ;, unbekannt, aber gleich;, nicht verbunden (doppelter T-Test) x x X Y Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H 0 : x H : x X Y n xn T t n x n,1 T H : H : s g n x n T H 0 x x : H 0 x 1 x 1 / 1 t nx n, 1 : ~ t n x n t n x n, 1 t mq, Quantil der Ordnung q der t-verteilung mit m Freiheitsgraden (m ganzzahlig) T 7.6 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests

23 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (5) Zweistichprobentests Vergleich mit ;, unbekannt, verschieden;, nicht verbunden (Welch-Test) x x X Y Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H 0 : x H 1 : x T t f, 1 s / x s T ( X Y ) / H : H1 : x n n T t H 0 x : H 0 x 1 x : ~ t f x T f, 1 t f, 1 t f, q Quantil der Ordnung q der t-verteilung mit f Freiheitsgraden, wobei f ( s / n s / n ) x x x x x ( s / n ) /( n 1) ( s / n ) /( n 1) (abrunden!) SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 3

24 Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen Einstichprobentests Vergleich mit (Referenzwert) 0 Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H0 : 0 H1: T oder T 0 H0 H0 : 0 H1: ( n1) s 0 T ~ T n1 n1, a 0 H : H : n1,1 a / n1, a / T n1,1 mq, Quantil der Ordnung q der -Verteilung mit m Freiheitsgraden SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 4

25 Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen Zweistichprobentests Vergleich mit x Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnbereich H H T Fn 1, n 1,1 / H H 0 : x : 0 x F,, : Quantil der F-Verteilung mit m, n Freiheitsgraden der Ordnung q m n q : 0 x 1 : x H H n 1, n 1, H 1 : x : 1 x T s x s 0 ~ / Fn 1, n 1 x oder T Fn 1, n 1, / x T F x T Fn 1, n 1,1 Berechnet man T mit der größeren der Varianzen im Zähler, muss man nur prüfen, ob T > F nx 1,n 1,1 α x x Dieser Test wird auch als Vortest beim Mittelwertvergleich genutzt für eine Entscheidung zwischen dem doppelten T-Test und dem Welch-Test. 7.7 SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 5

26 Testentscheidung mit p-wert Computer gibt als Testresultat die Wahrscheinlichkeit an, mit der extremere Werte als der berechnete Wert der Testgröße unter H 0 angenommen werden können. Diese Wahrscheinlichkeit heißt p-wert. Ablehnung 1 - Ablehnung Ist der p-wert kleiner als das Risiko, dann wird die Nullhpothese abgelehnt. - T p-wert = Summe dieser Flächen Berechneter Wert von T aus den Stichprobenwerten SS 017 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 6